流體力學相關方程的理論及其應用結題摘要

項目執(zhí)行期間，我們主要研究了流體力學相關方程(例如:Navier-Stokes 方程組, MHD方程組, 粘彈力學方程、液晶模型)解的存在性，正則性和大時間行為。有關研究成果，分別發(fā)表《Arch. Ration. Mech. Anal.》,《 J. Differential Equations》。另外，我們還研究了偏微分方程在圖像處理中的應用及其信息安全方面的研究。 項目執(zhí)行期間，我們召開多次研討會，并訪問其他專家。我們亦培養(yǎng)了多名研究生和本科生，與博士后開展合作研究。 2100433B

本項目將在理論上研究變黏性的Navier-Stokes方程和幾類可壓復雜流體力學方程組在二維，三維空間中的全局解性態(tài)，以及薄膜邊界各向異性所導致的有效邊界條件。建立一些可壓粘彈流體，液晶等流體模型；討論有粘性狀態(tài)下的blow-up機制；研究無粘狀態(tài)下的奇性形成；討論解對粘性系數(shù)的依賴狀態(tài)，解的大時間性態(tài)并解決高維黏性依賴密度的等熵可壓縮流體力學方程組的適定性問題.本項目將對可壓的粘彈性流體方程組，MHD方程組等，在有粘性條件下討論其blow-up的機制并討論黏性依賴密度的可壓Navier-Stokes方程組的適定性，而無粘條件下分析三維模型的奇性形成.并且對粘性系數(shù)依賴于密度及溫度時，分別討論其blow-up機制及奇性形成.還將研究不同薄膜區(qū)域各向異性粘性以及各向異性微觀結構所引起的宏觀有效邊界條件。另外還探討以上流體力學相關方程的理論與方法在圖像處理，數(shù)據(jù)分析，計算機安全方面的應用。

《流體力學及其工程應用(翻譯版原書第10版)》內(nèi)容簡介：這本經(jīng)典教科書《流體力學及其工程應用》（原書第10版），繼承并發(fā)揚了講述流體力學物理現(xiàn)象的傳統(tǒng)，并以最簡單而且盡可能是最清晰，但又不使用復雜數(shù)學工具的方式來應用各項基本原理。對工科大學生而言，最重要的事情是把所探討的物理現(xiàn)象非常清晰地予以形象化。因此，《流體力學及其工程應用(翻譯版原書第10版)》大力強調(diào)流體力學的物理現(xiàn)象，一直貫穿于全書。在《流體力學及其工程應用(翻譯版原書第10版)》中，著重講述流體力學的基本原理、基本假設以及在其應用方面的條件，然后演示怎樣應用這些基本原理來解決實際的工程問題?！读黧w力學及其工程應用(翻譯版原書第10版)》文稿中有范例，節(jié)后有操練題，章后有習題。并列舉了大量的BG制、SI制的例題和習題，使學生熟悉兩種單位制的轉換。書中的操練題和習題總數(shù)已達到了1354題。這本受到高度尊重的教科書雖然一直在大規(guī)模地修訂，但仍然保持了其傳統(tǒng)的方法，即通過求解工程問題來講授基本概念。在《流體力學及其工程應用(翻譯版原書第10版)》中，所有專題的內(nèi)容都講解得更加清楚而且更加集成化了?！读黧w力學及其工程應用(翻譯版原書第10版)》還選編了許多挑戰(zhàn)性的習題，可以選用計算機及可編程的計算器來求解。有些新選的習題可以使用Excel、Mathcad以及HP-48G求解。

關于不可壓縮Navier-Stokes方程，可壓縮Navier-Stokes方程，Euler方程及其相關方程組整體解的存在性和不存在性，光滑解的爆破機制以及解的奇性機構等一直是流體力學數(shù)學理論和非線性偏微分方程的核心課題。其中關于三維不可壓縮Navier-Stokes方程組整體光滑解的存在性或初值是具有限能量的光滑函數(shù)，局部光滑解是否在有限時間內(nèi)爆破是Clay研究所公布的七大千禧年問題之一。這個問題的研究不僅具有深刻的數(shù)學意義，同時也具有強烈的應用背景。另外，非線性守恒律方程(組)，可壓縮Navier-Stokes方程等也在偏微分方程理論中起著基本的作用,該類方程的最重要的特征之一就是波的傳播速度依賴于波本身, 從而導致了巨大的復雜性以及產(chǎn)生了多種奇性結構的解,如: 激波, 疏散波,孤立子及邊界層等，對這些現(xiàn)象的深入研究不但與力學和航空等許多領域有密切的聯(lián)系,而且對現(xiàn)在的數(shù)學理論也是挑戰(zhàn)。