機械能守恒定律表達式

機械能守恒定律

在只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，但機械能保持不變。

其數(shù)學表達式可以有以下兩種形式：

過程式：

1.W_G W_Fn=?E_k

2.E_減=E_增 （E_k減=E_p增 、E_p減=E_k增）

狀態(tài)式：

1.E_k1 E_p1=E_k2 E_p2（某時刻，某位置）

2.1/2mv₁² mgh₁=1/2mv₂² mgh₂[這種形式必須先確定重力勢能的參考平面]

機械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）是動力學中的基本定律，即任何物體系統(tǒng)如無外力做功，系統(tǒng)內(nèi)又只有保守力（見勢能）做功時，則系統(tǒng)的機械能（動能與勢能之和）保持不變。外力做功為零，表明沒有從外界輸入機械功；只有保守力做功，即只有動能和勢能的轉(zhuǎn)化，而無機械能轉(zhuǎn)化為其他能，符合這兩條件的機械能守恒對一切慣性參考系都成立。這個定律的簡化說法為：質(zhì)點（或質(zhì)點系）在勢場中運動時，其動能和勢能的和保持不變；或稱物體在重力場中運動時動能和勢能之和不變。這一說法隱含可以忽略不計產(chǎn)生勢力場的物體（如地球）的動能的變化。這只能在一些特殊的慣性參考系如地球參考系中才成立。如圖1所示，若不考慮一切阻力與能量損失，滾擺只受重力作用，在此理想情況下，重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化，而機械能不變，滾擺將不斷上下運動。

當物體在運動過程中，如果

A_外=0，A_{非內(nèi)保}=0

那么有

△E_機=E_末-E_初=0 或 E_k0 E_p0=E_k1 E_p1

這就是說，如果一個系統(tǒng)內(nèi)只有保守力作功，而其他內(nèi)力和外力都不作功，則運動過程中系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但他們的總和（即總機械能）保持不變，這就是質(zhì)點系的機械能守恒定律。

物體的動能和勢能統(tǒng)稱為機械能。

E_機=E_p E_k 或E=E_k E_p E_彈

一個物體能做功就說這個物體具有能。

機械能守恒條件是：只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力或重力所做的功?！炯春雎阅Σ亮υ斐傻哪芰繐p失,所以機械能守恒也是一種理想化的物理模型】,而且是系統(tǒng)內(nèi)機械能守恒。一般做題的時候好多是機械能不守恒的，但是可以用能量守恒，比如說把丟失的能量給補回來，

從功能關系式中的 W_F外=△E_機 可知：更廣義的機械能守恒條件應是系統(tǒng)外的力所做的功為零。

當系統(tǒng)不受外力或所受外力做功之和為零,這個系統(tǒng)的總動量保持不變,叫動量守恒定律。

當只有動能和勢能（包括重力勢能和彈性勢能）相互轉(zhuǎn)換時，機械能才守恒。

機械能守恒定律區(qū)別聯(lián)系

1、動能和動量的區(qū)別和聯(lián)系

（1）聯(lián)系：動能和動量都是描述物體運動狀態(tài)的物理量，都由物體的質(zhì)量和瞬時速度v決定，物體的動能和動量的關系為

（2）區(qū)別：①動能是標量，動量是矢量。動能變化只是大小變化，而動量變化卻有三種情況：大小變化，方向變化，大小和方向均變化。一個物體動能變化時動量一定變化，而動量變化時動能不一定變化。②跟速度的關系不同：E_k=1/2 mv²，p=mv。③變化的量度不同，動能變化的量度是合外力的功，動量變化的量度是合外力的沖量。

機械能守恒定律變力做功

2、用動能定理求變力做功

在某些問題中由于力F大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fs·cosα求出變力F做功的值，此時可由其做功的結(jié)果——動能的變化來求變力F所做的功。

機械能守恒定律全程考慮

3、用動能定理對全程考慮

在用動能定理解題時，如果物體在某個運動過程中包含有幾個運動性質(zhì)不同的分過程（如加速、減速的過程），此時，可以分段考慮，也可對全程考慮。如能對整個過程列式則可能使問題簡化。在把各個力的功代入公式：W₁ W₂ … W_n=1/2 mv_末²－1/2 mv_初²時，要把它們的數(shù)值連同符號代入，解題時要分清各過程中各個力做功的情況。

機械能守恒定律定理推論

4、機械能守恒定律的推論

根據(jù)機械能守恒定律，當重力以外的力不做功，物體（或系統(tǒng)）的機械能守恒。顯然，當重力以外的力做功不為零時，物體（或系統(tǒng)）的機械能要發(fā)生改變。重力以外的力做正功，物體（或系統(tǒng)）的機械能增加，重力以外的力做負功，物體（或系統(tǒng)）的機械能減少，且重力以外的力做多少功，物體（或系統(tǒng)）的機械能就改變多少。即重力以外的力做功的過程，就是機械能和其他形式的能相互轉(zhuǎn)化的過程，在這一過程中，重力以外的力做的功是機械能改變的量度，即W_G外=E₂－E₁。

機械能守恒定律關系總結(jié)

5、功與能關系的總結(jié)

做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能量轉(zhuǎn)化的量度。功和能的關系有以下幾種具體體現(xiàn)：

（1）動能定理反映了合外力做的功和動能改變的關系，即合外力做功的過程，是物體的動能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程，合外力所做的功是物體動能變化的量度，即W_總=E_k2－E_k1。

（2）重力做功的過程是重力勢能和其他形式的能量相互轉(zhuǎn)化的過程，重力做的功量度了重力勢能的變化，即W_G=E_p1－E_p2。

（3）重力以外的力做功的過程是機械能和其他形式的能轉(zhuǎn)化的過程，重力以外的力做的功量度了機械能的變化，即W_F外=E₂－E₁

（4）作用于系統(tǒng)的滑動摩擦力和系統(tǒng)內(nèi)物體間相對滑動的位移的乘積，在數(shù)值上等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量。即“摩擦生熱”：Q=F_滑·s相對，所以，F(xiàn)_滑·s相對量度了機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的多少。

可見，靜摩擦力即使對物體做功，由于相對位移為零而沒有內(nèi)能產(chǎn)生。

一、利用打點計時器進行驗證

1．物體做自由落體運動

一般以重錘從自由落體運動開始時刻（紙帶上的第一個點）到此后的某一適當時刻（紙帶上最后一個點之前的某點）進行研究。實驗時，先接通打點計時器電源再釋放紙帶，在打出的紙帶中，選取第一、二點間距最接近2 mm的紙帶進行測量。測出第0點到第n點的距離L，則可知重錘重力勢能的減少量；打出這兩點的時間間隔為t=n/f（f是交流電的頻率），由勻變速直線運動平均速度的推論、平均速度的定義式及初速為0，可知打第n點時重錘的瞬時速度，重錘動能的增量。由于要比較是否相等的△Ep與△Ek都是m的倍數(shù)，所以本實驗不需要測量重錘的質(zhì)量。

2．兩物體系統(tǒng)在豎直方向的勻加速運動

利用圖2所示實驗裝置，可驗證m₁、m₂（m₁<m₂）組成的系統(tǒng)機械能是否守恒。讓m₂從高處由靜止開始下落，兩物體均做勻加速直線運動，m₁拖著的紙帶將被打出一系列的點。若先接通打點計時器電源，然后釋放m₂，測出紙帶上第0點到第n點的距離L，則可知系統(tǒng)重力勢能的減少量；打出所研究的兩點的時間間隔為t=n/f（f是交流電的頻率），打第n點時的兩物體的瞬時速度便可求得，則可知系統(tǒng)動能的增量。由于要比較是否相等的△Ep與△Ek的表達式是兩物體質(zhì)量的不同組合，所以本實驗需要測量兩物體各自的質(zhì)量。

3．小車在滑板上的勻加速運動

如圖3所示裝置中，測出小車質(zhì)量M和小桶與沙的總質(zhì)量m，安裝好儀器器材后，使滑板適當傾斜以平衡滑動摩擦力，平衡掉滑動摩擦力以后，就相當于不受摩擦力的作用。先接通電源，再釋放小車，從打出的紙帶上，選出兩個適當點進行測量與計算。以小車、沙桶系統(tǒng)為研究對象，測出兩點距離L，則可知系統(tǒng)減少的重力勢能；利用勻變速直線運動“一段時間的中點時刻的速度等于這段時間里的平均速度”的推論及平均速度的定義，可算出打出所選的兩點時小車及沙桶的速度v₁、v₂，即可知系統(tǒng)增加的動能。

二、利用光電門進行驗證

三、利用平拋運動進行驗證

四、利用DIS系統(tǒng)驗證

如何區(qū)分機械能是否改變一

由“機械能=動能 勢能”判斷：若速度和高度不變，質(zhì)量減小，動能減小，重力勢能減小，機械能減?。蝗糍|(zhì)量和速度不變，高度減小，動能不變，重力勢能減小，機械能減小。

例1. 直升飛機在空中勻速下降的過程中，以下說法正確的是：（ ）

A. 直升飛機的動能不變，機械能也不變；

B. 直升飛機的重力勢能減小，機械能也減小；

C. 直升飛機的動能轉(zhuǎn)化為重力勢能；

D. 直升飛機的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能。

解析：這道題涉及到?jīng)Q定動能、勢能的因素和機械能是動能和勢能的總和以及能量轉(zhuǎn)化的知識。因為同一架飛機來說質(zhì)量不變，勻速運動的飛機速度沒有變，所以動能沒有變，隨著飛機的下降，高度減小，重力勢能減小，由于“機械能=動能 勢能”，則機械能減小。故正確答案為B。

外力對物體做功，也由“機械能=動能 勢能”來判斷：若質(zhì)量和速度不變，高度增加，動能不變，重力勢能增大，機械能增大。

例2. 起重機豎直方向勻速吊起某一重物G，在這一過程中，物體的：（ ）

A. 動能增加，重力勢能減小，機械能不變；

B. 動能不變，重力勢能增加，機械能增加；

C. 動能減小，重力勢能增加，機械能不變；

D. 動能減小，重力勢能不變，機械能減小。

解析：本題主要考查影響動能和勢能大小的因素，由于起重機吊物體是沿豎直方向勻速上升，質(zhì)量和速度不變，動能不變；但由于起重機吊起物體，使物體逐漸升高，起重機克服了物體的重力做功，它的重力勢能會越來越大，由于機械能等于不變的動能和增大的重力勢能之和，故正確答案為B。

在動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化的過程中，如果題目中有“光滑”、“自由”、“不計阻力”等詞語，說明不計摩擦，則機械能不變

例3. 一個小孩從公園光滑的滑梯的頂端滑到底端，對于機械能的變化情況，下列說法正確的是（ ）

A.重力勢能減小，動能不變，機械能減小；

B.重力勢能減小，動能增加，機械能減??；

C.重力勢能減小，動能增加，機械能增加；

D.重力勢能減小，動能增加，機械能不變。

解析：小孩是從“光滑”的滑梯的頂端滑到底端，說明不計摩擦，則機械能不變，又因為物體由“頂端”到“底端”，它的重力勢能減小了，所以動能就增大了。故可判斷正確答案為D。

例4.在動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化的過程中，若考慮摩擦，則機械能減小滾擺運動過程中，每次上升的高度逐漸降低，對此以下說法錯誤的是：（ ）

A. 滾擺運動到最高處時，動能為零；

B. 滾擺下落過程中重力勢能轉(zhuǎn)變成動能；

C. 滾擺運動過程中克服阻力做功，機械能不斷的減??；

D. 滾擺運動過程中重力勢能不變。

解析：滾擺運動過程中，在最高點時，速度等于零，此時，滾擺的重力勢能最大，動能最?。粷L擺在上升的過程中，動能轉(zhuǎn)化為重力勢能；在下降過程中，由于滾擺要不斷的克服摩擦阻力做功，所以滾擺的機械能減小，因此，A、B、C都是正確的，故本題答案為D。

可見，對于判斷機械能是否變化這一類問題，要緊扣題中的關鍵字、詞，分析哪些是變量，哪些是不變量，再利用規(guī)律和技巧解題。在解題過程中要認真思考總結(jié)，方能達到舉一反三、觸類旁通的效果。

基礎概念變形

A球用線懸掛在天花板上，且通過彈簧與B球相連，兩球質(zhì)量相等。當兩球都靜止時，將懸線燒斷，下列說法正確的是（ ）

A.線斷瞬間，A球的加速度大于B球的加速度

B.線斷后最初一段時間里，重力勢能轉(zhuǎn)化為動能和彈性勢能

C.下落過程中，兩個小球、彈簧和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒

D.線斷后最初一段時間里，動能的增加大于重力勢能的減少

解析：ACD都對。A對：設A球在上，B球在下。線斷的瞬間，彈簧長度“來不及”縮短，B的加速度為“零”。A的加速度為：a=(mg mg)/m=2g。B錯：A球向下加速的“加速度變小”，B球向下的“加速度變大”。彈簧的長度是“變短”的。彈簧的彈性勢能的“減少”的。C對：系統(tǒng)只有“重力和彈力做功”，機械能守恒。D對：重力勢能減少，彈性勢能也減少，它們的和等于增加的動能。

高中物理

1.一.力學/7.機械能/J.實驗：驗證機械能守恒定律

本微課講解了高中物理必修二第七章第九節(jié)《驗證機械能守恒定律》的基礎知識和常見考點。

高中 物理

1.一.力學/7.機械能

2.一.力學/7.機械能/H.機械能守恒定律