無窮維空間非線性方程的非完全分歧理論及其應(yīng)用

本項目以研究無窮維空間雙參數(shù)方程非完全分歧理論為核心. 將Morse引理應(yīng)用于非線性方程的局部分歧問題, 擴(kuò)大刻畫歧異點的種類。 尤其是研究帶有擾動項的雙參數(shù)方程的非完全分歧理論, 刻畫擾動方程的分歧圖并得到擾動方程的精確多解性。 應(yīng)用單值算子廣義逆，解決從非單特征值出發(fā)的雙參數(shù)方程的分歧問題。并將抽象結(jié)果應(yīng)用到化學(xué)反應(yīng)和生態(tài)模型中。

本項目將在理論上研究變黏性的Navier-Stokes方程和幾類可壓復(fù)雜流體力學(xué)方程組在二維，三維空間中的全局解性態(tài)，以及薄膜邊界各向異性所導(dǎo)致的有效邊界條件。建立一些可壓粘彈流體，液晶等流體模型；討論有粘性狀態(tài)下的blow-up機(jī)制；研究無粘狀態(tài)下的奇性形成；討論解對粘性系數(shù)的依賴狀態(tài)，解的大時間性態(tài)并解決高維黏性依賴密度的等熵可壓縮流體力學(xué)方程組的適定性問題.本項目將對可壓的粘彈性流體方程組，MHD方程組等，在有粘性條件下討論其blow-up的機(jī)制并討論黏性依賴密度的可壓Navier-Stokes方程組的適定性，而無粘條件下分析三維模型的奇性形成.并且對粘性系數(shù)依賴于密度及溫度時，分別討論其blow-up機(jī)制及奇性形成.還將研究不同薄膜區(qū)域各向異性粘性以及各向異性微觀結(jié)構(gòu)所引起的宏觀有效邊界條件。另外還探討以上流體力學(xué)相關(guān)方程的理論與方法在圖像處理，數(shù)據(jù)分析，計算機(jī)安全方面的應(yīng)用。

項目執(zhí)行期間，我們主要研究了流體力學(xué)相關(guān)方程(例如:Navier-Stokes 方程組, MHD方程組, 粘彈力學(xué)方程、液晶模型)解的存在性，正則性和大時間行為。有關(guān)研究成果，分別發(fā)表《Arch. Ration. Mech. Anal.》,《 J. Differential Equations》。另外，我們還研究了偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用及其信息安全方面的研究。 項目執(zhí)行期間，我們召開多次研討會，并訪問其他專家。我們亦培養(yǎng)了多名研究生和本科生，與博士后開展合作研究。 2100433B

第1章 緒論 1

1.1 引言 1

1.2 非線性系統(tǒng)的實例 3

1.3 非線性系統(tǒng)運(yùn)動分析研究現(xiàn)狀 7

第2章 非線性動態(tài)系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ) 11

2.1 微分方程及其解的定義 11

2.1.1 微分方程的分類 11

2.1.2 微分方程的解 13

2.2 柯西定理 14

2.3 冪級數(shù)解法 20

2.4 小結(jié) 25

第3章 幾種非線性動態(tài)系統(tǒng)分析方法 26

3.1 范例 26

3.2 攝動方法 27

3.3 Adomian分解法 28

3.3.1 Adomain分解法的基本思想 28

3.3.2 Adomain分解法的基本原理 29

3.3.3 算例 31

3.4 直接積分法 32

3.4.1 直接積分法的基本思想 32

3.4.2 算例 33

3.5 小結(jié) 34

第4章 非線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)方程迭代解法 35

4.1 引言 35

4.2 非線性系統(tǒng)自由運(yùn)動狀態(tài)方程的任意階近似迭代解 36

4.2.1 非線性系統(tǒng)的線性化 36

4.2.2 廣義朗之萬梯度方程 38

4.2.3 非線性系統(tǒng)自由運(yùn)動狀態(tài)方程的任意階近似解 40

4.2.4 方均包絡(luò)矩陣轉(zhuǎn)移方程 45

4.2.5 本節(jié)小結(jié) 48

4.3 非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似迭代解 48

4.3.1 非線性系統(tǒng)受控運(yùn)動狀態(tài)方程的任意階近似解 48

4.3.2 非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似解 56

4.3.3 仿射非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似解 63

4.3.4 本節(jié)小結(jié) 69

4.4 非線性協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似 迭代解 70

4.4.1 非線性協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似迭代解 70

4.4.2 非線性協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似迭代解

的收斂性 73

4.5 小結(jié) 74

第5章 非線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)方程級數(shù)解法 75

5.1 動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移數(shù)學(xué)模型 75

5.1.1 引言 75

5.1.2 動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)空間正向及逆向轉(zhuǎn)移數(shù)學(xué)模型 77

5.1.3 動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)空間正向與逆向轉(zhuǎn)移互逆求解 78

5.1.4 應(yīng)用實例 82

5.2 基于時態(tài)空間的非線性動力學(xué)方程級數(shù)解 85

5.2.1 引言 85

5.2.2 時態(tài)空間及非線性動力學(xué)方程 85

5.2.3 線性齊次方程的普遍解析解及非線性動力學(xué)系統(tǒng)分類 86

5.2.4 非線性動力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)方程的任意階近似解 89

5.2.5 任意階近似解析解的收斂性 94

5.2.6 結(jié)論 95

5.3 非線性動力學(xué)方程的偽線性化解法 96

5.3.1 引言 96

5.3.2 時態(tài)空間、偽線性分離及齊次方程的解 96

5.3.3 非線性動力學(xué)方程的任意階近似解 97

5.3.4 任意階近似解的收斂性 100

5.3.5 結(jié)論 101

5.4 非線性動力學(xué)方程的最簡潔普適級數(shù)解 101

5.4.1 引言 101

5.4.2 時態(tài)空間及非線性動力學(xué)方程的級數(shù)解析解 102

5.4.3 非線性動力學(xué)方程無窮級數(shù)解的收斂性 105

5.4.4 結(jié)論 106

5.5 小結(jié) 107

第6章 一般非線性動態(tài)系統(tǒng)分析 108

6.1 一般非線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)方程 108

6.2 一般非線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)方程的直接積分解法 112

6.2.1 引言 112

6.2.2 非線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的級數(shù)解析解 113

6.2.3 非線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程級數(shù)解的收斂性 118

6.3 算例 119

6.4 小結(jié) 123

第7章 直接積分法在求解非線性偏微分方程中的應(yīng)用 124

7.1 Schrodinger方程的近似解 124

7.2 小結(jié) 137

第8章 直接積分法在球形機(jī)器人控制系統(tǒng)上的應(yīng)用 138

8.1 引言 138

8.2 球形機(jī)器人的研究現(xiàn)狀 138

8.3 球形機(jī)器人動力學(xué)模型 145

8.4 球形機(jī)器人控制器的設(shè)計 147

8.5 球形機(jī)器人控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的級數(shù)解析解 151

8.6 小結(jié) 154

第9章 直接積分法在六自由度并聯(lián)平臺控制系統(tǒng)上的應(yīng)用 156

9.1 六自由度并聯(lián)平臺簡介 156

9.2 六自由度并聯(lián)平臺結(jié)構(gòu) 157

9.3 六自由度并聯(lián)平臺的應(yīng)用 159

9.4 六自由度并聯(lián)平臺運(yùn)動學(xué)反解與運(yùn)動建模 161

9.5 六自由度并聯(lián)平臺動力學(xué)建模 166

9.6 六自由度并聯(lián)平臺控制系統(tǒng)狀態(tài)方程的級數(shù)解析解 178

9.7 小結(jié) 182

參考文獻(xiàn) 183 2100433B