計(jì)算尺

計(jì)算尺乘法

圖1顯示了一把有兩個(gè)對(duì)數(shù)刻度的簡(jiǎn)化算尺。也就是說(shuō)，一個(gè)數(shù)字x印在每把尺的離"索引"(用數(shù)字1標(biāo)記)的距離和 log x成正比的地方。

對(duì)數(shù)把乘法和除法操作變?yōu)榧臃ê蜏p法，這要感謝 log(xy) = log(x) log(y) 和 log(x/y) = log(x) - log(y)這兩個(gè)法則。 把頂部刻度向右滑動(dòng) log(x)的距離把每個(gè)數(shù)字y(位于頂部刻度 log(y)的位置)和底部刻度 log(x) log(y)位置對(duì)齊了。因?yàn)?log(x) log(y) = log(xy), 底部刻度的這個(gè)位置標(biāo)記為xy,也就是x 和 y的積。

下面的圖1示顯示了2乘其它任何數(shù)字。上面刻度的索引(1)和下面刻度的2對(duì)齊了。這把整個(gè)上刻度右移了 log(2)的距離。上刻度的數(shù)字(乘數(shù))和下刻度上的乘積對(duì)應(yīng)。例如，上刻度的3.5和下刻度的乘積7對(duì)齊，而4和8對(duì)齊，等等，如圖1所示:

操作可能會(huì)"超出范圍"。例如圖1顯示上刻度的7沒(méi)有任何下刻度的數(shù)字對(duì)齊，所以它沒(méi)有給出2* 7的答案。在這種情況下，使用者可以把上刻度往左移一點(diǎn)，乘以0.2而不是2，如下圖2所示:

這里，算尺的使用者必須記得相應(yīng)的調(diào)整小數(shù)點(diǎn)以得到最后答案。我們要找到2* 7，但是我們實(shí)際上計(jì)算了0.2* 7 = 1.4。所以真正的答案是14而不是1.4...

計(jì)算尺除法

圖4顯示了5.5/2的計(jì)算。頂部刻度的2放在底部刻度5.5的上面。頂部的1就在商2.75的上面。..

計(jì)算尺其他運(yùn)算

除了對(duì)數(shù)刻度，有些算尺還有其他數(shù)學(xué)函數(shù)刻錄在輔助刻度上。最常見(jiàn)的有三角函數(shù)，通常有正弦和正切，常用對(duì)數(shù)(log10) (用于取一個(gè)乘數(shù)刻度上的值的對(duì)數(shù)),自然對(duì)數(shù)(ln)和指數(shù)函數(shù)(ex)刻度。有些尺包含一個(gè)畢達(dá)格拉斯刻度，用來(lái)算三角形的邊，還有一個(gè)算圓的刻度。其它的有計(jì)算雙曲函數(shù)的刻度。在直尺上，刻度和它們的標(biāo)示是高度標(biāo)準(zhǔn)化的，主要的變化在于哪些刻度被包括進(jìn)來(lái)以及出現(xiàn)的次序。:

計(jì)算尺求根和冪

有單-十(C and D), 雙-十 (A and B), 和三-十 (K) 刻度。例如，要計(jì)算x 2 , 我們可以在D上找到x,從A上讀出它的平方。把這個(gè)過(guò)程反過(guò)來(lái)，我們可以計(jì)算平方根，同樣3, 1/3, 2/3, 和 3/2次冪都可以這樣算。在刻度上找底x的時(shí)候必須小心，有時(shí)候會(huì)有不只一個(gè)地方出現(xiàn)x。例如，A刻度上有兩個(gè)9,要找9的平方根，我們必須使用第一個(gè)9；用第二個(gè)9就會(huì)給出90的平方根。

計(jì)算尺三角函數(shù)

對(duì)于5.7到90度之間的角度，正弦可以通過(guò)比較S刻度和C或D找到。S刻度有第二套角度(有時(shí)會(huì)用不同的顏色)，從反方向增大，這是用來(lái)算余弦的。正切可以通過(guò)比較T刻度和C, D刻度,或者,對(duì)于大于45的角，可以比較CI刻度。小于5.7度的角的正弦和正切可以使用ST刻度找到。反三角函數(shù)可以用相反的過(guò)程找。

計(jì)算尺對(duì)數(shù)和指數(shù)

以10為底的對(duì)數(shù)和指數(shù)可以用L刻度找到，它是線性的。底是e的時(shí)候要用LL刻度。

計(jì)算尺加法和減法

計(jì)算尺通常不用做計(jì)算加法和減法，但也并非不可能。做加減法需要用到兩種獨(dú)特的方法。

第一種方法是將加減法變?yōu)槌顺?。做加法時(shí)，將兩數(shù)之商加1，然后乘以除數(shù)即得結(jié)果；做減法時(shí)，將兩數(shù)之商減1，然后乘以除數(shù)即得結(jié)果。

第二種方法利用可滑動(dòng)的L刻度（線性刻度）。L刻度上的數(shù)字線性分布，計(jì)算式只需將尺向左（減）或向右（加）滑動(dòng)即可讀出結(jié)果。

傳統(tǒng)上，算尺由硬木制成，例如桃花心木或黃楊木，再加上玻璃或金屬滑槽。1895年，一個(gè)公司開(kāi)始用竹子制作算尺，其優(yōu)點(diǎn)是對(duì)溫度和濕度不那么敏感。這些竹算尺于1933年秋引入瑞典可能只比引入德國(guó)早一點(diǎn)點(diǎn)。

最好的早期算尺是竹子作的，它尺寸穩(wěn)定，堅(jiān)固并且自然的自潤(rùn)滑。它們采用賽璐珞或塑料刻度。有些采用桃心木制作。由來(lái)的算尺由塑料制成，或者漆了塑料的鋁。

所有高級(jí)算尺都刻了數(shù)字和刻度，然后填上漆或其他樹(shù)脂。漆或烙的算尺質(zhì)量差一點(diǎn)，因?yàn)榭潭热菀啄サ簟?

早期的游標(biāo)是帶金屬框的玻璃。后來(lái)的游標(biāo)是在特弗倫軸承上滑動(dòng)的丙烯酸樹(shù)脂或聚碳酸酯。

帶放大鏡的游標(biāo)可以幫助視力差的工程師，也可以把算尺的精度加倍。

高級(jí)的算尺帶有精巧的鉤子，使得尺子不會(huì)意外脫開(kāi)，還有緩沖器，使得把尺子扔到桌子上時(shí)不會(huì)把刻度或游標(biāo)滑傷。

推薦的雕刻刻度的清理方式是用鋼絲絨輕輕的擦洗。對(duì)于漆算尺，保險(xiǎn)的方法是用商用窗戶清潔液和一塊軟布。

計(jì)算尺標(biāo)準(zhǔn)直算尺

算尺的長(zhǎng)度以刻度的長(zhǎng)度而論，不是一整個(gè)設(shè)備的長(zhǎng)度而論。最常見(jiàn)的高端算尺是10英寸雙工尺，而學(xué)生尺經(jīng)常是10英寸單工。袖珍尺通常是5英寸長(zhǎng)。

通常分隔記號(hào)標(biāo)到兩位有效數(shù)字的精度，然后用戶估算第三位數(shù)字。有些高端尺子有帶放大鏡的游標(biāo)，能使精度加倍，使得10英寸尺和20英寸尺一樣好用。

有一些小技巧可以用來(lái)增加方便性。三角刻度有時(shí)候有兩個(gè)標(biāo)記，一個(gè)黑一個(gè)紅，標(biāo)著互補(bǔ)的角度，這就是所謂"Darmstadt"風(fēng)格。雙工算尺經(jīng)常在背面復(fù)制有些刻度。刻度經(jīng)常被"分裂"以取得更高的精度。

特殊的算尺被設(shè)計(jì)用來(lái)適合不同的工程，商業(yè)和銀行的用途。這些經(jīng)常把常用計(jì)算直接用特殊刻度表示，例如，貸款計(jì)算，最佳買入數(shù)量，或者特殊的工程方程。

計(jì)算尺圓算尺

圓算尺有兩種基本類型，一種有兩個(gè)游標(biāo)，另外一種有一個(gè)活動(dòng)圓盤和一個(gè)游標(biāo)。圓算尺的基本優(yōu)點(diǎn)在于最長(zhǎng)的尺寸縮小到大約3倍(也就是π倍)。例如，一把10 cm 圓算尺和一把30 cm普通算尺的精度相當(dāng)。圓算尺也消除了"越界"計(jì)算，因?yàn)榭潭缺辉O(shè)計(jì)為"環(huán)繞"的;它們從不需要在結(jié)果接近1.0的時(shí)候重定向-尺子總是在界內(nèi)的。

圓算尺在機(jī)械方面更為強(qiáng)壯，活動(dòng)更平滑而且比直算尺更精確，因?yàn)樗麄冎灰蕾囉谝粋€(gè)中央軸承。中央支撐很少脫開(kāi)。軸承也避免了劃傷表面和游標(biāo)。只有最昂貴的直算尺才提供這些特性。

最高精度的刻度放在最外環(huán)。高端的圓算尺不用"割裂"式刻度，而是對(duì)比較困難的刻度(如雙對(duì)數(shù)刻度)采用螺線刻度。一個(gè)八英寸高級(jí)圓算尺可以有一個(gè)50英寸雙對(duì)數(shù)刻度！

技術(shù)上來(lái)講，圓算尺的真正缺點(diǎn)在于不那么重要的刻度離中心比較近，所以精度較差。歷史上，圓算尺的主要缺點(diǎn)只是它們不是標(biāo)準(zhǔn)的。多數(shù)學(xué)生在直算尺上學(xué)習(xí)算尺使用方法，然后沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有換到圓算尺的必要。

今天還在全球日常使用的算尺是E6B。這是1930年代第一次制造的一把圓算尺，用于幫助飛機(jī)飛行員進(jìn)行航位推算法計(jì)算。這在所有飛行商店依然可以買到，并仍被廣泛使用。當(dāng)全球定位系統(tǒng)減少了航位推算在航空中的使用的同時(shí)，E6B仍然被用作首選或被用航位推算儀器并且大部分飛行學(xué)校將它的某種程度的掌握作為學(xué)習(xí)要求。

1952年, 瑞士表公司百年靈(Breitling)引入了一款飛行員腕表，帶有集成圓算尺用于飛行時(shí)間計(jì)算:Breitling Navitimer(百年靈航時(shí)計(jì)算器)。Navitimer圓算尺，被百年靈稱為"航空計(jì)算機(jī)"，其特色在于飛行速度，爬升速度,飛行時(shí)間，距離，和燃料消耗函數(shù)，以及公里-海里和加侖-升燃料容量轉(zhuǎn)換函數(shù)。

計(jì)算尺柱狀算尺

柱狀算尺主要有兩種：螺旋刻度柱狀算尺（比如Fuller算尺，Otis King算尺和Bygrave算尺）、滑塊式柱狀算尺（比如Thacher和部分型號(hào)的Loga算尺）。柱狀算尺與普通算尺相比，好處是：更長(zhǎng)的刻度以及更高的準(zhǔn)確性。

在其最基本的形式中，算尺用兩個(gè)對(duì)數(shù)標(biāo)度來(lái)作乘法除法，這些在紙上進(jìn)行時(shí)既費(fèi)時(shí)又易出錯(cuò)的常見(jiàn)運(yùn)算。用戶通過(guò)估計(jì)決定小數(shù)點(diǎn)在結(jié)果中的位置。在包含加減乘除的計(jì)算中，加減在紙上進(jìn)行，而非算尺上。

實(shí)際上，就是最基本的學(xué)生用算尺也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止兩個(gè)標(biāo)度。多數(shù)算尺由三個(gè)直條組成，平行對(duì)齊，互相鎖定，使得中間的條能夠沿長(zhǎng)度方向相對(duì)于其他兩條滑動(dòng)。外側(cè)的兩條是固定的，使得它們的相對(duì)位置不變。有些算尺("雙面"型)在尺和滑桿的兩面都有刻度，有些在外條的單面和滑桿的兩面有刻度，其余的只有一面有刻度("單面"型)。一個(gè)滑動(dòng)標(biāo)記有一個(gè)或多個(gè)豎直的對(duì)齊線用于在任何一個(gè)刻度上記錄中間結(jié)果，也可用來(lái)找出不相鄰的刻度上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

更復(fù)雜的算尺可以進(jìn)行其他計(jì)算，例如平方根，指數(shù)，對(duì)數(shù)，和三角函數(shù)。

通常，數(shù)學(xué)計(jì)算通過(guò)把滑動(dòng)桿上的記號(hào)和其他固定桿上的的記號(hào)對(duì)齊來(lái)進(jìn)行，結(jié)果通過(guò)觀察桿子上的其他記號(hào)的相對(duì)位置來(lái)讀出。

計(jì)算尺發(fā)明于大約1620-1630年，在John Napier對(duì)數(shù)概念發(fā)表后不久。牛津的埃德蒙·甘特（Edmund Gunter）發(fā)明了一種使用單個(gè)對(duì)數(shù)刻度的計(jì)算工具，當(dāng)和另外的測(cè)量工具配合使用時(shí)，可以用來(lái)做乘除法。1630年，劍橋的William Oughtred發(fā)明了圓算尺，1632年，他組合兩把甘特式計(jì)算尺，用手合起來(lái)成為可以視為現(xiàn)代的計(jì)算尺的設(shè)備。和與他同時(shí)代的牛頓一樣，Oughtred將他的想法私下傳授給他的學(xué)生，卻延遲發(fā)表它們，也和牛頓一樣，他卷入了發(fā)明優(yōu)先權(quán)的糾紛，是和他曾經(jīng)的學(xué)生Richard Delamain。Oughtred的想法只在他學(xué)生William Forster在1632和1653年的出版物中公開(kāi)過(guò)。

1722年,Warner引入了2-和3-十進(jìn)刻度，1755年Everard導(dǎo)入倒數(shù)刻度；包含所有這些刻度的算尺通常稱為"多相"算尺。

更現(xiàn)代的形式是由法國(guó)炮兵中尉Amédée Mannheim于1859年引入, "他很幸運(yùn)，因?yàn)樗乃愠哂扇珖?guó)聞名的公司制作并被法國(guó)炮兵采用。"大約也就是在那個(gè)時(shí)間，隨著工程成為受到承認(rèn)的一種職業(yè)活動(dòng)，算尺在歐洲開(kāi)始廣泛使用。他們直到1881年沒(méi)有在美國(guó)變得普通，直到Edwin Thacher在那里引入了圓算尺。雙工尺于1891年由William Cox發(fā)明，由紐約的Keuffel&Esser公司生產(chǎn)。

第二次世界大戰(zhàn)中，需要進(jìn)行快速計(jì)算的轟炸者和航行者經(jīng)常使用專用算尺。美國(guó)海軍的一個(gè)辦公室實(shí)際上設(shè)計(jì)了一個(gè)通用算尺"底盤",它由一個(gè)鋁主體和塑料游標(biāo)，可以把賽璐珞卡片(兩面印刷)插到里面以進(jìn)行特定的計(jì)算。這個(gè)過(guò)程被發(fā)明來(lái)用于計(jì)算射程，燃料使用和飛行器高度，然后適用到很多其他目的。

從1950年代到1960年代，計(jì)算尺是工程師身份的象征，如同顯微鏡代表了醫(yī)學(xué)行業(yè)一樣。列舉一則軼事：德國(guó)火箭專家沃納·馮·布勞恩，在二戰(zhàn)后到美國(guó)從事航天計(jì)劃工作時(shí)隨身帶了兩把三十年代的老式Nestler算尺。終其一生，他沒(méi)有用過(guò)任何其他袖珍計(jì)算儀器；顯然計(jì)算尺在他進(jìn)行火箭設(shè)計(jì)的參數(shù)估算和其他計(jì)算中完美的完成任務(wù)。

有些工程系的學(xué)生和工程師常把10-英寸算尺別在皮帶上，或者把一把10-或20-英寸算尺安放在家中或辦公室里做精確運(yùn)算用(當(dāng)然,再精確運(yùn)算,計(jì)算尺就不行了,需要一本厚厚的八位對(duì)數(shù)表)，而隨身攜帶一把5-英寸袖珍算尺。所有這一切在1970年代告終，因?yàn)槲⑿陀?jì)算器頓使算尺過(guò)時(shí)。袖珍科學(xué)計(jì)算器（即帶有三角和對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算器）的誕生為計(jì)算尺敲響了最后的喪鐘。1972年的惠普HP-35是最早的科學(xué)計(jì)算器。

2004年,教育研究者David B. Sher和Dean C. Nataro構(gòu)想了基于積化和差(prosthaphaeresis)的新型算尺,一個(gè)比對(duì)數(shù)更老的快速計(jì)算乘積的算法。但是除了最初的原型，并沒(méi)有人有制造該算尺的實(shí)際興趣

費(fèi)米特長(zhǎng)計(jì)算尺

40年代李政道從費(fèi)米研究理論物理學(xué),為了計(jì)算太陽(yáng)中心的溫度,費(fèi)米幫李政道制造了一把2米長(zhǎng)的專用算尺。

中國(guó)歷史上最早使用計(jì)算尺的是康熙皇帝，他使用的是一把象牙制的甘特式計(jì)算尺。

70年代以前中國(guó)的理工科學(xué)生,人手一把,是必不可少的計(jì)算工具。上海計(jì)算尺廠制造的“自然對(duì)計(jì)算尺”是仿Keuffel & Esser式的，另有一型短計(jì)算尺則是仿德國(guó)Faber-Castell，制造精確美觀。

KE型計(jì)算尺不帶厘米、毫米刻度；德國(guó)Faber-Castell計(jì)算尺的優(yōu)點(diǎn)是帶厘米、毫米刻度尺， 既可用于計(jì)算，又可用于劃線制圖。

優(yōu)點(diǎn)：算尺趨向于使"假精度"和有效數(shù)字的錯(cuò)誤得到糾正。通常算尺使用者的精度是3位。這和多數(shù)工程公式所用的數(shù)據(jù)是相符合的(例如材料強(qiáng)度，精確到2到3位精度，有大量的安全系數(shù)-典型值為1.5倍以上-存在,作為對(duì)建筑水平的誤差，變化和材料的變化的附加修正)。當(dāng)使用現(xiàn)代的袖珍計(jì)算器時(shí)，精度顯示為7到10位，而實(shí)際上，結(jié)果不可能比輸入數(shù)字有更多的精度。

算尺需要一直估算結(jié)果的數(shù)量級(jí)。在算尺上，1.5 ?30 (等于45)和1,500,000 ?0.03 (等于45,000)結(jié)果相同。這取決于工程師來(lái)持續(xù)的估算結(jié)果的"有效性"：這在計(jì)算機(jī)程序或計(jì)算器的使用中經(jīng)常不存在，例如可能是一個(gè)沒(méi)有能力判斷數(shù)字的合理性的職員在操作計(jì)算器。

當(dāng)計(jì)算一系列乘法或除法，而因子相同的話，答案可以直接從算尺上掃到，而不用任何操作。例如，在上圖的算尺上，你可以計(jì)算任何乘2的運(yùn)算，只要看，不用手。這在計(jì)算百分比的時(shí)候很有用，例如考試成績(jī)。

算尺，不像電子計(jì)算器，是高度標(biāo)準(zhǔn)化的。

在使用電子計(jì)算器之余再使用算尺的好處是：一個(gè)重要的計(jì)算可以通過(guò)算兩遍來(lái)校對(duì)；因?yàn)閮蓚€(gè)儀器區(qū)別太大，不大可能兩次犯同樣的錯(cuò)誤。

缺點(diǎn):計(jì)算尺的缺點(diǎn)是不能進(jìn)行加法和減法運(yùn)算,必須用算盤或其他輔助工具進(jìn)行加減運(yùn)算。

由于上面給出的原因，有些人依然喜歡使用計(jì)算尺而不是電子計(jì)算器作為實(shí)用的計(jì)算工具。很多其他人則出于懷舊保留了他們的老算尺，或者作為愛(ài)好收集算尺，或作為別開(kāi)生面的擺設(shè)品。

很流行的型號(hào)有Keuffel & Esser的 Deci-Lon，高級(jí)科學(xué)和工程計(jì)算尺，分為10-英寸"普通"型(Deci-Lon 10)和5-英寸"袖珍"型(Deci-Lon 5)。 另一個(gè)流行的美國(guó)型號(hào)是8-英寸科學(xué)儀器圓算尺。歐洲的型號(hào)中，F(xiàn)aber-Castell的高端型號(hào)在收藏者中最為流行。

雖然有大量算尺在市場(chǎng)上流通，保存良好的標(biāo)本經(jīng)常令人吃驚的昂貴。很多在在線拍賣網(wǎng)站上賣的算尺有破損或缺零件。替換部件很稀缺，所以很貴，通常只在個(gè)人收藏者的網(wǎng)站上有零星出售。Keuffel&Esser1950年以前的型號(hào)特別有問(wèn)題，因?yàn)橛螛?biāo)的末端隨著時(shí)間會(huì)被化學(xué)反應(yīng)損毀。很多情況下，最經(jīng)濟(jì)的獲得可以用的算尺的辦法是購(gòu)買多把同一型號(hào)的算尺，再把他們的部件組裝起來(lái)。

獵尋計(jì)算尺的最佳去處是“跳蚤市場(chǎng)”，?？刹黄诙龅鼗?美元買到保存良好的KE或Faber-Castell計(jì)算尺。

目錄

計(jì)算器

一tigei計(jì)算器

1各部名稱及用法

2基本計(jì)算法

（1）加法

（2）減法

（3）乘法

（4）除法

（5）乘法簡(jiǎn)便計(jì)算法

二facit計(jì)算器

1各部名稱及用法

2使用方法

a小數(shù)除法

b二數(shù)相乘后再被某數(shù)除時(shí)簡(jiǎn)便法

計(jì)算尺

一計(jì)算尺的意義

二計(jì)算尺之使用法

1乘法

2連乘法

3除法

4連除法

5混合乘除法

6比例

7平方及平方根

8立方及立方根

9三角函數(shù)

10對(duì)數(shù)

11門周及門面積的計(jì)算方法

責(zé)任者：旅大行政公署工業(yè)廳計(jì)劃處編

出版者：[旅大行政公署工業(yè)廳計(jì)劃處]

出版地點(diǎn)：[旅大](遼寧)

出版時(shí)間：[1949]

載體形態(tài)：31頁(yè)

主題詞：計(jì)算尺

中圖分類號(hào)：O1-8

附注說(shuō)明：書名頁(yè)印有：簡(jiǎn)明公務(wù)手冊(cè)（2）