平面鑲嵌

教學(xué)課堂教學(xué)的流程可以大致如下:

課前師生收集鑲嵌圖案--課堂展示交流有關(guān)鑲嵌圖案--明晰概念(鑲嵌)--對所展示圖片觀察的基礎(chǔ)上提出一些有待研究的問題--對學(xué)生所提出問題進行適當(dāng)?shù)臍w類并進一步引導(dǎo)以展開后續(xù)的課堂教學(xué)。

學(xué)生所提出的問題必將是十分豐富的，同時也可能是十分繁雜的。因此，教師課前應(yīng)認(rèn)真分析有關(guān)問題，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、思維水平以及問題之間的邏輯關(guān)系對后續(xù)問題的研究進行一個整體的規(guī)劃，這樣才能及時對學(xué)生所提出的問題有一個比較好的評判(如對這個問題的研究價值、研究方法、研究難度等作出比較恰當(dāng)?shù)脑u判，從而確定這樣的問題是否可以在課堂上進行研究，按照什么順序進行研究等)，從而保證課堂教學(xué)的有序而高效地進行。固然，教學(xué)中可以有多樣的選擇，下面僅提出一些建議供參考。

總體而言，教學(xué)中應(yīng)認(rèn)真分析問題的繁簡和難易程度，一般遵循先易后難、先簡后繁的順序展開教學(xué)活動。因此，建議首先研究較為簡單的單個多邊形的鑲嵌問題，再研究復(fù)雜的多個多邊形的組合鑲嵌問題。

對于單個多邊形的鑲嵌問題，基于學(xué)生的水平和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，這里主要研究三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題。

對于三角形、正六邊形以及一些特殊的四邊形(如正方形、長方形、平行四邊形)的鑲嵌問題，學(xué)生應(yīng)該都比較熟悉，因此，教學(xué)中，教師可以根據(jù)課堂教學(xué)狀況靈活選擇不同的教學(xué)順序。如可以在收集、觀察的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)正方形、正六邊形等平面圖形都可以鑲嵌整個平面，然后思考還有哪些正多邊形也可以鑲嵌整個平面，再從特殊到一般進一步研究一般的多邊形(三角形、四邊形)的鑲嵌問題;也可以在明晰了鑲嵌概念之后，直接要求學(xué)生想象哪些多邊形能夠鑲嵌平面，并進行具體的紙上描畫或者進行實際的拼接(當(dāng)然，這里就未必有一個確定的教學(xué)順序了，根據(jù)課堂學(xué)生的狀況可能有不同的教學(xué)順序)。顯然，對于前一種處理方式，課堂教學(xué)的邏輯順序更為明顯，教學(xué)易于操控;而對于后一種處理方式，給學(xué)生和教師都留下了比較大的空間，教學(xué)將更為開放，課堂更具生成性，但同時也不可避免具有一定的不可操控性，對教師自身素質(zhì)提出了更高的要求。

一般四邊形的鑲嵌問題，是這堂課地教學(xué)難點。如何突破，這是擺在老師們面前的一個課題。這里可以有多種方式:如，考慮到該鑲嵌圖案的探究對學(xué)生而言確實有難度，可以在學(xué)生一定的拼接活動的基礎(chǔ)上"告訴"，或者借助現(xiàn)實生活中一些具體圖形(如一些道路護坡的圖片)直接"告訴";也可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形、平行四邊形等不同的鑲嵌圖案之間的關(guān)系以及同一個鑲嵌圖案中各個多邊形之間的變換關(guān)系，然后通過適當(dāng)?shù)淖兪浇沂舅倪呅蔚蔫偳秵栴}(見參考案例)。在獲得一般四邊形的鑲嵌圖案(如甲圖)之后，可能學(xué)生還有一些疑問，如四邊形所構(gòu)成的圖案是"凹凸不平"的，如何鋪滿整個平面?為此，可以通過具體的拼接活動讓學(xué)生獲得進一步的直觀感受;或者分析共頂點的四個四邊形組成的"基本圖案"(如乙圖)，發(fā)現(xiàn)將"基本圖案"中的兩個三角形剪切后平移即可得到一個平行四邊形(如丙圖)，而平行四邊形是可以鑲嵌整個平面的，因此，這里"基本圖案"的鑲嵌相當(dāng)于將平行四邊形中剪切了部分移入另一個臨近的平行四邊形中。這樣，不僅關(guān)注了什么圖形能夠鑲嵌，而且關(guān)注了鑲嵌圖形的形成過程，可以為鑲嵌圖形的設(shè)計提供一些參考。

1.全等的任意三角形能鑲嵌平面

把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個全等的三角形.用這些全等的三角形可鑲嵌平面.這是因為三角形的內(nèi)角和是180°，用6個全等的三角形即可鑲嵌出一個平面.如圖1.

用全等的三角形鑲嵌平面，鑲嵌的方法不止一種，如圖2.

2.全等的任意四邊形能鑲嵌平面。

仿上面的方法可剪出多個全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面.這是因為四邊形的內(nèi)角和是360°，用4個全等的四邊形即可鑲嵌出一個平面.如圖3.其實四邊形的平面鑲嵌可看成是用兩類全等的三角形進行鑲嵌.如圖4.

3.全等的特殊五邊形可鑲嵌平面

圣地亞歌一位家庭婦女，五個孩子的母親瑪喬里·賴斯，對平面鑲嵌有很深的研究，尤其對五邊形的鑲嵌提出了很多前所未有的結(jié)論.1968年克什納斷言只有8類五邊形能鑲嵌平面，可是瑪喬里·賴斯后來又找到了5類五邊形能鑲嵌平面，在圖5的五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e，a+e=d.圖6是她于1977年12月找到的一種用此五邊形鑲嵌的方法.用五邊形鑲嵌平面，是否只有13類，還有待研究.

4.全等的特殊六邊形可鑲嵌平面

1918年，萊因哈特證明了只有3類六邊形能鑲嵌平面.圖7是其中之一.在圖7的六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d.

5.七邊形或多于七邊的凸多邊形，不能鑲嵌平面.

只有正三角形、正方形和正六邊形可鑲嵌平面，用其它正多邊形不能鑲嵌平面.

所有的方法:

用1種:(3，3，3，3，3，3)(4，4，4，4)(6，6，6);

用2種:(4，8，8)(3，12，12)(3，3，6，6)(3，3，3，3，6)(3，3，3，4，4)(*5，10，10)

用3種:(3，4，4，6)(4，6，12)(3，3，4，12)(3，10，15)(3，9，18)(3，8，24)(3，7，42)(*4，5，20)

其中的數(shù)字分別代表正多邊形的邊數(shù)。共有17種。

是枚舉出來的。

證明不能用3種以上的多邊形鑲嵌:

因為若用4種，則內(nèi)角和最小為60+90+108+120=378>360，(三角形、正方形、正五邊形、正六邊形)。

另外其中帶星號的的兩個(5,10,10)(3,7,42)是只能在一個點鑲嵌，而不能在整個平面鑲嵌。不帶這兩個，則是有15種方法。

例如:用正三角形和正六形的組合進行鑲嵌.設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形的角，有n個正六邊形的角.由于正三角形的每個角是60°，正六邊形的每個角是120°.所以有

m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6.

這個方程的正整數(shù)解 或 可見用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型，一種是在一個頂點的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，另一種是在一個頂點的周圍有2個正三角形和2個正六邊形.如圖8、圖9.