平面鑲嵌

教學(xué)課堂教學(xué)的流程可以大致如下:

課前師生收集鑲嵌圖案--課堂展示交流有關(guān)鑲嵌圖案--明晰概念(鑲嵌)--對(duì)所展示圖片觀察的基礎(chǔ)上提出一些有待研究的問(wèn)題--對(duì)學(xué)生所提出問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w類(lèi)并進(jìn)一步引導(dǎo)以展開(kāi)后續(xù)的課堂教學(xué)。

學(xué)生所提出的問(wèn)題必將是十分豐富的，同時(shí)也可能是十分繁雜的。因此，教師課前應(yīng)認(rèn)真分析有關(guān)問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、思維水平以及問(wèn)題之間的邏輯關(guān)系對(duì)后續(xù)問(wèn)題的研究進(jìn)行一個(gè)整體的規(guī)劃，這樣才能及時(shí)對(duì)學(xué)生所提出的問(wèn)題有一個(gè)比較好的評(píng)判(如對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究?jī)r(jià)值、研究方法、研究難度等作出比較恰當(dāng)?shù)脑u(píng)判，從而確定這樣的問(wèn)題是否可以在課堂上進(jìn)行研究，按照什么順序進(jìn)行研究等)，從而保證課堂教學(xué)的有序而高效地進(jìn)行。固然，教學(xué)中可以有多樣的選擇，下面僅提出一些建議供參考。

總體而言，教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真分析問(wèn)題的繁簡(jiǎn)和難易程度，一般遵循先易后難、先簡(jiǎn)后繁的順序展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)。因此，建議首先研究較為簡(jiǎn)單的單個(gè)多邊形的鑲嵌問(wèn)題，再研究復(fù)雜的多個(gè)多邊形的組合鑲嵌問(wèn)題。

對(duì)于單個(gè)多邊形的鑲嵌問(wèn)題，基于學(xué)生的水平和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，這里主要研究三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問(wèn)題。

對(duì)于三角形、正六邊形以及一些特殊的四邊形(如正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形)的鑲嵌問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)該都比較熟悉，因此，教學(xué)中，教師可以根據(jù)課堂教學(xué)狀況靈活選擇不同的教學(xué)順序。如可以在收集、觀察的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)正方形、正六邊形等平面圖形都可以鑲嵌整個(gè)平面，然后思考還有哪些正多邊形也可以鑲嵌整個(gè)平面，再?gòu)奶厥獾揭话氵M(jìn)一步研究一般的多邊形(三角形、四邊形)的鑲嵌問(wèn)題;也可以在明晰了鑲嵌概念之后，直接要求學(xué)生想象哪些多邊形能夠鑲嵌平面，并進(jìn)行具體的紙上描畫(huà)或者進(jìn)行實(shí)際的拼接(當(dāng)然，這里就未必有一個(gè)確定的教學(xué)順序了，根據(jù)課堂學(xué)生的狀況可能有不同的教學(xué)順序)。顯然，對(duì)于前一種處理方式，課堂教學(xué)的邏輯順序更為明顯，教學(xué)易于操控;而對(duì)于后一種處理方式，給學(xué)生和教師都留下了比較大的空間，教學(xué)將更為開(kāi)放，課堂更具生成性，但同時(shí)也不可避免具有一定的不可操控性，對(duì)教師自身素質(zhì)提出了更高的要求。

一般四邊形的鑲嵌問(wèn)題，是這堂課地教學(xué)難點(diǎn)。如何突破，這是擺在老師們面前的一個(gè)課題。這里可以有多種方式:如，考慮到該鑲嵌圖案的探究對(duì)學(xué)生而言確實(shí)有難度，可以在學(xué)生一定的拼接活動(dòng)的基礎(chǔ)上"告訴"，或者借助現(xiàn)實(shí)生活中一些具體圖形(如一些道路護(hù)坡的圖片)直接"告訴";也可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形、平行四邊形等不同的鑲嵌圖案之間的關(guān)系以及同一個(gè)鑲嵌圖案中各個(gè)多邊形之間的變換關(guān)系，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兪浇沂舅倪呅蔚蔫偳秵?wèn)題(見(jiàn)參考案例)。在獲得一般四邊形的鑲嵌圖案(如甲圖)之后，可能學(xué)生還有一些疑問(wèn)，如四邊形所構(gòu)成的圖案是"凹凸不平"的，如何鋪滿(mǎn)整個(gè)平面?為此，可以通過(guò)具體的拼接活動(dòng)讓學(xué)生獲得進(jìn)一步的直觀感受;或者分析共頂點(diǎn)的四個(gè)四邊形組成的"基本圖案"(如乙圖)，發(fā)現(xiàn)將"基本圖案"中的兩個(gè)三角形剪切后平移即可得到一個(gè)平行四邊形(如丙圖)，而平行四邊形是可以鑲嵌整個(gè)平面的，因此，這里"基本圖案"的鑲嵌相當(dāng)于將平行四邊形中剪切了部分移入另一個(gè)臨近的平行四邊形中。這樣，不僅關(guān)注了什么圖形能夠鑲嵌，而且關(guān)注了鑲嵌圖形的形成過(guò)程，可以為鑲嵌圖形的設(shè)計(jì)提供一些參考。

1.全等的任意三角形能鑲嵌平面

把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個(gè)全等的三角形.用這些全等的三角形可鑲嵌平面.這是因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，用6個(gè)全等的三角形即可鑲嵌出一個(gè)平面.如圖1.

用全等的三角形鑲嵌平面，鑲嵌的方法不止一種，如圖2.

2.全等的任意四邊形能鑲嵌平面。

仿上面的方法可剪出多個(gè)全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面.這是因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是360°，用4個(gè)全等的四邊形即可鑲嵌出一個(gè)平面.如圖3.其實(shí)四邊形的平面鑲嵌可看成是用兩類(lèi)全等的三角形進(jìn)行鑲嵌.如圖4.

3.全等的特殊五邊形可鑲嵌平面

圣地亞歌一位家庭婦女，五個(gè)孩子的母親瑪喬里·賴(lài)斯，對(duì)平面鑲嵌有很深的研究，尤其對(duì)五邊形的鑲嵌提出了很多前所未有的結(jié)論.1968年克什納斷言只有8類(lèi)五邊形能鑲嵌平面，可是瑪喬里·賴(lài)斯后來(lái)又找到了5類(lèi)五邊形能鑲嵌平面，在圖5的五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e，a+e=d.圖6是她于1977年12月找到的一種用此五邊形鑲嵌的方法.用五邊形鑲嵌平面，是否只有13類(lèi)，還有待研究.

4.全等的特殊六邊形可鑲嵌平面

1918年，萊因哈特證明了只有3類(lèi)六邊形能鑲嵌平面.圖7是其中之一.在圖7的六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d.

5.七邊形或多于七邊的凸多邊形，不能鑲嵌平面.

只有正三角形、正方形和正六邊形可鑲嵌平面，用其它正多邊形不能鑲嵌平面.

所有的方法:

用1種:(3，3，3，3，3，3)(4，4，4，4)(6，6，6);

用2種:(4，8，8)(3，12，12)(3，3，6，6)(3，3，3，3，6)(3，3，3，4，4)(*5，10，10)

用3種:(3，4，4，6)(4，6，12)(3，3，4，12)(3，10，15)(3，9，18)(3，8，24)(3，7，42)(*4，5，20)

其中的數(shù)字分別代表正多邊形的邊數(shù)。共有17種。

是枚舉出來(lái)的。

證明不能用3種以上的多邊形鑲嵌:

因?yàn)槿粲?種，則內(nèi)角和最小為60+90+108+120=378>360，(三角形、正方形、正五邊形、正六邊形)。

另外其中帶星號(hào)的的兩個(gè)(5,10,10)(3,7,42)是只能在一個(gè)點(diǎn)鑲嵌，而不能在整個(gè)平面鑲嵌。不帶這兩個(gè)，則是有15種方法。

例如:用正三角形和正六形的組合進(jìn)行鑲嵌.設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)?em>m個(gè)正三角形的角，有n個(gè)正六邊形的角.由于正三角形的每個(gè)角是60°，正六邊形的每個(gè)角是120°.所以有

m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6.

這個(gè)方程的正整數(shù)解 或 可見(jiàn)用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類(lèi)型，一種是在一個(gè)頂點(diǎn)的周?chē)?個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形，另一種是在一個(gè)頂點(diǎn)的周?chē)?個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形.如圖8、圖9.