物理系統(tǒng)量子力學系統(tǒng)

詢問一個物理實體的話，第一個問題可能就是“它在哪里？”根據(jù)日常經(jīng)驗，我們可以很精確的回答這個問題，只是要受測量儀器質量的限制。在極小物體的這個范圍，有某些基本的限制，必須用量子力學來回答那個問題。

從核心上說量子力學涉及能量。由于質量和能量的等價性（想一想愛因斯坦的著名公式，其中c是光速米/秒），量子力學還涉及有質量的粒子。由于光子能量和其頻率之間的關系（E=hv，其中h是普朗克常數(shù)，焦－秒），量子力學還涉及到光子。

根據(jù)量子力學，“它在哪兒”這個問題不能確定地回答。那我們如何處理這個不確定性呢？用分配概率的方法。由于空間的連續(xù)性質和其范圍上的無限性，這有一點復雜，但對于事件的無限集合來說處理思想是一樣的。概率密度非負，它對全體空間的積分為1（這就像所有互斥且完備的事件的概率之和等于1）。

所以在量子力學里，一個物體用隨時間演變的一個“概率點”來表示。它怎么演變呢？基本的方程不是根據(jù)概率密度寫出的，而是根據(jù)空間和時間的另一個函數(shù)寫出的，由它可以求出概率密度。

考慮一下概率密度的平方根，把它看作是空間和時間的一個函數(shù)。這樣為了增加一些一般性，令平方根可正可負—將其平方就得到概率密度，每個人都會。下一步，為了更大的一般性，使這個平方根在復平面內有任意的相角，這樣它就有了實部和虛部。我們不再叫它平方根，而是“波函數(shù)”，它使空間r和時間t的一個函數(shù)。概率密度就是波函數(shù)絕對值的平方),(trΨ ),(),(),(2trtrtrΨΨ=Ψ"para" label-module="para">

其中星號"para" label-module="para">

前面涉及概率時，我們從沒有根據(jù)什么初等概念表示它們。為什么需要這樣做呢？因為量子力學的基本方程涉及。為什么？別這么問。這只是量子力學眾多怪異性質中的一個。),

量子力學的基本方程是薛定諤方程，它由奧地利物理學家(1887-1961)發(fā)現(xiàn)。ErwindingeroSchr&&1 ),()(),(2),(222trrVtrmttriΨ Ψ"para" label-module="para">

其中i是（虛數(shù)的）-1平方根，m是物體質量，是勢能函數(shù)，它的空間梯度是作用在物體上的力的復數(shù)，)(rV3410054.12"_blank" href="/item/拉普拉斯算子/7261323" data-lemmaid="7261323">拉普拉斯算子定義為2"para" label-module="para">

其中x，y和z是三個空間維度。

這個方程一般通過把它乘以再對空間積分來解釋。然后左側視為全部能量，右側視為動能和勢能之和（假設波函數(shù)被規(guī)范化，這樣),(tr"para" label-module="para">

這個方程令人迷惑地簡單。它是),(trΨ的線性方程，就是說如果1和2是解，那么它們任意一個線性組合也是解2211Ψ Ψ=Ψααtotal （11.4）

其中1α和2α是復常數(shù)（如果這個線性組合得到是一個有效的概率分布，那么1α和2α的值必須是使2),(trΨ的空間積分為1的那樣的值）。然而，除了最簡單的情況以外，這個方程不能以閉合形式解得。)(rV

嚴格地說，該方程只有在物體在整個宇宙中討論時才真的正確，這種情況下因為太復雜方程就沒有用了。但是，它通常用做近似情況，這時把宇宙看作兩部分——正計算其波函數(shù)的一個小的部分（該物體）和剩余的宇宙（“外界環(huán)境”），它對物體的影響被假定用表示。注意這個物體可能是一個單個的光子、一個電子或兩個以上的例子，即它不必符合單個粒子的正規(guī)概念。)(rV

一個物體會與它的外界環(huán)境互相影響。很自然地，如果一個物體改變了它的環(huán)境（如果要測量物體的某個屬性時就會發(fā)生），那么環(huán)境就會改變這個物體。量子力學的一個很有趣的結論是測量了一個物體某個屬性后，它通常會有一個不同的波函數(shù)，結果就不能確定物體以前的某些屬性。

物理系統(tǒng)靜止狀態(tài)

盡管對于一個給定的，薛定諤方程可能不能用閉合形式解出，但是不知道解的細節(jié)仍可以說出解的很多性質。考慮一些特定形式的解，一個空間函數(shù)與另一個時間函數(shù)的乘積。從薛定諤方程很容易表明對于某個實數(shù)E（實數(shù)是因為否則（r，t）就會在非常大的或小的時間內無限地變化）這種波函數(shù)能有的最一般的形式為)(rV

（11.5） η/)(),(iEtertr"para" label-module="para">

其中)(rφ符合方程（不包括時間） )()()(2)(22rrVrmrEφφφ "para" label-module="para">

對任意值E不能得到)(rφ的非零解。可能在E的某個范圍內可以，只含有特別離散值E的其他范圍會得到非零波函數(shù)。一般地說，對應于離散值E的這些解會變得非常小（即它們“在無窮遠處消失”），因此盡管它們有多于一個的“概率點”，它們還是會在空間中停下來。

這些解被稱為“靜止狀態(tài)”，因為波函數(shù)的量（所以概率密度也是如此）不能隨時間而變化；它只是空間的函數(shù)。

對靜止狀態(tài)，E有一個很有趣的解釋。如果我們用乘以這個方程，再對空間積分，可以看到（就像上一節(jié)中的一樣）E是右面兩項的和，即物體的動能和勢能。所以E是和那個解相關的全部能量。)(r"para" label-module="para">

有這樣勢能的薛定諤方程的大多數(shù)解都沒有這種形式。但是不要忘了薛定諤方程的解的任意一個線性組合仍是一個解。我們可以把這些靜止狀態(tài)當作積木生成更一般的解。)(rV

我們對停在空間中一點的靜止狀態(tài)非常感興趣，所以盡管可能有很多（甚至是一個可數(shù)的無限值），但E的允許值是離散的。如果我們令j為靜止狀態(tài)的一個索引，那么就可能定義結果波函數(shù)使得它們都被規(guī)范化和“正交化”，前者就是說每個波函數(shù)絕對值的平方對空間的積分是1，后者就是說當在全部空間積分時，任何一個波函數(shù)和其他波函數(shù)復數(shù)共扼乘積為0。我們就可以用表示E的值，把它解釋為與那個狀態(tài)相聯(lián)系的能量。),(trjΨje

這樣薛定諤方程的一般解就寫作靜止狀態(tài)的線性組合Σ"para" label-module="para">

其中jα是擴展系數(shù)，可能是復數(shù)。如果波函數(shù)),(trΨ被正交化，則很容易表示為

Σ=jj21α （11.8）

與該函數(shù)相關的能量可以用寫作je 2Σjjjeα （11.9）

從這些關系式我們可以觀察出2jα的性質類似一個事件的概率分布，這些事件有被占用的各個狀態(tài)組成，這個概率分布可用于計算與物體相關的平均能量。

我們對量子力學簡單的學習得出的結論可以證明下一節(jié)中給出的多狀態(tài)模型。那些想不通過任何解釋就接受這個模型的讀者跳過了前面兩節(jié)，重新和我們走到了一起。

物理系統(tǒng)多狀態(tài)模型

我們用前兩節(jié)對量子力學的簡單討論證明了一個物理實體的模型，模型如下。物體有一個波函數(shù)，它原則上對時間描述物體的行為。這個波函數(shù)可能很難或不可能計算，當物體與外界環(huán)境互相影響時，它可能會以某種無法預測的方式改變。Ψ

物體有有限多個（或者可數(shù)的無限值）更容易計算的“靜止狀態(tài)”（盡管對復雜物體，仍不可能求出它們）。每個靜止狀態(tài)都有自己的波函數(shù)jΨ，其中j時靜止狀態(tài)的索引。如果物體實際的波函數(shù)是這些靜止狀態(tài)（即，如果這個狀態(tài)被“占用”）中的一個，那么物體很明確地處在那個狀態(tài)（或者直到它與其外界環(huán)境互相影響）。每個靜止狀態(tài)都有自己的能量，可能還有感興趣的其他物理量的值。je

該物體的波函數(shù)可以表示為靜止狀態(tài)的一個線性組合，形式為ΣΨ=Ψjjjα （11.10）

其中jα是復數(shù)，稱為擴展系數(shù)。如果物體處于一個靜止狀態(tài)，則除了一個以外，所有的jα為0。不失一般性擴展系數(shù)可以這樣定義：它們絕對值的平方的和為1： Σ=jj21α （11.11）

對物體性質的測量（比如能量）涉及到和物體外界環(huán)境的相互影響，還有環(huán)境的變化（如果這正是記錄結果的理由）。量子力學的結果是如果物體處于一個靜止狀態(tài)，測量它的能量，那么測量結果是簡單的那個狀態(tài)的能量，狀態(tài)不會改變（即擴展系數(shù)不會因為測量而改變，除了一個以外所有的擴展系數(shù)為0）。從另一方面講，如果物體不處于靜止狀態(tài)，那么測量結果是一個靜止狀態(tài)的能量，物體馬上會假定那個就是靜止狀態(tài)。這樣在每次測量后，物體就會處于一個靜止狀態(tài)。哪個狀態(tài)？狀態(tài)j的概率是被選擇的是2jα的那個。這樣實驗測量能量的期望值是Σjjje2α

其中是與靜止狀態(tài)j相關的能量。因此量子力學中的測量就不像是日常物體的測量，日常測量中假設能量或其他物理性質不能以任意精度測量，這樣的測量不會攝動該物體。量子測量的這個性質是量子力學諸多性質中的一個，盡管它可能不符合日常生活中的直覺，但必須要接收它。2100433B

要執(zhí)行信息存儲、傳遞或處理的物體應該避免誤差，誤差是與外界環(huán)境進行不可能預測的互相影響時固有的。處理信息的最簡單的物體需要兩個狀態(tài)。一位信息可以關聯(lián)系統(tǒng)占用哪個狀態(tài)。有多于兩個狀態(tài)的更復雜的物體可以表示多于一位的信息。

量子信息系統(tǒng)，包括計算機和通信系統(tǒng)。

一個要進行能量存儲、轉移和轉化的物體一定有幾種可能的狀態(tài)。這樣的物體通常由大量（比如阿伏加德羅常數(shù)）相似或相同的粒子組成，所以由大量的靜止狀態(tài)。薛定諤方程不能處理這種情況。為了傳輸能量或從外界獲取能量需要經(jīng)常與外界互相影響。不可能知道系統(tǒng)是否處于一個靜止狀態(tài)，甚至是如果知道了，那么與外界環(huán)境不可預測的互相影響很快地會使得這種知識毫無關聯(lián)。231002.6×106-19=AN

對這種系統(tǒng)最多能做的就是處理各個占用的靜止狀態(tài)的概率能量E的期望值是Σ=eE

用這種方法建立起這個模型，它很適合應用最大熵原理估算所占用的概率分布。本講義的下一章會繼續(xù)這個主題。

量子力學很怪異。好像沒有方法使它呈現(xiàn)出別的樣子。它的很多預言都與日常經(jīng)驗的預期不一致。

量子力學很神秘，即使是對非常好的物理學家也是如此。人們對它的方程和方法基本思想和解釋有爭議。

量子力學很難應用。需要相對高級的數(shù)學技巧。即使是線性的，那基本方程仍是一個偏微分方程，除了在少數(shù)非常簡單的情況下，無法用解析的方法求出。通常數(shù)字解是必須的。

就像其他物理理論一樣，量子力學需要在建模和數(shù)學方法的技巧與判斷力。在研究生或高年級本科階段并不曾有什么講授。

量子力學以不同的形式出現(xiàn)。有很多可以替換的闡述。這些闡述通常是等價的，就是說

它們得出相同的實驗結果，但它們并不同樣地易于學習或用于特定用途。

根據(jù)這些性質，為什么量子力學這么重要呢？因為它確實有效。它是唯一的基礎物理理論可以應用于如此廣泛的領域。它的預言已經(jīng)反復地被實驗證明。它適用于日常的物體，適用于天體（盡管通常情況下對它們并非必需）。它適用于原子級尺寸的物體、電磁波和亞原子物體。有一種說法是它與狹義相對論相一致。唯一沒有處理得很好的物理現(xiàn)象就是重力；量子力學還沒有擴展到與廣義相對論一致的程度。

本講義中我們不涉及這么深層次的量子力學。為了研究物理系統(tǒng)中的信息處理，我們只需要理解這些系統(tǒng)具有的一少部分性質。特別地，我們需要一個物理系統(tǒng)的模型，它有很多種可能的狀態(tài)，每種狀態(tài)都伴隨著系統(tǒng)實際處于狀態(tài)（即，該狀態(tài)“被占用”）的概率。這些狀態(tài)都有與之相關的物理性質，能量就是其中之一。量子力學把這個模型合理化了。

我們把這個模型用在兩種情況。第一種（如下）有很多種狀態(tài)，目的是理解與這些狀態(tài)相關的信息如何影響能量流。第二種（在本講義中后面的章節(jié)中）有很少的狀態(tài)，用占用這些狀態(tài)表示信息，目的是理解量子力學施予的限制和機會。

下面的兩節(jié)名為“量子力學概述”和“靜止狀態(tài)”，已經(jīng)準備好在沒有證明的情況下接受狀態(tài)模型的讀者可以跳過這兩節(jié)。他們直接可以跳到“多狀態(tài)模型”這一節(jié)。其他的讀者仔細得學習這兩節(jié)，可以得到一些關于如何從量子考慮得出這個模型的提示，在這個過程中也許會理解量子力學的某些方面，可以使它不那么神秘。

我們忽略了物理系統(tǒng)的很多方面，只涉及比如信息這樣的抽象概念。盡管假設每個存儲或傳輸?shù)奈欢荚谀硞€物理實體中說明，但我們集中討論抽象位而忽略了物理定律施加的任何限制。這是信息時代的主要的隱患。

以前不是那樣的，將來也不是。在過去的幾個世紀，信息的物理表示非常重要，因為它成本很高。為了保存或發(fā)送信息，需要寫成書或者甚至把字刻到石頭上。比如試想一下中世紀制造書稿的過程。頁面的復制和加入插圖都很困難。成品以其藝術性和文化重要性被人們羨慕，部分是因為制造起來非常昂貴——社會只能承受將最重要的信息記錄，而與其他制造成本相比一流的藝術品的成本并不是非常高。

多年的進步提高了信息存儲和傳輸?shù)男省囅胍幌掠∷⑿g、電報、電話、無線電廣播、電視、數(shù)字信號處理、半導體、光線。這些東西造就了使能的復雜系統(tǒng)，諸如計算機、數(shù)據(jù)網(wǎng)絡，甚至造就了為娛樂創(chuàng)作和分配的經(jīng)濟系統(tǒng)。隨著數(shù)據(jù)處理成本的下降，應當考慮與制造、維護和利用信息的成本相比可以忽略不計的領域了。就在這個領域信息論的抽象概念、位、編碼和所有計算機科學占據(jù)著主流。社會的各個領域都處理著日益增加的可用的信息量。甚至由于信息處理的經(jīng)濟的變化著作權、版權、專利權和交易機密的思想都在更新。這就是信息時代。

與其物理實體分開的信息的模型當然是實際情況的一個近似。隨著我們制造的微電子系統(tǒng)越來越復雜、使用越來越小的組建，我們最終會面臨基本的限制，它并非來自制造微結構的能量，而是來自物理學的基本定律。支配所有物理系統(tǒng)的這個基本定律就是量子力學。

這個重要概念我們用了這么長的時間，以至于需要重新解釋量子力學有哪些重要領域

那些可以在小的擾動下存儲信息的設備使得數(shù)字抽象成為了可能

面對不確定性，用概率表示我們的知識

最大熵原理作為一個方法可以無偏差地估計概率值.

根據(jù)土壤中礦物顆粒組合特點將土壤分為若干類型的檢索系統(tǒng)。常見的有：

國際制分類系統(tǒng) 　該系統(tǒng)將土壤質地分為 4組（砂土、壤土、粘壤土和粘土）13級，并按等邊三角表進行檢索（圖 2）。其方法是：①以粘粒含量為主要標準25%為粘土組。②當土壤含粉粒達45%以上時，在各組質地的名稱前均冠以“粉質”。③當砂粒含量在55～85%時，則冠以“砂質”；如超過85%，則稱為壤質砂土，其中砂粒達90%者稱砂土。 　美國制分類系統(tǒng) 　與國際制基本相似，所不同的是它將土壤質地分為4組12級（圖3）。 　蘇聯(lián)制分類系統(tǒng) 　由蘇聯(lián)卡欽斯基擬定，采用雙級分類制，即按物理性砂粒和物理性粘粒含量將土壤質地分為 3組9級（表2）。

除上述3個分類系統(tǒng)外,還有些國家結合自己國家土壤的特點制訂了各自的土壤質地分類系統(tǒng)。

模擬復雜構造，基于模型的三維觀測系統(tǒng)設計，含油、水、氣模型制作和采集，三分量采集，裂縫物理模型制作和采集等。 2100433B

幕墻物理性能檢測。 2100433B