正割與正切級數(shù)的安德烈推導(dǎo)法

在n個數(shù)1，2，3，…,n的一個排列c1，c2，…，cn中，如果沒有一個元素ci的值介于兩個鄰近的值ci-1和ci 1之間，則稱c1，c2，…，cn為1，2，3，…,n的一個屈折排列. 2100433B

正項級數(shù)代表著收斂性最簡單的情形。在這種情形，級數(shù)級數(shù)的部分和 sm=u1 u2 … um隨著m單調(diào)增長，等價于級數(shù)的一般項un≥0(因此，有時也稱為非負項級數(shù))。于是級數(shù)(∑un)收斂等價于部分和(sm)有界。項越小，部分和就越傾向于有界，因而正項級數(shù)有比較判別法：

同樣，每項比前項的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向于有界，因此正項級數(shù)又有比值判別法。事實上，這都在于斷定un的大小數(shù)量級。

如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負）項級數(shù)，正項級數(shù)與負項級數(shù)統(tǒng)稱為同號級數(shù)。正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因為：Sm=1 1/2! 1/3! ··· 1/m!<1 1 1/2 1/22 ··· 1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有無窮多項為正，無窮多項為負的級數(shù)稱為變號級數(shù)，其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的級數(shù)，稱之為交錯級數(shù)。判別這類級數(shù)收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 ：若un ≥un 1 ，對每一n∈N成立，并且當(dāng)n→∞時lim un=0，則交錯級數(shù)收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對于一般的變號級數(shù)如果有∑|un|收斂，則稱變號級數(shù)絕對收斂。如果只有 ∑un收斂，但是∑|un|發(fā)散，則稱變號級數(shù)條件收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。

如果級數(shù)的每一項依賴于變量x,x 在某區(qū)間I內(nèi)變化,即un=un(x),x∈I，則∑un(x)稱為函數(shù)項級數(shù),簡稱函數(shù)級數(shù)。若x=x0使數(shù)項級數(shù)∑un(x0)收斂，就稱x0為收斂點，由收斂點組成的集合稱為收斂域，若對每一x∈I，級數(shù)∑un(x)都收斂，就稱I為收斂區(qū)間。顯然，函數(shù)級數(shù)在其收斂域內(nèi)定義了一個函數(shù)，稱之為和函數(shù)S(x)，即S(x)=∑un(x)如果滿足更強的條件，Sm(x)在收斂域內(nèi)一致收斂于S(x) 。

一類重要的函數(shù)級數(shù)是形如