dft

在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的模擬信號(hào)xn(t),其頻譜函數(shù)Xn(jΩ)也是連續(xù)函數(shù)，為了利用DFT對(duì)xn(t)進(jìn)行譜分析，對(duì)xn(t)進(jìn)行時(shí)域采樣得到x(n)= xn(nT),再對(duì)x(n)進(jìn)行DFT，得到X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區(qū)間[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣，這里x(n)和X(k)都是有限長(zhǎng)序列

然而，傅里葉變換理論證明，時(shí)間有限長(zhǎng)的信號(hào)其頻譜是無(wú)限寬的，反之，弱信號(hào)的頻譜有限寬的則其持續(xù)時(shí)間將為無(wú)限長(zhǎng)，因此，按采樣定理采樣時(shí)，采樣序列應(yīng)為無(wú)限長(zhǎng)，這不滿(mǎn)足DFT的條件。實(shí)際中，對(duì)于頻譜很寬的信號(hào)，為防止時(shí)域采樣后產(chǎn)生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號(hào)的帶寬小于折疊頻率；同樣對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)太多也會(huì)導(dǎo)致存儲(chǔ)和計(jì)算困難，一般也是截取有限點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。上述可以看出，用DFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析，只能是近似的，其近似程度取決于信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度

模擬信號(hào)xn(t)的傅里葉變換對(duì)為

X(jΩ)={-∞, ∞}x(t)*exp^-jΩt dt

x（t）=1/2π{-∞, ∞} X(JΩ)*e^jΩt dΩ

用DFT方法計(jì)算這對(duì)變換對(duì)的方法如下：

（a）對(duì)xn(t)以T為間隔進(jìn)行采樣，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于

t→nT,dt→T, {-∞, ∞}→∑n={-∞, ∞}

因此得到

X(jΩ)≈∑n={-∞, ∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T

x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω

（b）將序列x(n)= xn(t)截?cái)喑砂蠳個(gè)抽樣點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列

X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T

由于時(shí)域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產(chǎn)生以fs為周期的周期延拓，如果頻域是帶限信號(hào)，則有可能不產(chǎn)生頻譜混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻譜的周期為fs=1/T

（c）為了數(shù)值計(jì)算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個(gè)周期中取N個(gè)樣點(diǎn)，fs=NF0,每個(gè)樣點(diǎn)間隔為F0，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時(shí)域就得到原來(lái)已經(jīng)截?cái)嗟碾x散時(shí)間序列的周期延拓，時(shí)間周期為T(mén)0=1/F0。因此有

Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞, ∞} dΩ→∑n={-∞, ∞}Ω0

T0=1/F0=N/fs=NT

Ω0=2ΠF0

Ω0T=Ω0/fs=2π/N

X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT

用 DFT/FFT 對(duì)諧波間諧波分析一般是從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度出發(fā) , 來(lái)考慮如何減少檢測(cè)誤差 。分析方法大體分為三類(lèi) : 時(shí)域方法 、頻域方法和時(shí)頻交替的方法 。

1 頻域方法

在頻域上現(xiàn)在主要的方法是加窗插值 、補(bǔ)零峰值點(diǎn)搜索法或者線(xiàn)性調(diào)頻 Z 變換 CZT( Chirp ZT ransfo rm)法 。文獻(xiàn)提出頻域插值法 ,根據(jù)諧波峰值點(diǎn)附近的兩根譜線(xiàn)以及矩形窗在頻域本身的函數(shù)表達(dá)式插值求得諧波的參數(shù)值 。 這里沒(méi)有考慮各次諧波之間頻譜干擾 ,負(fù)頻率部分對(duì)正頻率部分頻譜的影響 , 只是解決了柵欄效應(yīng) 。文獻(xiàn)提出對(duì)采樣信號(hào)加窗后 再進(jìn)行頻 域插值 , 采用 的是簡(jiǎn)單 的H anning 窗( 2 項(xiàng)余弦窗),這樣之后 ,各分量旁瓣之間的影響減小了 , 測(cè)量精度有所提高 。既然加窗可減小泄漏 ,在各頻率成分的主瓣相互沒(méi)有影響的前提下 ,余弦窗的項(xiàng)數(shù)越多 , 窗函數(shù)得到的效果一般會(huì)更好 。文獻(xiàn)提出對(duì)采樣信號(hào)加不同的窗后再進(jìn)行插值分析 ,最后發(fā)現(xiàn) Blackman-H arris 窗效果最理想 。文獻(xiàn)利用 Black-H arris 窗進(jìn)行電力系統(tǒng)諧波分析 , 由于頻率偏移很難求得 , 雖然可先通過(guò)文獻(xiàn)求取高次多項(xiàng)式 , 然后再來(lái)求反函數(shù)解得 , 但是這樣比較費(fèi)時(shí)間 ,滿(mǎn)足不了實(shí)時(shí)性的要求 ;根據(jù)多項(xiàng)余弦窗主瓣比較平滑的特點(diǎn) ,文中提出采用線(xiàn)性分段插值的思想建立插值查找表進(jìn)一步簡(jiǎn)化了插值過(guò)程 。 但是在選取不同的窗函數(shù)以及需要滿(mǎn)足不同的精度要求時(shí) , 都必須重新計(jì)算查找表 ,設(shè)計(jì)過(guò)程比較繁瑣 ; 且當(dāng)精度要求提高時(shí) , 查找表數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)量也將成倍地增加 。文獻(xiàn)也是利用Black-H arris 窗進(jìn)行電力系統(tǒng)諧波分析 ,但是它根據(jù)諧波分布的特性 , 采用與兩條譜線(xiàn)的比值來(lái)求 ,提高了測(cè)量精度 。 實(shí)際上無(wú)法預(yù)先確定信號(hào)中各個(gè)成分的強(qiáng)弱之分 。 取哪兩根譜線(xiàn)做比值應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來(lái)選擇 ,當(dāng)信號(hào)中的頻率成分較復(fù)雜時(shí) , 該改進(jìn)效果不明顯 。文獻(xiàn)提出一種基于兩根譜線(xiàn)的加權(quán)平均來(lái)修正幅值的雙峰譜線(xiàn)修正算法 ,利用距諧波頻點(diǎn)最近的兩根離散頻譜幅值的加權(quán)平均估計(jì)出待求諧波的幅值 ; 同時(shí) , 利用多項(xiàng)式逼近方法獲得了對(duì)應(yīng)于多種窗函數(shù)的頻率和幅值修正公式 ,這些改進(jìn)能夠進(jìn)一步降低泄漏和噪聲干擾 ,提高諧波分析的準(zhǔn)確性 , 且計(jì)算較為簡(jiǎn)單 。文獻(xiàn)在上述插值算法的基礎(chǔ)上提出了多點(diǎn)頻域插值算法 ,通過(guò)頻點(diǎn)泄漏相互抵消的思想進(jìn)一步降低了泄漏帶來(lái)的影響 , 測(cè)量精度提高了將近十倍 。文獻(xiàn)在非同步采樣情況下 , 分析了頻譜泄漏的機(jī)理 , 在導(dǎo)出信號(hào)實(shí)際頻譜和泄漏頻譜之間關(guān)系的基礎(chǔ)上 ,提出一種利用相位差校正信號(hào)頻率來(lái)恢復(fù)實(shí)際頻譜的改進(jìn)算法 ,使得諧波分析的計(jì)算精度得到較大程度提高 ,但是該方法在信號(hào)中有間諧波成分的時(shí)候誤差就較大 。早在 1992 年亞特蘭大電能質(zhì)量會(huì)議上 ,文獻(xiàn)就提出采用加窗插值來(lái)檢測(cè)間諧波參數(shù) 。 文獻(xiàn)提出將加窗插值應(yīng)用于間諧波檢測(cè) ,推導(dǎo)出了基于矩形窗和 H anning 窗的頻率 、幅值 、相位的顯式估計(jì)公式 。仿真結(jié)果顯示其有較高的精度 。 文獻(xiàn)提出采用 Rife -Vincent( Ш )窗插值 。在相 同的采 樣窗 口長(zhǎng) 度下 , 精 度要 高于H anning 窗 。 文獻(xiàn)對(duì)不同的窗函數(shù)及不同的改進(jìn)方法做了綜合比較 。為了進(jìn)一步提高檢測(cè)精度 ,文獻(xiàn)提出了基于 CZT 雙譜線(xiàn)插值的檢測(cè)方法 ,關(guān)鍵是在不增加采樣長(zhǎng)度的情況下 , 獲得準(zhǔn)確間諧波信號(hào)頻率分布估計(jì)值 。

2 時(shí)域方法

文獻(xiàn)提出了在已知信號(hào)基頻的情況下對(duì)原始采樣信號(hào)進(jìn)行拉格朗日插值 ,得到近似的同步化序列 。首先該方法需要知道信號(hào)的頻率 ,且當(dāng)信號(hào)頻率偏差過(guò)大時(shí)會(huì)發(fā)生插值點(diǎn)的跑位 ,插值公式這時(shí)會(huì)產(chǎn)生很大誤差 。對(duì)于間諧波而言 ,純粹從時(shí)域上來(lái)滿(mǎn)足同步比較困難 ,因?yàn)殚g諧波的成分是不確定或者說(shuō)是無(wú)法預(yù)知的 。

不斷增加序列數(shù)進(jìn)行迭代計(jì)算 ,最終得到近似同步化的序列 。當(dāng)?shù)男蛄泻荛L(zhǎng)卻還不收斂時(shí) ,提出“Second-best” 窗的概念 , 最后選取相關(guān)系數(shù)最大的那組序列作為同步序列 。 但是這種方法存在的問(wèn)題是收斂序列的長(zhǎng)度不確定 ,使收斂信號(hào)的長(zhǎng)度不能保證能夠采用 FFT , 而只能采用 DFT ,加大了運(yùn)算量 。 因此 ,此方法只適于離線(xiàn)的間諧波分析 。文獻(xiàn)考慮到諧波對(duì)間諧波的頻譜干擾比較嚴(yán)重 ; 或者說(shuō)諧波與間諧波之間的頻譜干擾要比間諧波之間的頻譜干擾較為嚴(yán)重這個(gè)事實(shí)提出一種基于時(shí)域平均 TDA( time domain averaging)和差分濾波器 DF( differential filte r)的諧波間諧波檢測(cè)方法 。

3 時(shí)域頻域結(jié)合方法

對(duì)于重新采樣提出了根據(jù)基頻對(duì)序列進(jìn)行內(nèi)插和抽取的方法 ,這樣只是把離散譜線(xiàn)對(duì)準(zhǔn)估計(jì)的實(shí)際頻率( 相當(dāng)于對(duì)準(zhǔn)了估計(jì)的主瓣峰值處) ,仍然沒(méi)有考慮或者計(jì)及頻譜泄漏 。文獻(xiàn)提出一種諧波間諧波檢測(cè)的自動(dòng)同步采樣器 , 通過(guò) CZT 計(jì)算得到實(shí)際頻率再對(duì)采樣頻率進(jìn)行不斷調(diào)整 ,使誤差達(dá)到最小 。間諧波成分在頻域上容易被含量較大的諧波所淹沒(méi) , 含量較小的間諧波容易被含量較大的間諧波所淹沒(méi) , 這是解決間諧波檢測(cè)的出發(fā)點(diǎn) 。文獻(xiàn)在時(shí)域上通過(guò) TDA 解決了第一部分問(wèn)題 , 把諧波檢測(cè)和間諧波檢測(cè)分開(kāi)進(jìn)行 。文獻(xiàn)亦提出對(duì)諧波和間諧波檢測(cè)分步( tw o -stag e)進(jìn)行 ; 把諧波從時(shí)域中消除后再對(duì)剩余信號(hào)做 FFT 檢測(cè)出間諧波成分 。 這兩種方法都必須采樣序列對(duì)于諧波而言是同步的 。非同步情況下引起的測(cè)量誤差特別是間諧波的誤差非常大 , 但現(xiàn)有的技術(shù)手段(同步鎖相環(huán))基本滿(mǎn)足同步采樣要求 , 因此同步采樣條件下的參數(shù)精確檢測(cè)是值得研究的 。

有文獻(xiàn)通過(guò)把諧波從間諧波中濾除的方法來(lái)抑制頻譜干擾 , 并沒(méi)有考慮到間諧波之間的頻譜干擾 。文獻(xiàn)提出在非同步采樣下如何檢測(cè)間諧波的方法 , 并且考慮了間諧波之間的干擾 。思路是 : 諧波成分濾除后 ,采用從大至小逐次濾除最大間諧波成分的思想來(lái)檢測(cè)各個(gè)間諧波分量 , 可大大抑制間諧波間的頻譜干擾 。

DFT的一個(gè)重要特點(diǎn)就是隱含的周期性,從表面上看,離散傅里葉變換在時(shí)域和頻域都是非周期的,有限長(zhǎng)的序列,但實(shí)質(zhì)上DFT是從DFS引申出來(lái)的,它們的本質(zhì)是一致的,因此DTS的周期性決定DFT具有隱含的周期性?？梢詮囊韵氯齻€(gè)不同的角度去理解這種隱含的周期性

(1)從序列DFT與序列FT之間的關(guān)系考慮X(k)是對(duì)頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)不限定k的取值范圍在[0,N-1]時(shí)，那么k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對(duì)頻譜X(ejω)的等間隔采樣。由于X(ejω)是周期的，這種采樣就必然形成一個(gè)周期序列

(2)從DFT與DFS之間的關(guān)系考慮。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性

(3)從WN來(lái)考慮，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性