電導(dǎo)率張量

對于均勻?qū)w，在電場強度E的作用下，其電流密度J和電場方向一致，即均勻?qū)w的歐姆定律：

但是對于晶體，由于具有各向異性，一般情況下J與E并不具有相同的方向，此時J與E的關(guān)系變?yōu)椋?

或表現(xiàn)為分量形式

此處

某些晶體由于對稱性較低而具有各向異性，從而使得晶體的物理性質(zhì)在不同的方向也存在著差異。晶體的各向異性是一種較普遍的特性，特別是很多現(xiàn)象如熱電、壓電、電光、聲光、非線性光學(xué)效應(yīng)等物理現(xiàn)象都完全是因為晶體的各向異性才表現(xiàn)出來。于是，人們從實踐中探索出了一套描述各向異性性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，這種方法就是張量方法

應(yīng)用點積，并矢張量

其中，

注意到

這點積運算得到的結(jié)果是一個協(xié)變向量。

并矢張量的縮并(tensor contraction)運算，將每一個并置

需要注意：并矢積是不可交換的，也就是說，除非兩個矢量

在物理學(xué)中，并矢張量最重要的應(yīng)用之一就是它和向量的縮并。對于并矢積

如果要求這種規(guī)定也適用于量子力學(xué)中的態(tài)矢量，在這種情況下就要特別注意每個式子右端各個向量的先后順序：用狄拉克符號來寫，則

并矢張量旋轉(zhuǎn)

設(shè)定

或以矩陣表達，

一個一般的二維旋轉(zhuǎn)并矢張量，會產(chǎn)生

其中，

并矢張量量子力學(xué)

就是一個并矢張量。不妨把這個并矢張量記作

實際上可以這樣說，在量子力學(xué)中，只要物理問題涉及了系統(tǒng)的耦合，數(shù)學(xué)上就會導(dǎo)致態(tài)矢量的并矢。在這方面，還可以舉一個常見的例子：由一維諧振子的態(tài)矢量所構(gòu)成的并矢張量可以用來描述二維諧振子系統(tǒng)。

并矢張量經(jīng)典力學(xué)

三維歐幾里得空間上的并矢張量的例子非常多，例如轉(zhuǎn)動慣量、應(yīng)力張量、應(yīng)變等等。這些例子實際上就是并矢張量這個概念的最初原型。