二叉排序樹

二叉排序樹(Binary Sort Tree：BST)

1、二叉排序樹的定義

二叉排序樹(Binary Sort Tree)又稱二叉查找(搜索)樹(Binary Search Tree)。其定義為：二叉排序樹或者是空樹，或者是滿足如下性質(zhì)的二叉樹：

①若它的左子樹非空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于根結(jié)點(diǎn)的值；

②若它的右子樹非空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于根結(jié)點(diǎn)的值；

③左、右子樹本身又各是一棵二叉排序樹。

上述性質(zhì)簡(jiǎn)稱二叉排序樹性質(zhì)(BST性質(zhì))，故二叉排序樹實(shí)際上是滿足BST性質(zhì)的二叉樹。

2、二叉排序樹的特點(diǎn)

由BST性質(zhì)可得：

（1） 二叉排序樹中任一結(jié)點(diǎn)x，其左(右)子樹中任一結(jié)點(diǎn)y(若存在)的關(guān)鍵字必小(大)于x的關(guān)鍵字。

（2） 二叉排序樹中，各結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字是惟一的。

注意：

實(shí)際應(yīng)用中，不能保證被查找的數(shù)據(jù)集中各元素的關(guān)鍵字互不相同，所以可將二叉排序樹定義中BST性質(zhì)(1)里的"小于"改為"小于等于"，或?qū)ST性質(zhì)(2)里的"大于"改為"大于等于"，甚至可同時(shí)修改這兩個(gè)性質(zhì)。

（3） 按中序遍歷該樹所得到的中序序列是一個(gè)遞增有序序列。

【例】下圖所示的兩棵樹均是二叉排序樹，它們的中序序列均為有序序列：2，3，4，5，7，8。

3、二叉排序樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

typedef int KeyType； //假定關(guān)鍵字類型為整數(shù)

typedef struct node { //結(jié)點(diǎn)類型

KeyType key； //關(guān)鍵字項(xiàng)

InfoType otherinfo； //其它數(shù)據(jù)域，InfoType視應(yīng)用情況而定，下面不處理它

struct node *lchild，*rchild，*parent； //左右孩子指針

} BSTNode；

typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序樹的類型

二叉排序樹的基本操作（pascal）：

1.中序遍歷所有元素

procedure tree_walk(x:longint);

begin

if x<>0 then

begin

tree_walk(left[x]);

write(key[x]);

tree_walk(right[x]);

end;

2.查找給定的元素

function tree_search(x,k:longint):longint;

begin

if (x=0) or (k=key[x]) then exit(x);

if k

end;

非遞歸版本

function tree_search(x,k:longint):longint;

begin

while (x<>0) and (k<>key[x]) do

begin

if k

end;

exit(x);

end;

3.查找最小元素

function tree_minimum(x:longint):longint;

begin

while left[x]<>0 do

x:=left[x]；

exit(x);

end;

查找最大元素

function tree_maximum(x:longint):longint;

begin

while right[x]<>0 do

x:=right[x];

exit(x);

end;

4. 求后繼

function tree_successor(x:longint):longint;

var

y:longint;

begin

if right[x]<>0 then exit(tree_minimum(right[x]));//若右子樹不空，則返回右子樹中的最小值

y:=p[x];//若右子樹為空，則后繼y為x的最低祖先節(jié)點(diǎn)，且y的左兒子也是x的祖先

while (y<>0) and (x=right[y]) do

begin

x:=y;

y:=p[y];

end;

exit(y);//注意，若y為0，則x無(wú)后繼

end;

//注意，函數(shù)返回值為節(jié)點(diǎn)編號(hào)，并不是節(jié)點(diǎn)本身的值

5.插入

procedure tree_insert(z:longint);//注意z為節(jié)點(diǎn)編號(hào)，并非樹中的值

var

x,y:longint;

begin

y:=0;

x:=root;

while x<>0 do//查找z的父節(jié)點(diǎn)，y記錄

begin

y:=x;

if key[z]

end;

p[x]:=y;

if y=0 then root:=z//若z為根節(jié)點(diǎn)

else begin

if key[z]

end;

end;

6.刪除

刪除操作是最麻煩的，分3種情況：

（1）若z無(wú)子樹，則就刪除z節(jié)點(diǎn)，更新p[z]的值為空

（2）若z有一個(gè)子樹，刪除z節(jié)點(diǎn)，更新p[z]的值為z的兒子節(jié)點(diǎn)，更新left[p[z]] 或 right[p[z]]

（3）若z有兩棵子樹，先找到z的后繼y（后繼節(jié)點(diǎn)無(wú)左子樹，可證），刪除y節(jié)點(diǎn)，更新p[y]與left[p[y]] 或 right[p[y]],最后用節(jié)點(diǎn)y的數(shù)據(jù)覆蓋z節(jié)點(diǎn)

procedure tree_delete(z:longint);

var

x,y:longint;

begin

if (left[z]=0) or (right[z]=0) then y:=z

else y:=tree_successor(z);

if left[y]<>0 then x:=left[y]

else x:=right[y];

if x<>0 then p[x]:=p[y];

if p[y]=0 then root:=x

else begin

if y=left[p[y]] then left[p[y]]:=x

else right[p[y]]:=x;

end;

if z<>y then key[z]:=key[y];

end;

7.查找數(shù)中第k大元素

需要對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)新開一個(gè)域v[x]，記錄該節(jié)點(diǎn)的有多少子節(jié)點(diǎn)，

查找時(shí)分三種情況：

（1）k=v[left[x]] 1 則當(dāng)前x節(jié)點(diǎn)為所求

（2）k<=v[left[x]] 則在左子樹中繼續(xù)查找

（3）k>v[left[x]] 1 則在右子樹中繼續(xù)查找,k更新為k-left[x]-1;

function find(x,k:longint):longint;

begin

if v[left[x]] 1=k then exit(key[k])

else if v[left[x]]>=k then exit(find(left[x],k))

else exit(find(right[x],k-v[left[x]]-1));

end;