電路的狀態(tài)變量分析

用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)在于：

(1) 便于研究系統(tǒng)內(nèi)部的一些物理量的變化規(guī)律，這些物理量可以用狀態(tài)矢量的一個(gè)分量來(lái)表示。

(2) 這種以矢量和矩陣表示的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型適用于描述多輸入-多輸出系統(tǒng)。

(3) 由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程都是一階微分方程或一階差分方程，便于采用數(shù)值解法，便于計(jì)算機(jī)求解。

電路的狀態(tài)變量分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的普遍形式

如果系統(tǒng)是線性時(shí)不變的，則狀態(tài)方程和輸出方程是狀態(tài)變量和輸入信號(hào)的線性組合。即：

如果用矢量矩陣表示，即狀態(tài)方程為：

其中，C為r×n的輸出矩陣，D為r×m的矩陣。

電路的狀態(tài)變量分析離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程普遍形式

如果系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，則狀態(tài)方程和輸出方程是狀態(tài)變量和輸入信號(hào)的線形組合。

狀態(tài)方程和輸出方程可以看出，這是由輸入量、輸出量。狀態(tài)變量以及聯(lián)系它們之間關(guān)系的A、B、C、D矩陣組成。即，狀態(tài)方程和輸出方程可以簡(jiǎn)寫為：

電路的狀態(tài)變量分析建立動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程的步驟

（1）我們一般以獨(dú)立電容電壓及獨(dú)立電感電流作為狀態(tài)變量；

（2）需要對(duì)含有一個(gè)電容同時(shí)允許包含電感、電阻及電流源的節(jié)點(diǎn)（或者割集）列寫KCL方程。

對(duì)含有一個(gè)電感同時(shí)允許包括電容、電阻和電壓源的回路列寫KVL方程，即可列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。因?yàn)闋顟B(tài)方程的左邊是狀態(tài)變量的導(dǎo)函數(shù)

（3）上述所列方程中，若含有除激勵(lì)以外的非狀態(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)電流方程或回路電壓方程將它們消去然后整理成一般形式。

此外，還可以通過(guò)信號(hào)流圖或模擬框圖來(lái)間接列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

用系統(tǒng)圖解方程的一種方法。能決定系統(tǒng)的將來(lái)行為的一個(gè)系統(tǒng)變量的極小集，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量集。由系統(tǒng)圖的一個(gè)特征樹可得到一個(gè)系統(tǒng)變量集及相應(yīng)的微分方程組，這樣求解系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)變量法。在電路分析中應(yīng)用狀態(tài)變量法即為電路的狀態(tài)變量分析。

對(duì)于電路分析而言，注意以下兩點(diǎn)：

第一，用任意瞬時(shí)的狀態(tài)值和在此以后的激勵(lì)可以唯一地確定的任意時(shí)的狀態(tài)。

第二，用任意瞬時(shí)的狀態(tài)值和此瞬時(shí)以后的激勵(lì)值就可以唯一地確定此瞬時(shí)電路中所有變量的值。

其中用來(lái)定義電路狀態(tài)的變量，則稱為狀態(tài)變量。

狀態(tài)：

對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是表示系統(tǒng)的一組最少變量（稱為狀態(tài)變量）。只要知道 時(shí)這組變量和時(shí)的輸入，那么就能完全確定系統(tǒng)在任何時(shí)間的行為。

狀態(tài)變量：

能夠表示系統(tǒng)狀態(tài)的那么變量稱為狀態(tài)變量。

狀態(tài)矢量：

能夠完全描述一個(gè)系統(tǒng)行為的n個(gè)狀態(tài)變量構(gòu)成了狀態(tài)矢量。如一個(gè)二維矢量：

狀態(tài)空間：

狀態(tài)矢量λ(t)所在的空間。如果一個(gè)系統(tǒng)需要n個(gè)狀態(tài)變量來(lái)描述，則狀態(tài)矢量是n維矢量，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間就是n維空間。

狀態(tài)軌跡：

在狀態(tài)空間中狀態(tài)矢量端點(diǎn)隨時(shí)間變化所描出的路徑稱為狀態(tài)軌跡。

狀態(tài)方程：

描述狀態(tài)變量變化規(guī)律的一組一階微分方程組。各方程的左邊是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)，右邊是包含有系統(tǒng)參數(shù)，狀態(tài)變量和激勵(lì)的一般函數(shù)表達(dá)式，不含變量的微分和積分運(yùn)算。

輸出方程：

描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量之間的關(guān)系的方程組。各方程左邊是輸出變量，右邊是包括系統(tǒng)參數(shù)，狀態(tài)變量和激勵(lì)的一般函數(shù)表達(dá)式，不含變量的微分和積分運(yùn)算。

對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，其狀態(tài)變量和狀態(tài)方程的描述類似，只是狀態(tài)變量都是離散量，因而狀態(tài)方程是一組一階差分方程，而輸出方程則是一組離散變量的線性代數(shù)方程。

以上圖二階電路為例，其狀態(tài)方程組可以寫為：

注意：一個(gè)電路的狀態(tài)變量不是唯一的，但必須是獨(dú)立的，且是最少個(gè)數(shù)的。

電路的狀態(tài)變量分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

求解狀態(tài)方程有時(shí)域和變換域兩種解法，此處以變換域求解為例介紹其求解方法。

（a）矩陣形式的狀態(tài)方程為：

其中I是n×n的單位矩陣。如果(sI-A)是可逆的，則有

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯反變換得：

（b）輸出方程的一般形式為：

（c）系統(tǒng)函數(shù)

當(dāng)

所以系統(tǒng)函數(shù)矩陣為：

矩陣H(s)第l行第k列元素Hlk(s)確定了系統(tǒng)第k個(gè)輸入對(duì)第l個(gè)輸出的貢獻(xiàn)。

電路的狀態(tài)變量分析離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

（a）已知離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：

將上式兩邊取z變換，得：

對(duì)上式進(jìn)行逆反變換得：

（b）輸出方程的一般形式為

電路的狀態(tài)變量分析連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判別

上式的根在s平面上的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。只要知道它的根落在s平面的左半平面，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。

電路的狀態(tài)變量分析離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判別

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求矩陣A的特征值

采用特征根判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，需要求解系統(tǒng)的特征根。如果遇到高階方程，求解特征根的計(jì)算有一定的復(fù)雜性。對(duì)于二階線性定常系統(tǒng)，可以不用求出特征根而直接判別二階線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件。

【定理】如果一個(gè)特征多項(xiàng)式為

當(dāng)二階線性定常系統(tǒng)的兩個(gè)特征根全部位于平面的單位圓中時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：

從電路分析的角度看。最主要的有以下三種分析法。

（1）直流分析（DC analysis）；

（2）交流分析（頻域分析，AC analysis）；

（3）暫態(tài)分析（時(shí)域分析，Transient analysis）；

其他的分析法都是基于這三種模擬分析方法建立的。

電路模擬直流分析

求解電路直流工作點(diǎn)的運(yùn)算叫做直流分析。在信號(hào)放大電路中，直流工作點(diǎn)為大家所熟知。那就是電路帶電而信號(hào)為零時(shí)的工作狀態(tài)。此時(shí)電路各點(diǎn)的電流、電壓就稱為電路的直流工作點(diǎn)。其他電路并不一定實(shí)際存在這樣意義的工作點(diǎn)?？梢哉J(rèn)為，模擬仿真中的直流工作點(diǎn)的概念是信號(hào)放大電路的直流工作點(diǎn)的延伸。在電路模擬仿真領(lǐng)域中，這樣一個(gè)工作點(diǎn)為各種電路的分析提供了一個(gè)平臺(tái)。在進(jìn)行交流分析或暫態(tài)分析之前，都要進(jìn)行直流分析計(jì)算，以確定非線性元件線性化的基點(diǎn)。因此，成功的直流分析是電路模擬仿真成功的關(guān)鍵。

一般來(lái)說(shuō)，直流工作點(diǎn)是一個(gè)靜態(tài)的工作點(diǎn)。所謂靜態(tài)就是沒(méi)有變化，即出di/dt，du/dt均為零，亦即是一個(gè)平衡點(diǎn)?？梢酝浦?，在平衡點(diǎn)工作狀態(tài)下，所有的電感、電容都不存在充放電，且所有電源都穩(wěn)定在一個(gè)定值上。因此，在進(jìn)行直流工作點(diǎn)計(jì)算時(shí)，電路作下列處理：

（1）所有電源都取定值。用戶可以按自己的需要決定一個(gè)初始值，如無(wú)須特別安排程序?qū)⒘泓c(diǎn)值取為初始值；

（2）所有的電容開(kāi)路；

（3）所有的電感短路。

電路模擬交流分析

在電路分析中，一個(gè)重要的問(wèn)題是電路的頻率響應(yīng)如何，或者說(shuō)電路的傳遞函數(shù)是什么。交流分析就是為解答這個(gè)問(wèn)題而設(shè)的。交流分析對(duì)電路進(jìn)行小信號(hào)頻域分析，其激勵(lì)信號(hào)為頻域正弦信號(hào)，因而可以使用相位法進(jìn)行計(jì)算。在相位法中，電感、電容都是復(fù)數(shù)，電流、電壓也是復(fù)數(shù)，整個(gè)運(yùn)算都在復(fù)數(shù)域進(jìn)行。

在進(jìn)行交流分析前，直流分析必須完成，以確定交流分析的基點(diǎn)。在進(jìn)行交流分析時(shí)，電路中所有的非線性元件即在這個(gè)直流工作點(diǎn)上進(jìn)行線性化。需知，因?yàn)榫€性化，所有非線性引起的畸變及限幅均未計(jì)入模擬，同時(shí)所有的時(shí)變效應(yīng)亦未計(jì)入模擬。而響應(yīng)是對(duì)正弦激勵(lì)而言的，整個(gè)電路的頻率是統(tǒng)一掃描的。

當(dāng)電路進(jìn)行交流分析時(shí)，程序自動(dòng)將電路中的電感、電容用復(fù)數(shù)輸入，這不需要用戶考慮。用戶需要考慮兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是激勵(lì)源在何處；二是頻率掃描的范圍和輸出的格式。

激勵(lì)源的位置就是用戶考慮為輸入的地方。激勵(lì)源可以有多個(gè)，但在計(jì)算中都是統(tǒng)一掃描的，不可能進(jìn)行混頻。在進(jìn)行交流掃描時(shí)，除了直流電源之外，所有電路中其他的時(shí)域電源都不激活。因此，在建立仿真電路時(shí)，頻域交流激勵(lì)源可以附設(shè)在其他電源上，一般采用單位幅值、相角為零的激勵(lì)源。這樣，在輸出端計(jì)算所得的響應(yīng)就是增益了。

交流分析的運(yùn)算成功率頗高。因?yàn)榉蔷€性元件都是在同一直流工作點(diǎn)線性化的，沒(méi)有新的收斂性問(wèn)題。電感、電容只是隨頻率改變，亦無(wú)收斂性的問(wèn)題。相位法的運(yùn)算，精度也頗高。因此交流分析的收斂性取決于此前的直流分析，其結(jié)果的正確性和精確度取決于元件模型的正確性和精確度。

交流分析的輸出量都是復(fù)數(shù)。在曲線圖輸出中，EESIM已作了后續(xù)處理，化為模和相角輸出。交流掃描的范圍就是用戶想要觀察的頻率范圍，輸出的格式也是隨用戶需要而定。EESIM配備了線性、對(duì)數(shù)及分貝格式輸出。交流分析的輸出就是電路的波特圖，很方便地用于觀察電路的增益、傳遞函數(shù)、輸入及輸出阻抗，以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

電路模擬暫態(tài)分析

暫態(tài)分析用于求解電路在運(yùn)行的不同時(shí)刻下的行為，由此可以觀察電路中的電流、電壓等電氣量的波形，也就能觀察電路中的波動(dòng)、干擾、噪聲、啟動(dòng)、故障、過(guò)渡過(guò)程等暫態(tài)現(xiàn)象。它是電路模擬仿真的重要手段。

非線性系統(tǒng)含非線性元件。暫態(tài)分析就是要在每一個(gè)瞬時(shí)求解非線性系統(tǒng)，因而每一步都需進(jìn)行線性化和數(shù)值積分。電路暫態(tài)分析的程序流程如圖1所示。

在前面的直流工作點(diǎn)分析中已經(jīng)指出，直流工作點(diǎn)分析為暫態(tài)分析提供一個(gè)初始狀態(tài)。從圖1可見(jiàn)，暫態(tài)分析開(kāi)始之前就要進(jìn)行直流工作點(diǎn)分析，其結(jié)果作為暫態(tài)分析的初始條件。在某些情況下，暫態(tài)并不是從其直流工作點(diǎn)出發(fā)，如考慮時(shí)間零點(diǎn)時(shí)電容已充電、電感已儲(chǔ)能等，就要人為地設(shè)定初始條件，此時(shí)使用“．IC”指令。

數(shù)值積分的方法很多，各有其優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。在電路模擬仿真中主要使用的有下列幾種：

（1）向前歐拉法；

（2）向后歐拉法；

（3）梯形法；

（4）基爾法。

第1章 電路的基本概念和定律

1.1 電路和電路模型

1.1.1 電路及其功能

電流流過(guò)的回路叫做電路，又稱導(dǎo)電回路。最簡(jiǎn)單的電路，是由電源、負(fù)載、導(dǎo)線、開(kāi)關(guān)等元器件組成。電路導(dǎo)通叫做通路。只有通路，電路中才有電流通過(guò)。電路某一處斷開(kāi)叫做斷路或者開(kāi)路。如果電路中電源正負(fù)極間沒(méi)有負(fù)載而是直接接通叫做短路，這種情況是決不允許的。另有一種短路是指某個(gè)元件的兩端直接接通，此時(shí)電流從直接接通處流經(jīng)而不會(huì)經(jīng)過(guò)該元件，這種情況叫做該元件短路。開(kāi)路（或斷路）是允許的，而第一種短路決不允許，因?yàn)殡娫吹亩搪窌?huì)導(dǎo)致電源、用電器、電流表被燒壞。

電路（英語(yǔ)：Electrical circuit）或稱電子回路，是由電器設(shè)備和元器件, 按一定方式連接起來(lái)，為電荷流通提供了路徑的總體，也叫電子線路或稱電氣回路，簡(jiǎn)稱網(wǎng)絡(luò)或回路。如電源、電阻、電容、電感、二極管、三極管、晶體管、IC和電鍵等，構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)、硬件。負(fù)電荷可以在其中流動(dòng)。

1.1.2 理想電路元件

1.1.3 電路模型

電路模型是實(shí)際電路抽象而成，它近似地反映實(shí)際電路的電氣特性。電路模型由一些理想電路元件用理想導(dǎo)線連接而成。用不同特性的電路元件按照不同的方式連接就構(gòu)成不同特性的電路。

電路模型近似地描述實(shí)際電路的電氣特性。根據(jù)實(shí)際電路的不同工作條件以及對(duì)模型精確度的不同要求，應(yīng)當(dāng)用不同的電路模型模擬同一實(shí)際電路。

這種抽象的電路模型中的元件均為理想元件。

練習(xí)與思考

1.2 電流、電壓及其參考方向

1.2.1 電流及其參考方向

1.2.2 電壓及其參考方向

練習(xí)與思考

1.3 電功率與電能

1.3.1 電功率

1.3.2 電能

練習(xí)與思考

1.4 電阻元件

1.4.1 電阻元件及伏安特性

1.4.2 電阻元件的功率

練習(xí)與思考

1.5 電壓源與電流源

1.5.1 電壓源

1.5.2 電流源

練習(xí)與思考

1.6 基爾霍夫定律

1.6.1 基爾霍夫電流2100433B

內(nèi)容簡(jiǎn)介

一個(gè)是天體，一個(gè)是電路，還一個(gè)是脈沖，他們仨怎么會(huì)走到一起？欲知個(gè)中緣由，且看《天體物理電路分析脈沖分析》 好吧，仨方向的牛人。。。