原問題

原問題與對偶問題是相對的，二者為同類型的規(guī)劃，構(gòu)成對偶規(guī)劃的一般規(guī)則如下：

1. 若原問題是極大化問題，那么對偶問題就是極小化問題；若原問題是極小化問題，那么對偶問題就是極大化問題。

2. 在原問題與對偶問題中，約束右端向量與目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)恰好對換。

3. 對于極小化問題的“≥ ”型約束(極大化問題的“≤ ”型約束)，相應(yīng)的對偶變量有非負(fù)限制；對于極小化問的“≤ ”型約束(極大化問題的“≥ ”型約束)，相應(yīng)的對偶變量有非正限制；對于原問題的“=”型約束，相應(yīng)的對偶變量無正負(fù)限制。

4. 對于極小化問題的具有非負(fù)限制的變量(極大化問題的具有非正限制的變量)，在其對偶中相應(yīng)的約束為“≤ ”型不等式；對于極小化問題的具有非正限制的變量(極大化問題的具有非負(fù)限制的變量)，在其對偶問題中相應(yīng)的約束為“≥ ”型不等式；對于原問題中無正負(fù)限制的變量，在其對偶問題中相應(yīng)的約束為等式。

線性規(guī)劃的原問題與對偶問題的對應(yīng)關(guān)系決定了二者之間可通過一定規(guī)則相互轉(zhuǎn)化。因此可將復(fù)雜的原問題轉(zhuǎn)化成其對偶問題進(jìn)行解決，從而簡化線性規(guī)劃問題。教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生將運(yùn)籌學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，以加深理解，提高學(xué)習(xí)效率的觀點(diǎn)。并以線性規(guī)劃中原問題與對偶問題轉(zhuǎn)化為例，探討了轉(zhuǎn)化規(guī)律的總結(jié)過程及其教學(xué)體會(huì)，為運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中對其它知識(shí)點(diǎn)的歸納總結(jié)提供了啟示。

最優(yōu)化理論研究的是在眾多的方案中哪種方案最優(yōu)，以及怎樣找出最優(yōu)方案的問題。該理論發(fā)展至今已出現(xiàn)線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)流等眾多分支，其中線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是最優(yōu)化理論的重要分支，也是最基本的部分。線性規(guī)劃中普遍存在配對現(xiàn)象，對每個(gè)線性規(guī)劃問題，都有另一個(gè)與其密切相關(guān)的線性規(guī)劃問題存在，其中前者稱為原問題，而后者即為它的對偶問題。

原問題：某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，該兩種產(chǎn)品均需要A、B、C、D 四種不同的材料，按工藝資料規(guī)定，生產(chǎn)一單位甲乙產(chǎn)品需要各種材料數(shù)量及單位產(chǎn)品利潤如表中所示。問：如何安排產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，才能使企業(yè)獲利最大"table_view" data-sort="sortDisabled">

產(chǎn)品設(shè)備

A

B

C

D

單位利潤

甲產(chǎn)品

2

1

4

0

2

乙產(chǎn)品

2

2

0

4

3

現(xiàn)有材料數(shù)量

12

8

16

12

解：設(shè)企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

對偶問題：如果另外一企業(yè)想將上述企業(yè)擁有的資源收買過來，至少應(yīng)付出多少代價(jià)，才能使第一個(gè)企業(yè)愿意放棄生產(chǎn)活動(dòng)，出售資源？

解：設(shè)第i種資源單位增值價(jià)（售價(jià)=成本 增值）為

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

受自然條件和人為活動(dòng)影響,草原生物資源、土地資源、水資源和生態(tài)環(huán)境劣化,導(dǎo)致生產(chǎn)力下降的現(xiàn)象或過程。草原退化活動(dòng)主要包括：草原沙化、草原鹽漬化以及草原污染等。草原退化的自然原因主要包括氣候變化和水文動(dòng)態(tài)變化,如降水減少、風(fēng)沙活動(dòng)加強(qiáng)、地表水和地下水減少等。

草原退化的人為因素主要包括超載放牧、采樵伐木、不合理開發(fā)利用草原資源和土地資源以及采礦、修路等工程活動(dòng)。草原退化的主要危害是：產(chǎn)草量下降,特別是優(yōu)質(zhì)草大量減少,雜草等劣質(zhì)草比例增加,牧畜供養(yǎng)量下降；與此同時(shí),風(fēng)沙及沙塵暴等災(zāi)害加劇,對更廣大地區(qū)產(chǎn)生危害。防治草原退化的基本途徑和措施是合理開發(fā)草原地區(qū)的生物資源、土地資源、水資源,維持草畜平衡,保護(hù)草原生態(tài)環(huán)境。

草原退化是全球性的環(huán)境生態(tài)問題之一。在我國，20世紀(jì)60年代以來，草原生態(tài)系統(tǒng)普遍出現(xiàn)了草原退化現(xiàn)場，約有90%以上草原處于不同程度的退化之中。

導(dǎo)致草原退化的原因有自然的因素，如長期干旱，風(fēng)蝕，水蝕，火災(zāi)，沙塵暴，鼠、蟲害等。但主要的是人為因素，如過牧，濫墾，過伐等。由于長期的不合理利用甚至掠奪式利用，從草原不斷帶走大量的物質(zhì)，得不到補(bǔ)償，違背了生態(tài)系統(tǒng)中能量與物質(zhì)平衡的基本原理，導(dǎo)致生態(tài)系統(tǒng)功能的紊亂、失調(diào)和衰退，使草原的生態(tài)與生產(chǎn)力不斷下降。