最優(yōu)控制中的線性方法的研究中文摘要

現(xiàn)代最優(yōu)控制理論自二十世紀(jì)六十年代發(fā)展至今一直保持蓬勃的生機(jī)，它以自動化領(lǐng)域為依托，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相結(jié)合，延伸到科技、金融等諸多方面的應(yīng)用中，呈現(xiàn)燦爛的前景。.本項目研究最優(yōu)控制理論和應(yīng)用中的線性方法：（1）把動態(tài)規(guī)劃方程、沿軌道的李級數(shù)展開和值函數(shù)的粘性逼近結(jié)合起來，利用線性代數(shù)方程，線性規(guī)劃和半定規(guī)劃，建立最優(yōu)軌道的線性搜索方法，而應(yīng)用到金融領(lǐng)域的數(shù)學(xué)控制中，就是把隨機(jī)最優(yōu)控制方法，Ito公式和李級數(shù)展開結(jié)合起來搜索最優(yōu)財富過程；（2）建立各類隨機(jī)Riccati矩陣微分方程和代數(shù)方程的線性迭代解法，并用以研究隨機(jī)L-Q問題的最優(yōu)軌道的逼近方法，而在最優(yōu)金融投資問題中是建立隨機(jī)L-Q最優(yōu)控制模型，在Riccati方程的線性迭代中實現(xiàn)最優(yōu)財富狀態(tài)的逼近。.無論從自動控制還是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度看，用線性的方法求解非線性甚至非光滑的問題都是有重要的理論和實際意義的，恐怕實現(xiàn)本項目研究的意義正在于此。 2100433B

目前，較為流行的近似最優(yōu)控制求解方法主要有以下幾類：

非線性最優(yōu)控制冪級數(shù)展開法

冪級數(shù)展開方法通過一個冪級數(shù)來構(gòu)造控制律，得到序列形式的近似最優(yōu)解，或者將系統(tǒng)中的非線性項以冪級數(shù)形式分解，或者通過引進(jìn)一個臨時變量并圍繞它展開。

將上式代入HJB方程求得級數(shù)近似解，也可利用Adomian分解將非線性項進(jìn)行分解。由此尋求非線性HJB方程級數(shù)的近似解。

非線性最優(yōu)控制Galcrkin逐次逼近方法

由動態(tài)規(guī)劃得到的一般性偏微分HJB方引入一個迭代過程來求解一般非線性HJB方程的一個近似解序列

非線性最優(yōu)控制廣義正交多項式級數(shù)展開法

其主要思想是將最優(yōu)控制問題中的狀態(tài)變量，控制輸入，性能指標(biāo)和各個參數(shù)分別用廣義正交多項式展開，利用廣義正交多項式的積分、乘積運算陣

將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程X=MU N。然后，得到TU=V，當(dāng)T非奇異時，由U=T^-1V得到的控制律是一個多項式級數(shù)解u(t)=θ(t)U。該方法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)極值問題，從而避免了求解時變非線性Riccati方程

非線性最優(yōu)控制有限差分和有限元方法

經(jīng)典的有限差分和有限元方法可以用來近似求解非線性HJB方程近年來，這類方法用來近似求取非線性HJB方程的粘性解。

非線性最優(yōu)控制狀態(tài)相關(guān)Riccati方程方法

這種方法適用的模型是仿射非線性系統(tǒng)。通過極大值原理假設(shè)最優(yōu)控制律具有如下形式。

其中P(x)為下式所述里卡提方程的解

這樣，問題的關(guān)鍵歸結(jié)于近似求解P(x)。狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法通過在P(x)中引入靈敏度參數(shù)變量ε，在ε=o鄰域內(nèi)將P(x)展為冪級數(shù)

通過比較冪級數(shù)同次項系數(shù)將狀態(tài)相關(guān)里卡提方程分解為一組矩陣微分方程序列，由此求得其近似解狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法所設(shè)計的近似最優(yōu)控制律是一種級數(shù)形式的狀態(tài)反饋控制律

非線性最優(yōu)控制Riccati方程近似序列法

該方法對非線性系統(tǒng)構(gòu)造線性時變序列以及相應(yīng)的線性二次型時變性能指標(biāo)，得到線性時變序列的最優(yōu)反饋控制序列

此方法計算量較大，但是當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)不是很大時，較里卡提方程近似序列方法具有很快的收斂速度，并表現(xiàn)出很好的魯棒性。

非線性最優(yōu)控制逐次逼近法

該方法是針對非線性的一次項和高次項可分離的一類非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似最優(yōu)控制問題的求解，給出了一種逐次逼近的近似求解方法該方法針對由極大值原理導(dǎo)致的兩點邊值問題，構(gòu)造近似的等價序列將其轉(zhuǎn)化為一組線性非齊次兩點邊值問題序列，通過迭代求解一系列的向量微分方程，包括狀態(tài)向量方程序列和共態(tài)向量方程序列，得到原非線性系統(tǒng)近似最優(yōu)控制問題的解該方法被廣泛應(yīng)用到各類非線性系統(tǒng)，其最大優(yōu)點是在迭代過程中每次計算的不是矩陣微分或代數(shù)方程，而是向量微分或代數(shù)方程，計算量大大減少，而且實時性很高。

非線性最優(yōu)控制線性最優(yōu)控制

線性最優(yōu)控制（linear optimal control）最優(yōu)控制問題的實質(zhì)是要找出允許的控制作用（規(guī)律），使得動態(tài)系統(tǒng)（受控對象）從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某種要求的終端狀態(tài)，并且保證某種要求的性能指標(biāo)達(dá)到最?。ù螅＞€性最優(yōu)控制是特指那類受控對象為線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

線性最優(yōu)控制是最優(yōu)控制的一個特殊類。在線性最優(yōu)控制中，受控制的裝置假設(shè)為線性的，而控制器，即產(chǎn)生最優(yōu)控制作用的裝置也限于是線性的。這就是說，控制器輸出即最優(yōu)控制是與輸人線性相關(guān)，而輸人則是對裝置進(jìn)行測量而產(chǎn)生的量。當(dāng)然，人們一定會問，為什么要特別地研究線性最優(yōu)控制，而不直接研究最優(yōu)控制呢？這里可以提出一些理由。例如，工程上許多實際裝置在其附加控制器之前是線性的，而 且線性控制器在技術(shù)上是最易實現(xiàn)的，且它往往能滿足需要。

非線性最優(yōu)控制區(qū)別

線性和非線性最優(yōu)控制理論之間既有相似之處更有重大區(qū)別。當(dāng)系統(tǒng)為線性的時候，它的解可以由轉(zhuǎn)移函數(shù)表出，特別是在定常情況下，轉(zhuǎn)移函數(shù)有具體表達(dá)式，這就為我們的分析提供了十分便和之處。另一方面，在最大值原理基礎(chǔ)上獲得的Hamilton函數(shù)關(guān)于控制的偏導(dǎo)呈現(xiàn)相對簡單的形式，往往可以求出最優(yōu)反饋率，從而完全解決最優(yōu)控制問題。非線性的情況則復(fù)雜得多，對它的研究也不夠徹底，許多方面還有待進(jìn)一步深入。這個領(lǐng)域的研究有一個十分明顯的特點，那就是多種數(shù)學(xué)理論和方法的綜合運用，包括非線性泛函分析、代數(shù)、和微分幾何方法等等。

線性最優(yōu)控制所要求的計算機(jī)程序往往可以用于非線性最優(yōu)控制問題。

冪級數(shù)展開方法要求系統(tǒng)關(guān)于狀態(tài)向量X解析，才能夠進(jìn)行展開，這在實際工程應(yīng)用中是不現(xiàn)實的Galcrkin逐次逼近法的收斂性過于依賴系統(tǒng)的初值，收斂性在很多情祝下是無法保證的廣義正交多項式級數(shù)展開法和有限差分、有限元方法都是采用不同的數(shù)學(xué)工具來解決近似求解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，但這兩種方法的計算收斂性不好，所需的巨大計算量也使得它們離工程實際應(yīng)用有很大一段距離狀態(tài)相關(guān)里卡提方程適用于一類仿射非線性系統(tǒng)里卡提方程近似序列方法同樣適用于一類仿射非線性系統(tǒng)，當(dāng)處理高維系統(tǒng)時，其計算量將很大而逐次逼近法，從計算復(fù)雜度看，是對向量迭代，得到的最優(yōu)控制律是由精確的線性反饋項和非線性補(bǔ)償項組成，將最優(yōu)控制的求解轉(zhuǎn)化為非線性補(bǔ)償向量序列的求極限過程，大大減少了計算量，容易被實際工程所應(yīng)用簡言之，逐次逼近法通過較為簡單的計算設(shè)計得到系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制律，具有計算量少，易于工程實現(xiàn)的優(yōu)點，有很好的工程應(yīng)用前景然而，逐次逼近法的缺點在于其對外部擾動和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動以及未建模動態(tài)敏感，因此提高最優(yōu)控制的魯棒性是非常必要的。2100433B