估計(jì)值

點(diǎn)估計(jì)的關(guān)鍵在于找到上面所提到的“按照某種原則構(gòu)成的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)”，從而去對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。這樣，“適當(dāng)?shù)挠陻?shù)”并不是唯一的，因此就構(gòu)成了不同的點(diǎn)估計(jì)法，常用的方法有矩法、最大似然法、子樣中位數(shù)法、截尾法等。對(duì)于同一個(gè)參數(shù)，用不同的方法來(lái)估計(jì)可能得到不同的估計(jì)量，而未知量的最優(yōu)估計(jì)量( 也稱為最佳估計(jì)量)是估計(jì)量必須同時(shí)滿足無(wú)偏性、一致性和有效性的要求。下面討論這些性質(zhì)的含意 。

估計(jì)值無(wú)偏性

估計(jì)量由隨機(jī)抽取的子樣決定，每一組子樣得到的估計(jì)量會(huì)由于隨機(jī)抽樣的影響而有,所不同，所以，估計(jì)量是隨機(jī)變量，我們希望估計(jì)量是在真值附近徘徊，隨著子樣容量n的增大，徘徊的幅度越來(lái)越小，亦即希望估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于真值。所以，設(shè)未知參數(shù)的真值(理論值)為\hat{ heta }，其估計(jì)量為

估計(jì)值一致性

一致性是要求參數(shù)估計(jì)量

其中，n為子樣容量。此外，若

估計(jì)值有效性

設(shè)

此外，在所有對(duì)同一參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量中。各估計(jì)量的方差有一個(gè)下限

數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論已經(jīng)證明：具有無(wú)偏性、最優(yōu)性的估計(jì)量必是一致性估計(jì)量，因此，在測(cè)量平差中，對(duì)參數(shù)估值的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)為最優(yōu)和無(wú)偏，稱為最優(yōu)無(wú)偏估值 。2100433B

估計(jì)值亦稱估計(jì)量的實(shí)現(xiàn)，簡(jiǎn)稱估計(jì)，是指估計(jì)量的具體數(shù)值。在進(jìn)行理論分析和一般性討論時(shí)，未知參數(shù)θ的估計(jì)量

由樣本值求得的估計(jì)值，方差越小，估計(jì)值接近待估參數(shù)的概率越大，種特性稱為估計(jì)的有效性 。

設(shè)

則

因?yàn)槎啻螠y(cè)定的平均值比單次測(cè)定值具有更好的精密度，因此，用平均值要比單次測(cè)定值xi作為總體均值μ的估計(jì)值更有效。在正態(tài)分布中，不知總體分布時(shí)，均值仍然可以作為分布的無(wú)偏估計(jì)值，但不是有效的。有結(jié)果(Gauss-Markov Theorem)指向這個(gè)結(jié)論，均值比總體均值μ的其他線性無(wú)偏估計(jì)值擁有更小的方差。

(1)設(shè)

為估計(jì)量的效率，且顯然

(2)如果無(wú)偏估計(jì)量的效率滿足

(3)如果

由于有效估計(jì)的基礎(chǔ)上的一種估計(jì)方法，所以在介紹有效估計(jì)之前，最小方差無(wú)偏估計(jì)的概念知識(shí)需要向大家提前介紹。

無(wú)偏估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)時(shí)的一種無(wú)偏推斷。估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值，則稱此此估計(jì)量為被估計(jì)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，即具有無(wú)偏性，是一種用于評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的準(zhǔn)則。無(wú)偏估計(jì)的意義是：在多次重復(fù)下，它們的平均數(shù)接近所估計(jì)的參數(shù)真值。無(wú)偏估計(jì)常被應(yīng)用于測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)中 。

而具有最小方差的無(wú)偏估計(jì)的判別方法如下：

設(shè)

則無(wú)偏估計(jì)