矢量磁位求解三維準(zhǔn)靜態(tài)矢量磁位的快速多極方法

近年來 ,快速多極方法(FMM)算法越來越多地應(yīng)用于電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的各個(gè)領(lǐng)域 ,與傳統(tǒng)的算法比較, 應(yīng)用 FMM 算法來求解大尺寸電磁散射問題 ,可大大降低內(nèi)存需要, 計(jì)算速度顯著提高。FMM算法與邊界元和有限元方法相結(jié)合, 來求解大型渦流場(chǎng)問題也取得了很好的計(jì)算效果。由于 FMM算法很適合于進(jìn)行并行計(jì)算 ,采用并行 FMM 算法可以求解上百萬(wàn)個(gè)未知數(shù)的大型矩陣向量乘法運(yùn)算。 大量的數(shù)值計(jì)算試驗(yàn)已經(jīng)證明了 FMM 算法是一種非常有效的數(shù)值加速算法。

在集成電路互連線的分析與設(shè)計(jì)過程中, 需要計(jì)算互連線在空間中某些區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)分布 , 在這種情況下,應(yīng)用有限元方法求解電磁場(chǎng)問題需要對(duì)整個(gè)場(chǎng)域進(jìn)行剖分。 由于集成電路互連線分布結(jié)構(gòu)復(fù)雜,為獲得較高的精度需要加密對(duì)場(chǎng)域或邊界的剖分,這樣計(jì)算機(jī)的內(nèi)存占用和計(jì)算時(shí)間會(huì)急劇增加.。首先根據(jù)計(jì)算精度的要求把連續(xù)分布的場(chǎng)源進(jìn)行離散化處理 ,然后通過靜電類比分析,將求解三維準(zhǔn)靜態(tài)矢量磁位的問題轉(zhuǎn)化為多體問題 ,進(jìn)而利用快速多極方法來計(jì)算。該算法只需要對(duì)場(chǎng)源和需要計(jì)算的場(chǎng)域進(jìn)行剖分, 大大降低了對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存的要求, 提高了計(jì)算速度。通過對(duì)積分方程的離散和靜電類比分析 ,推導(dǎo)出了應(yīng)用多極加速方法計(jì)算磁矢位的公式 , 最后通過算例證明了算法的正確性和有效性。

矢量磁位積分方程的離散

根據(jù)電磁場(chǎng)數(shù)值分析理論 ,在研究連續(xù)分布的量的作用時(shí),可以把它近似看成離散分布的量 ,考察其單個(gè)離散元的作用 ,如果問題是線性的,那么通過疊加的辦法就能求得整體的效果。 對(duì)于各向同性媒質(zhì)中的載流導(dǎo)體 ,電流密度矢量為

根據(jù)計(jì)算精度的要求 ,首先將導(dǎo)體剖分為 N個(gè)小體積單元,可以近似認(rèn)為每個(gè)小體積單元內(nèi)的電流密度為恒定, 經(jīng)過這樣的離散化 ,得到

在直角坐標(biāo)系下 ,把電流密度矢量

那么

式中 :

矢量磁位靜電模擬

設(shè)空間中體積單元

因?yàn)轶w積單元

M個(gè)靜止電荷帶電量相等，其電量為

比較（4）、（6）和（7）可以得到

式中:

矢量磁位示例計(jì)算

例 1:如圖 1 所示 ,求載流導(dǎo)體 A 在其自身所在空間區(qū)域和導(dǎo)體 B 所在的空間區(qū)域的矢量磁位。載流導(dǎo)體 A 電流分布均勻, 電流密度就為

首先對(duì)載流導(dǎo)體 A 和 B 進(jìn)行剖分,取剖分單元為立方體,分別采取 3 種不同的剖分密度計(jì)算, 即分別取體積單元的邊長(zhǎng)

分別采取不同剖分密度計(jì)算導(dǎo)體 A 、B 所在空間區(qū)域中部分場(chǎng)點(diǎn)的矢量磁位, 計(jì)算結(jié)果見表 1、表

2。表中

間的距離公式直接計(jì)算的結(jié)果, 其剖分密度為 a =0.025 μm ,將

結(jié)果進(jìn)行比較。

FMM 計(jì)算結(jié)果與的相對(duì)誤差為

以上兩個(gè)例子可以證明, 經(jīng)過積分方程離散和模擬分析, 應(yīng)用 FMM 算法可正確地計(jì)算三維空間載流導(dǎo)體的矢量磁位, 計(jì)算誤差可通過剖分密度進(jìn)行控制。由多極算法的加速理論可知，當(dāng)計(jì)算的粒子數(shù)很大時(shí) ,該算法的加速性能將會(huì)得到很好的體現(xiàn)。

矢量磁位結(jié)論與下一步工作

通過積分方程離散和靜電類比分析, 將求解準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng)矢量磁位的問題轉(zhuǎn)化為多體問題 ,利用 FMM 算法進(jìn)行求解。提出的方法擴(kuò)展了FMM 算法在準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng)矢量磁位數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域中的應(yīng)用 ,下一步的工作將該算法用于片上互連線電感參數(shù)的計(jì)算 , 為快速提取互連線寄生參數(shù)尋找快速可行的算法。 2100433B

直觀而言，磁矢勢(shì)似乎不及磁場(chǎng)來得“自然”、“基本”，而在一般電磁學(xué)教科書亦多以磁場(chǎng)來定義磁矢勢(shì)。以前，很多學(xué)者認(rèn)為磁矢勢(shì)并沒有實(shí)際意義，只是人為的物理量，除了方便計(jì)算以外，別無其它用途。但是，詹姆斯·麥克斯韋頗不以為然，他認(rèn)為磁矢勢(shì)可以詮釋為“每單位電荷儲(chǔ)存的動(dòng)量”，就好像電勢(shì)被詮釋為“每單位電荷儲(chǔ)存的能量”。相關(guān)論述，稍后會(huì)有更詳盡解釋。

磁矢勢(shì)的數(shù)值是相對(duì)的，相對(duì)于某設(shè)定數(shù)值。因此，學(xué)者會(huì)疑問到底儲(chǔ)存了多少動(dòng)量？不論如何，磁矢勢(shì)確實(shí)具有實(shí)際意義。尤其是在量子力學(xué)里，于1959年，阿哈諾夫－波姆效應(yīng)闡明，假設(shè)一個(gè)帶電粒子移動(dòng)經(jīng)過某零電場(chǎng)、零磁場(chǎng)、非零磁矢勢(shì)場(chǎng)區(qū)域，則此帶電粒子的波函數(shù)相位會(huì)有所改變，因而導(dǎo)致可觀測(cè)到的干涉現(xiàn)象 。越來越多學(xué)者認(rèn)為電勢(shì)和磁矢勢(shì)比電場(chǎng)和磁場(chǎng)更基本。不單如此，有學(xué)者認(rèn)為，甚至在經(jīng)典電磁學(xué)里，磁矢勢(shì)也具有明確的意義和直接的測(cè)量值。

磁矢勢(shì)與電勢(shì)可以共同用來設(shè)定電場(chǎng)與磁場(chǎng)。許多電磁學(xué)的方程可以以電場(chǎng)與磁場(chǎng)寫出，或者以磁矢勢(shì)與電勢(shì)寫出。較高深的理論，像量子力學(xué)理論，偏好使用的是磁矢勢(shì)與電勢(shì)，而不是電場(chǎng)與磁場(chǎng)。因?yàn)?，在這些學(xué)術(shù)領(lǐng)域里所使用的拉格朗日量或哈密頓量，都是以磁矢勢(shì)與電勢(shì)表達(dá)，而不是以電場(chǎng)與磁場(chǎng)表達(dá)。

對(duì)于恒定磁場(chǎng)，由于▽·B=0(B的散度處處為0)，因此，磁感應(yīng)強(qiáng)度可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，即

上式中的矢量場(chǎng)A是矢量磁位．它滿足方程

與電流密度的積分關(guān)系為

當(dāng)電流體密度已知時(shí)，可以直接用比奧薩伐定律通過積分計(jì)算磁場(chǎng)，也可以先利用上式通過積分計(jì)算矢量磁位，再求矢量磁位旋度得到磁感應(yīng)強(qiáng)度。該式的形式簡(jiǎn)單，因此在很多情況下，通過矢量磁位計(jì)算磁場(chǎng)要比直接積分計(jì)算磁場(chǎng)容易。當(dāng)電流為面分布或線分布時(shí)，矢量磁位分別為

在靜電場(chǎng)中，由于處處有▽×E=0，因此可以定義標(biāo)量電位E=-▽?duì)怠６诤愣ù艌?chǎng)中的有源區(qū)，▽×B=μ₀J，因此有源區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能表示為標(biāo)量場(chǎng)的梯度。但在電流密度等于0的無源區(qū)，磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足

因此在無源區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度也可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示

式中

對(duì)上式兩端的矢量函數(shù)求散度

并考慮

可見，無源區(qū)中的標(biāo)量磁位也滿足拉普拉斯方程。在無源區(qū)對(duì)

由于對(duì)于恒定磁場(chǎng)有，因此為了使線積分保持單值，線積分路徑必須在單連通區(qū)域內(nèi)。 2100433B

矢量之間的運(yùn)算要遵循特殊的法則。矢量加法一般可用平行四邊形法則。由平行四邊形法則可推廣至三角形法則、多邊形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運(yùn)算，一個(gè)矢量減去另一個(gè)矢量，等于加上那個(gè)矢量的負(fù)矢量。A-B=A (-B)。矢量的乘法。矢量和標(biāo)量的乘積仍為矢量。矢量和矢量的乘積，可以構(gòu)成新的標(biāo)量，矢量間這樣的乘積叫標(biāo)積；也可構(gòu)成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。例如，物理學(xué)中，功、功率等的計(jì)算是采用兩個(gè)矢量的標(biāo)積。W=F·S，P=F·v，物理學(xué)中，力矩、洛倫茲力等的計(jì)算是采用兩個(gè)矢量的矢積。M=r×F，F(xiàn)=qv×B。

我國(guó)各地興建的許多地下停車場(chǎng)，不僅安裝大量光源，并且24小時(shí)照明，浪費(fèi)了大量電能。矢量照明的應(yīng)用即當(dāng)有人、車出入需要照明時(shí)，系統(tǒng)會(huì)在高亮狀態(tài)下運(yùn)行，反之則保持節(jié)電的低亮狀態(tài)，比傳統(tǒng)照明方式節(jié)電80%以上。

矢量照明的原理即矢量圖像的原理。矢量圖像由被稱為矢量的數(shù)學(xué)對(duì)象定義的線條和曲線組成。 矢量根據(jù)圖像的幾何特性描繪圖像。 例如，矢量圖形中的靴帶由特定的寬度和長(zhǎng)度定義，設(shè)置在特定位置，并以特定顏色填色。 不論是移動(dòng)靴帶、調(diào)整其大小，還是更改其顏色，都不會(huì)降低圖形的品質(zhì)。同樣光束也可以根據(jù)不同的照明需要和照明環(huán)境、照明風(fēng)格設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整，即達(dá)到了視覺美化效果，也保證了光源質(zhì)量。

傳統(tǒng)照明只有一個(gè)單一的亮度指標(biāo)，只調(diào)明暗，而矢量照明則是一個(gè)多維度、多參量照明。相對(duì)傳統(tǒng)照明而言，它的優(yōu)勢(shì)更加明顯：不僅能調(diào)明暗，還能調(diào)色溫、色調(diào)，如可以根據(jù)個(gè)人喜好和場(chǎng)所需要調(diào)成偏綠、偏藍(lán)、偏紅等不同風(fēng)格。LED光源出現(xiàn)后，把照明的概念拓展了，不光是一個(gè)照亮的問題，更重要的是發(fā)揮了一種環(huán)境渲染、改變氛圍、增加情趣、調(diào)節(jié)情緒、改變心情的功能，從而給照明燈具賦予了新的內(nèi)涵。2100433B