電路理論：時域與頻域分析

第1章 動態(tài)元件和動態(tài)電路

1-1 單位階躍函數(shù)與單位沖激函數(shù)

1-2 電容元件

“電容元件”是“電路分析”學(xué)科中電路模型中除了電阻元件R，電感元件L以外的一個電路基本元件。在線性電路中，電容元件以電容量C表示。元件的“伏安關(guān)系”是線性電路分析中除了基爾霍夫定律以外的必要的約束條件。電容元件的伏安關(guān)系是 i=C(dv/dt),也就是說，電容元件中的電流，除了電容量C以外，與電阻元件R不同，它不是取決于電壓v本身，而是取決于電壓對時間的變化率（dv/dt）.電壓變化愈快，電容中的電流愈大，反之則愈小。據(jù)此，在“穩(wěn)態(tài)”情況下，當(dāng)電壓為直流時，電容中電流為零；當(dāng)電壓為正弦波時，電容中電流也是正弦波，但在相位上要超前電壓（π/2）;當(dāng)電壓為周期性等腰三角形波時，電流為矩形波，如此等等?？偟膩碚f，電容中的電流波形比電壓變化得更快，含有更多的高頻成分。

1-3 電感元件

電感元件是一種儲能元件，電感元件的原始模型為導(dǎo)線繞成圓柱線圈。當(dāng)線圈中通以電流i，在線圈中就會產(chǎn)生磁通量Φ，并儲存能量。表征電感元件（簡稱電感）產(chǎn)生磁通，存儲磁場的能力的參數(shù)，也叫電感，用L表示，它在數(shù)值上等于單位電流產(chǎn)生的磁鏈。電感元件是指電感器（電感線圈）和各種變壓器。

1-4 動態(tài)電路

1、動態(tài)電路是指含有儲能元件L、C的電路。

2、動態(tài)電路是指含有儲能元件的電路。

3、 當(dāng)動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時需要經(jīng)歷一個變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程成為電路的過渡過程；

4、描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；

5、動態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動態(tài)元件的個數(shù)。

本章小結(jié)

習(xí)題一

第2章 一階電路與二階電路

2-1 一階電路的兩種基本類型

2-2 一階電路的零輸入響應(yīng)

2-3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

2-4 全響應(yīng)

換路后,電路中即存在激勵電源,儲能元件又有初始儲能，他們共同維持的響應(yīng)。

全響應(yīng)(complete response)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)疊加的結(jié)果,也體現(xiàn)了線性電路的疊加性.

2-5 求解一階電路的三要素法

2-6 單位沖激響應(yīng)

2-7 任意波形激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

2-8 二階電路

含有兩個獨立的動態(tài)元件的線性電路，要用線性，常系數(shù)二階微分方程來描述，故稱為二階電路。

系統(tǒng)的響應(yīng)除了激勵所引起外，系統(tǒng)內(nèi)部的“初始狀態(tài)”也可以引起系統(tǒng)的響應(yīng)。在“連續(xù)”系統(tǒng)下，系統(tǒng)的初始狀態(tài)往往由其內(nèi)部的“儲能元件”所提供，例如電路中電容器可以儲藏電場能量，電感線圈可以儲存磁場能量等。這些儲能元件在開始計算時間時所存儲的能量狀態(tài)就構(gòu)成了系統(tǒng)的初始狀態(tài)。如果系統(tǒng)的激勵為零，僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)就被稱之為該系統(tǒng)的“零輸入響應(yīng)”。一個充好電的電容器通過電阻放電，是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的一個最簡單的實例。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)本身的特性所決定，與系統(tǒng)的激勵無關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)是線性的，它的特性可以用線性微分方程表示時，零輸入響應(yīng)的形式是若干個指數(shù)函數(shù)之和。指數(shù)函數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，也就是系統(tǒng)內(nèi)部所含“獨立”儲能元件的個數(shù)。假定系統(tǒng)的內(nèi)部不含有電源，那么這種系統(tǒng)就被稱為“無源系統(tǒng)”。實際存在的無源系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)隨著時間的推移而逐漸地衰減為零。

定義

換路后，電路中無獨立的激勵電源，僅由儲能元件的初始儲能維持的響應(yīng).

也可以表述為,由儲能元件的初始儲能的作用在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)(Zero-input response).

零輸入響應(yīng)是系統(tǒng)微分方程齊次解的一部分。

系統(tǒng)的響應(yīng)除了激勵所引起外，系統(tǒng)內(nèi)部的“初始狀態(tài)”也可以引起系統(tǒng)的響應(yīng)。在“連續(xù)”系統(tǒng)下，系統(tǒng)的初始狀態(tài)往往由其內(nèi)部的“儲能元件”所提供，例如電路中電容器可以儲藏電場能量，電感線圈可以儲存磁場能量等。這些儲能元件在開始計算時間時所存儲的能量狀態(tài)就構(gòu)成了系統(tǒng)的初始狀態(tài)。如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由激勵源引起的響應(yīng)就被稱之為該系統(tǒng)的“零狀態(tài)響應(yīng)”。一個原來沒有充過電的電容器通過電阻與電源接通，構(gòu)成充電回路，那么電容器兩端的電壓或回路中的電流就是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的一個最簡單的實例。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一般分為兩部分，它的變化形式分別由系統(tǒng)本身的特性和激勵源所決定。當(dāng)系統(tǒng)是線性的，它的特性可以用線性微分方程表示時，零狀態(tài)響應(yīng)的形式是若干個指數(shù)函數(shù)之和再加上與激勵源形式相同的項。前者是對應(yīng)的齊次微分方程的解，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，也就是系統(tǒng)內(nèi)部所含“獨立”儲能元件的個數(shù)。后者是非齊次方程的特解。對于實際存在的無源系統(tǒng)而言，零狀態(tài)響應(yīng)中的第一部分將隨著時間的推移而逐漸地衰減為零，因此往往又把這一部分稱之為響應(yīng)的“暫態(tài)分量”或“自由分量”；后者與激勵源形式相同的部分則被稱之為“穩(wěn)態(tài)分量”或“強(qiáng)制分量”。

零狀態(tài)響應(yīng)：電路的儲能元器件（電容、電感類元件）無初始儲能，僅由外部激勵作用而產(chǎn)生的響應(yīng)。

在一些有初始儲能的電路中，為求解方便，也可以假設(shè)電路無初始儲能，求出其零狀態(tài)響應(yīng)，再和電路的零輸入響應(yīng)相加既得電路的全響應(yīng)。

在求零狀態(tài)響應(yīng)時，一般可以先根據(jù)電路的元器件特性（電容電壓、電感電流等），利用基爾霍夫定律列出電路的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)換出電路的微分方程；利用微分方程寫出系統(tǒng)的特征方程，利用其特征根從而可以求解出系統(tǒng)的自由響應(yīng)方程的形式；零狀態(tài)響應(yīng)由部分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)組成，其自由響應(yīng)部分與所求得的方程具有相同的形式，再加上所求的特解便得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)形式?？梢允褂脹_激函數(shù)系數(shù)匹配法求解。

本章小結(jié)

習(xí)題二

第3章 正弦穩(wěn)態(tài)分析

3-1 正弦量的基本概念

3-2 正弦量的相量表示

3-3 KCL，KVL的相量形式

3-4 RLC元件特性方程的相量形式及相量模型

3-5 阻抗和導(dǎo)納

3-6 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計算

3-7 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量圖、位形圖分析法

3-8 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

3-9 電路的頻率響應(yīng)

本章小結(jié)

習(xí)題三

第4章 互感耦合電路

4-1 耦合電感元件

4-2 空芯變壓器

4-3 理想變壓器

理想變壓器是一個端口的電壓與另一個端口的電壓成正比，且沒有功率損耗的一種互易無源二端口網(wǎng)絡(luò)。它是根據(jù)鐵心變壓器的電氣特性抽象出來的一種理想電路元件。

4-4 變壓器模型

本章小結(jié)

習(xí)題四

第5章 正弦穩(wěn)態(tài)三相電路

5-1 三相電路的基本概念

三相電路。三相交流電源指能夠提供3個頻率相同而相位不同的電壓或電流的電源，最常用的是三相交流發(fā)電機(jī)。三相發(fā)電機(jī)的各相電壓的相位互差120°。它們之間各相電壓超前或滯后的次序稱為相序。三相電動機(jī)在正序電壓供電時正轉(zhuǎn)，改為負(fù)序電壓供電時則反轉(zhuǎn)。因此，使用三相電源時必須注意其相序。一些需要正反轉(zhuǎn)的生產(chǎn)設(shè)備可通過改變供電相序來控制三相電動機(jī)的正反轉(zhuǎn)。　 三相電路是一種特殊的交流電路，由三相電源、三相負(fù)載和三相輸電線路組成。 世界上電力系統(tǒng)電能生產(chǎn)供電方式大都采用三相制。

5-2 對稱三相電路正弦穩(wěn)態(tài)分析

5-3 不對稱三相正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

5-4 三相電路的功率與測量

本章小結(jié)

習(xí)題五

第6章 周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

第7章 網(wǎng)絡(luò)的復(fù)頻域分析法

附錄 中英名詞對照

《電路理論:時域與頻域分析》立論嚴(yán)謹(jǐn)、概念清晰、要點突出、敘述流暢、例題豐富、便于自學(xué)?？勺鳛楦叩仍盒ｋ婎愑嘘P(guān)專業(yè)的教材或教學(xué)參考書，也可供有關(guān)技術(shù)人員參考。

集總的線性時不變電路和系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的關(guān)系都由常系數(shù)線性微分方程來描述。如果施加以正弦形激勵，如Asin(ωt 嫓)，或指數(shù)形激勵，如，則其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般亦呈同頻率的正弦或指數(shù)形式。采用復(fù)數(shù)相量法，只需求解由電路方程所得復(fù)數(shù)方程組，就可以求得所需的響應(yīng)。

暫態(tài)分析的目的是要研究在電路中施加激勵后所出現(xiàn)的響應(yīng)。對于線性時不變電路和系統(tǒng),暫態(tài)的頻域分析的基本思想是將激勵展開為許多存在于 －∞tK倍(K是整數(shù))的諧波之和，即為激勵的傅里葉級數(shù)展開式,所得的響應(yīng)亦表示為類似的級數(shù)形式。在激勵是非周期時間函數(shù)的情況下,激勵的展開式是頻率連續(xù)分布在-∞ωg(t)=g(t T0)　T0≠0性質(zhì)的信號。滿足上式的最小的T0值稱為此信號的周期，其頻率為f0。

滿足狄里赫利條件的周期性時間信號可以用傅里葉級數(shù)展開為一系列頻率為Kf0（K=整數(shù)）的簡諧時間函數(shù)之和

(1)

式中將式(1)中頻率相同的正弦項、余弦項合并，即有

(2)

其中　由(1)、(2)兩式可知，周期性時間信號可表示為一系列諧波之和，這些諧波的頻率為f0的整倍數(shù),Ck是頻率為Kf0的諧波的振幅，φk就是這一諧波的初相角。對一周期性信號可以作出它的各諧波振幅Cn、初相角φn與角頻率ω的關(guān)系的圖像，這種圖像分別稱為振幅譜和相位譜。圖中的周期性矩形脈沖的傅里葉級數(shù)展開式是式中　非周期性時間信號的諧波分析 　非周期性信號g(t)滿足某些條件時，也可以展開為正弦形式的諧波的和。這時，由傅里葉級數(shù)的式中令T0→∞,=Δω→dω,可以得到傅里葉積分變換式

(3)

(4)

G(jω)為g(t)的傅里葉變換,g(t)則為G(jω)的傅里葉逆變換，記作

G(jω)=【g(t)】　 (5)

g(t)=-1【G(jω)】　 (6)

對式(4)可以作這樣的解釋:g(t)中頻率為ω的簡諧分量的復(fù)振幅以密度G(jω)分布在ω軸上，將這些頻率連續(xù)分布在(-∞,∞)上的所有諧波相加(積分)即得到g(t)。G(jω)是復(fù)數(shù),它的模和幅角都是頻率ω的函數(shù)。將G(jω)記作

(7)

式中|G(jω)|稱作幅頻函數(shù)，θ(ω)稱為相頻函數(shù)。對于實數(shù)值的信號有即幅頻函數(shù)是ω的偶函數(shù)，相頻函數(shù)是ω的奇函數(shù)。

應(yīng)用 　集總的線性系統(tǒng)的輸入激勵與輸出響應(yīng)的關(guān)系可以用一常系數(shù)線性微分方程表示

(8)

式中，u0、ui分別表示線性集總系統(tǒng)的輸出量和輸入量。帶上標(biāo)(K) 的量表示該量的K階導(dǎo)數(shù)，例如等。對于形如ejwt的激勵，式(8)所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

對于任一形式的激勵ui(t)作用于此系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)u0(t)，便可通過將ui作傅里葉變換，得其頻譜密度再應(yīng)用疊加定理分別計算各頻率為ω的指數(shù)形激勵產(chǎn)生的響應(yīng)，最后將這些不同頻率的響應(yīng)相加使得到u0(t)。它便是系統(tǒng)在ui(t)的作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。這一結(jié)果可表示為下面的積分上式就是U0(jω)的傅里葉反變換。在可以用解析的方法得到這一積分的通式的情況下,便可以得到u0(t)的表達(dá)式。在許多情況下，是采用數(shù)值方法去求上式的數(shù)值解。這時要將積分限限制在一有限的范圍，并作離散化的處理。由此發(fā)展起來的快速傅里葉變換技術(shù)，為解決這類問題提供了快速而有效的算法。

法國數(shù)學(xué)家傅立葉在1807年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學(xué)院呈交，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)院大獎，卻未正式發(fā)表。傅立葉在論文中推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。

1822年，傅立葉出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅立葉的名字命名。傅立葉應(yīng)用三角級數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程，為了處理無窮區(qū)域的熱傳導(dǎo)問題又導(dǎo)出了當(dāng)前所稱的“傅立葉積分”，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。然而傅立葉的工作意義遠(yuǎn)不止此，它迫使人們對函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級數(shù)收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的進(jìn)程。傅立葉1822年成為科學(xué)院終身秘書。

根據(jù)傅立葉級數(shù)的原理，周期函數(shù)都可以展開為常數(shù)與一組具有共同周期的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和。

滿足Dirichlet條件的、以T為周期的時間的周期函數(shù)f(t)，在連續(xù)點處，可用下述的三角函數(shù)的線性組合（傅里葉級數(shù)）來表示：

上式稱為f(t)的傅里葉級數(shù)，其中，ω=2π/T。

n為整數(shù)，n>=0。

n為整數(shù)，n>=1。

在間斷點處，下式成立：

a0/2為信號f(t)的直流分量。

令

c1為基波幅值，cn為n次諧波的幅值。c1有時也稱一次諧波的幅值。a0/2有時也稱0次諧波的幅值。

整數(shù)n稱為諧波次數(shù)，也稱諧波階數(shù)。

諧波的頻率必然也等于基波的頻率的整數(shù)倍，基波頻率3倍的波稱之為三次諧波，基波頻率5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波。