機(jī)械慣量

剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。又稱慣性距

其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

求和號(hào)（或積分號(hào)）遍及整個(gè)剛體。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)（如角速度的大小）無(wú)關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，一般用實(shí)驗(yàn)法測(cè)定。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中。

描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理[1]：剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于該剛體對(duì)同此軸平行并通過(guò)質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項(xiàng)恒大于零，因此剛體繞過(guò)質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的最小者。

還有垂直軸定理：垂直軸定理

一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。

表達(dá)式:Iz=Ix Iy

剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為_(kāi)____，式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L(zhǎng)^2M，在SI單位制中，它的單位是kg·m^2。

剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對(duì)稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過(guò)該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。

補(bǔ)充對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：

先說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來(lái)，先從動(dòng)能說(shuō)起大家都知道動(dòng)能E=(1/2)mv^2，而且動(dòng)能的實(shí)際物理意義是：物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)（選定一個(gè)參考系）運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量，（P勢(shì)能實(shí)際意義則是物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量的大小）。

E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方）

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對(duì)任何物體來(lái)說(shuō)是把物體微分化分為無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r)

得到E=(1/2)m(wr)^2

由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替,

K=mr^2

得到E=(1/2)Kw^2

K就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，分析實(shí)際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運(yùn)動(dòng)平動(dòng)分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運(yùn)動(dòng)角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。

為什么變換一下公式就可以從能量角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題呢？

1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)能量

2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析轉(zhuǎn)動(dòng)物體的問(wèn)題，是因?yàn)槠渲胁话D(zhuǎn)動(dòng)物體的任何轉(zhuǎn)動(dòng)信息。

3、E=(1/2)mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動(dòng)信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運(yùn)動(dòng)的信息，因?yàn)槔锩娴乃俣葀只代表那個(gè)物體的質(zhì)

心運(yùn)動(dòng)情況。

4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因?yàn)榘艘粋€(gè)物體的所有轉(zhuǎn)動(dòng)信息，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量K=mr^2本身就是一種積

分得到的數(shù)，更細(xì)一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)不變的信息的等效結(jié)果K=∑ mr^2 （這里的K和上樓的J一樣）

所以，就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，就有了價(jià)值。

若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式可寫成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV

其中dV表示dm的體積元，σ表示該處的密度，r表示該體積元到轉(zhuǎn)軸的距離。

補(bǔ)充轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量一樣，是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性，用字母J表示。

對(duì)于桿：

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過(guò)桿的中點(diǎn)并垂直于軸時(shí)；J=mL^2/12

其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長(zhǎng)度。

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過(guò)桿的端點(diǎn)并垂直于軸時(shí)：J=mL^2/3

其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長(zhǎng)度。

對(duì)與圓柱體：

當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時(shí)；J=mr^2/2

其中m是圓柱體的質(zhì)量，r是圓柱體的半徑。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定理： M=Jβ

其中M是扭轉(zhuǎn)力矩

J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

β是角加速度2100433B

機(jī)械在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的慣量——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（Moment of Inertia）。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量,它與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的分布有關(guān)。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：J=∑ Mi*Ri^2

（1）式中Mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，Ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是由質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置三個(gè)因素決定的。

(2) 同一剛體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不同,凡是提到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,必須指明它是對(duì)哪個(gè)軸的才有意義。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不是用在杠桿上，因?yàn)楦軛U被認(rèn)為是理想的，無(wú)質(zhì)量，不彎折的剛性物體。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用來(lái)研究旋轉(zhuǎn)的，有質(zhì)量的剛體。

極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是薄的圓盤相對(duì)于中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)于一個(gè)有多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，

值得注意的是，不應(yīng)將其與截面慣量（又稱截面二次軸矩（second axial moment of area），截面矩（area moment of inertia）混淆，后者用于彎折方面的計(jì)算。以下之轉(zhuǎn)動(dòng)慣量假設(shè)了整個(gè)物體具有均勻的常數(shù)密度。