直線與方程

直線的方程：主要學習直線方程的五種形式，應理解并記憶公式的內容。

特別要搞清各個公式的適用范圍：點斜式和斜截式需要斜率存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示過原點及與坐標軸垂直的直線。

一般式雖然可表示任意直線但它所含的變量多，故在運用時要靈活選擇公式，不丟解不漏解。 2100433B

直線與方程直線的傾斜角和斜率

教學目標:

知識與技能

(1) 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念．

(2) 理解直線的傾斜角的唯一性.

(3) 理解直線的斜率的存在性.

(4) 斜率公式的推導過程，(5) 掌握過兩點的直線的斜率公式．

情感態(tài)度與價值觀

(1) 通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養(yǎng)學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力．

(2) 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學生形成嚴謹的科學態(tài)度和求簡的數學精神．

重點與難點: 直線的傾斜角、斜率的概念和公式.

教學用具：計算機

教學方法：啟發(fā)、引導、討論.

教學過程：

直線與方程直線的傾斜角的概念

（一） 直線的傾斜角的概念

我們知道, 經過兩點有且只有(確定)一條直線. 那么, 經過一點P的直線l的位置能確定嗎"para" label-module="para">

(1)它們都經過點P. (2)它們的‘傾斜程度’不同. 怎樣描述這種‘傾斜程度’的不同"para" label-module="para">

引入直線的傾斜角的概念:

當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定α= 0°.

問: 傾斜角α的取值范圍是什么"para" label-module="para">

當直線l與x軸垂直時, α= 90°.

因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之后, 我們就可以用傾斜角α來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.

直線a∥b∥c, 那么它們的傾斜角α相等嗎"para" label-module="para">

確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素: 一個點P和一個傾斜角α.

(二)直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα

⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;

⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如, α=45°時, k = tan45°= 1;

α=135°時, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.

學習了斜率之后, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.

(三) 直線的斜率公式:

給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用兩點的坐標來表示直線P-1P2的斜率"para" label-module="para">

共同完成斜率公式的推導.(略)

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

對于上面的斜率公式要注意下面四點：

(1) 當x1=x2時，分母為零，公式無意義；傾斜角α= 90°, 直線與x軸垂直，直線的斜率不存在；

(2) k與P1、P2的順序無關, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換,（y2-y1/x2-x1=y1-y2/x1-x2） 但分子與分母不能交換;

(3) 斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;

(4) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角α=0°，直線與x軸平行或重合.

(5) 求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．

(四）直線方程的五種形式

(五)例題:

例1 、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線)

分析: 已知兩點坐標, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;

而當k <0時, 傾斜角α是鈍角;

而當k >0時, 傾斜角α是銳角;

而當k =0時, 傾斜角α是0°.

略解: 直線AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的傾斜角α是銳角;

直線BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角α是鈍角;

直線CA的斜率k3=1>0, 所以它的傾斜角α是銳角.

例2 在平面直角坐標系中, 畫出經過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.

分析:要畫出經過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點M. 而M的坐標可以根據直線a的斜率確定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45°的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可.

略解: 設直線a上的另外一點M的坐標為(x,y),根據斜率公式有

1=(y－0)/(x－0)　 所以 x = y

可令x = 1, 則y = 1, 于是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點 M(1,1), 可作直線a.

同理, 可作直線b, c, l.(用計算機作動畫演示畫直線過程)

高中 數學

1.四.解析幾何初步/1.直線與直線的方程/直線的點斜式方程

推導直線的點斜式方程。

概念：具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系。它的方程稱直線系方程。幾種常見的直線系方程 ：

（1）過已知點P（x₀，y₀）的直線系方程y－y₀=k（x－x₀）（k為參數）或 x=x₀

（2）斜率為k的直線系方程y=kx b（b是參數）

（3）與已知直線Ax By C=0平行的直線系方程Ax By λ=0（λ為參數）

（4）與已知直線Ax By C=0垂直的直線系方程Bx－Ay λ=0（λ為參數）

（5）過直線l₁：A₁x B₁y C₁=0與l₂：A₂x B₂y C₂=0的交點的直線系方程：

A₁x B₁y C₁ λ（A₂x B₂y C₂）=0（λ為參數）