動點問題之三點共線求線段最值設計思路

和圓有關的定值與最值

陳鐵成

一、圓中的定值

1、如圖，AB、CD為圓O的兩條直徑，AB=12，且∠AOD=120°，點P為AD弧上一點（不與A、D重合)，過點P分別作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，連接EF.

（1）求∠EPF的度數(shù).

（2）點P運動過程中，△OEF中是否有長度不變的邊？若有，求出其長度；若沒有，請說明理由.

解：（1）根據(jù)四邊形的內角和易得∠EPF=60°.

（2）分別延長PE、PF交圓于點M、N，連接OM、ON、MN.如圖：

由垂徑定理可知，PE=EM，PF=FM，

所以EF是△PMN的中位線，

所以EF=1/2MN.

由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可得，

∠MON=2∠EPF=120°.

在△OMN中，MN=√3OM=6√3，

所以EF=1/2MN=3√3.

2、如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是AB弧上一個動點（不與點A、B重合），且OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為點D、E..在△DOE中是否存在長度保持的邊？如果存在，請指出并求其長度；若不存在，請說明理由.

解：連接AB.由垂徑定理易得，CD=DB，CE=EA，

所以DE是△CAB的中位線，

所以DE=1/2AB.

在Rt△AOB中，AB=2√2，

所以DE=1/2AB=√2.

二、圓中的最值

3、如圖，在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AC=6.點D是AB邊上一個動點，以CD為直徑作圓O，分別與AC，BC邊交于點F，G.求線段FG的最小值.

解：在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°.

所以∠ACB=60°.

連接OF，OG.

根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可得，

∠GOF=2∠ACB=120°，

所以△GOF是頂角為120°的等腰三角形.

所以GF=√3OF.

要使GF有最小值，只需OF有最小值.

而OF=1/2CD，所以當CD取最小值時GF有最小值.

根據(jù)垂線段最短易知

當CD⊥AB時，CD有最小值.

此時CD=√2/2AC=3√2. OF=1/2CD=3√2/2.

FG=√3OF=3√6/2.

反思：在解決動點問題時，要善于抓住運動過程中的不變量.比如本題中雖然點D的運動引起點O、F、G的位置不斷變化，而且圓的半徑也隨之而變化，但只要牢牢抓住∠FOG=2∠ACB=120°這一不變量，問題的脈絡就開始清晰起來.

4、如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=6，BC=8.點D、E分別是BA，BC邊上的動點，且DE=6。以DE為直徑作圓O,交AC邊于點G，H。求線段GH的最大值。

由題可知，雖然題中圓的位置不斷變化，但是圓的半徑始終不變。線段GH是圓O的一條弦，要使GH有最大值，只需GH的弦心距（即圓心O到GH的距離）最小即可。由此,問題的關鍵轉化為求圓心O到AC邊距離的最小值。因為AC的位置固定，所以確定圓心O的軌跡就成為解決本題的關鍵（再次轉化）。由題可知點O是DE的中點，且∠DBE=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得BO=1/2DE=3.所以點O在以B為圓心，3為半徑的圓上（確切地說，在以B為圓心，3為半徑的1/4圓上）。如圖：

如圖，過點O作OF⊥AC于點F，過點B作BK⊥AC于點K，連接OB，BF.

則OB+OF>=BF>=BK.（當點F與點K重合時取等號）

易知BK=24/5，所以OF>=BK-OB=24/5-3=9/5.

連接OG,如下圖：

在Rt△OGF中，OG=3，OF=9/5，

所以GF=12/5.

根據(jù)垂徑定理可得，

GH=2GF=24/5

所以GH的最大值為24/5.