負(fù)定矩陣

1、對(duì)于半正定矩陣來說，相應(yīng)的條件應(yīng)改為所有的主子式非負(fù)。順序主子式非負(fù)并不能推出矩陣是半正定的。

2、半正定矩陣

定義:設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣。如果對(duì)任意的實(shí)非零列矩陣X有X*A*X≥0，就稱A為半正定矩陣。

3、A∈Mn(K)是半正定矩陣的充分條件是:A的所有主子式大于或等于零。

因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣有密切的聯(lián)系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:

設(shè)有二次型 ,如果對(duì)任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x)為正定(半正定)二次型。

相應(yīng)的，正定(半正定)矩陣和負(fù)定(半負(fù)定)矩陣的定義為:

令A(yù)為 n 階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意n 維向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0)，則稱A正定(半正定)矩陣;反之，令A(yù)為n 階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意 n 維向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0)， 則稱A負(fù)定(半負(fù)定)矩陣。

例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。

定義 一個(gè)n× n的埃爾米特矩陣M是正定的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)非零的復(fù)向量z，都有z*Mz > 0，則稱M為正定矩陣，其中z* 表示z的轉(zhuǎn)置矩陣。當(dāng)z*Mz > 0弱化為z*Mz≥0時(shí)，稱M是半正定矩陣由于 M是埃爾米特矩陣，經(jīng)計(jì)算可知，對(duì)于任意的復(fù)向量z，z*Mz必然是實(shí)數(shù)，從而可以與0比較大小.

與正定矩陣相對(duì)應(yīng)，一個(gè)n× n的埃爾米特矩陣M是負(fù)定矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)非零的復(fù)向量z都有:z*Mz < 0.

具有對(duì)稱矩陣A的二次型f=x'Ax

如果對(duì)任何非零向量x，都有x'Ax≥0(或x'Ax≤0)成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，則稱f為半正定(半負(fù)定)二次項(xiàng)，矩陣A稱為半正定矩陣(半負(fù)定矩陣)