估計值定義

估計值亦稱估計量的實現(xiàn)，簡稱估計，是指估計量的具體數(shù)值。在進行理論分析和一般性討論時，未知參數(shù)θ的估計量

參數(shù)估計和測量平差都是利用有限個觀測的數(shù)值，遵循一定的原則，對母體中的未知參數(shù)進行估求，并在這個過程中要求觀測值的個數(shù)多于未知參數(shù)個數(shù)( 要有多余觀測)。當(dāng)然，觀測值個數(shù)越多，估計就越準(zhǔn)確。

在數(shù)理統(tǒng)計中，當(dāng)母體分布函數(shù)的形式為已知，但它的分布函數(shù)中的一個或多個參數(shù)卻是未知時，為了確定未知參數(shù)的值，就需要得到大量子樣觀測值，并用概率論對具有隨機現(xiàn)象的觀測值進行整理分析，從而去估計母體中未知參數(shù)的值，這個問題在數(shù)理統(tǒng)計中稱為參數(shù)估計。

平差問題是由于有多余觀測而產(chǎn)生的，無論何種平差方法，其最終目的都是對參數(shù)真值

在數(shù)理統(tǒng)計中，對未知參數(shù)的值進行估計的方法稱為點估計( 也稱定值估計)。設(shè)母體X的分布函數(shù)形式已知，如

綜上所述，測量平差的實質(zhì)就是參數(shù)估計。平差中對參數(shù)

點估計的關(guān)鍵在于找到上面所提到的“按照某種原則構(gòu)成的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)”，從而去對未知參數(shù)進行估計。這樣，“適當(dāng)?shù)挠陻?shù)”并不是唯一的，因此就構(gòu)成了不同的點估計法，常用的方法有矩法、最大似然法、子樣中位數(shù)法、截尾法等。對于同一個參數(shù)，用不同的方法來估計可能得到不同的估計量，而未知量的最優(yōu)估計量( 也稱為最佳估計量)是估計量必須同時滿足無偏性、一致性和有效性的要求。下面討論這些性質(zhì)的含意 。

估計值無偏性

估計量由隨機抽取的子樣決定，每一組子樣得到的估計量會由于隨機抽樣的影響而有,所不同，所以，估計量是隨機變量，我們希望估計量是在真值附近徘徊，隨著子樣容量n的增大，徘徊的幅度越來越小，亦即希望估計量的數(shù)學(xué)期望等于真值。所以，設(shè)未知參數(shù)的真值(理論值)為\hat{ heta }，其估計量為

估計值一致性

一致性是要求參數(shù)估計量

其中，n為子樣容量。此外，若

估計值有效性

設(shè)

此外，在所有對同一參數(shù)的無偏估計量中。各估計量的方差有一個下限

數(shù)理統(tǒng)計理論已經(jīng)證明：具有無偏性、最優(yōu)性的估計量必是一致性估計量，因此，在測量平差中，對參數(shù)估值的評選標(biāo)準(zhǔn)為最優(yōu)和無偏，稱為最優(yōu)無偏估值 。2100433B

由樣本值求得的估計值，方差越小，估計值接近待估參數(shù)的概率越大，種特性稱為估計的有效性 。

設(shè)

則

因為多次測定的平均值比單次測定值具有更好的精密度，因此，用平均值要比單次測定值xi作為總體均值μ的估計值更有效。在正態(tài)分布中，不知總體分布時，均值仍然可以作為分布的無偏估計值，但不是有效的。有結(jié)果(Gauss-Markov Theorem)指向這個結(jié)論，均值比總體均值μ的其他線性無偏估計值擁有更小的方差。

(1)設(shè)

為估計量的效率，且顯然

(2)如果無偏估計量的效率滿足

(3)如果

由于有效估計的基礎(chǔ)上的一種估計方法，所以在介紹有效估計之前，最小方差無偏估計的概念知識需要向大家提前介紹。

無偏估計是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)時的一種無偏推斷。估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計參數(shù)的真實值，則稱此此估計量為被估計參數(shù)的無偏估計，即具有無偏性，是一種用于評價估計量優(yōu)良性的準(zhǔn)則。無偏估計的意義是：在多次重復(fù)下，它們的平均數(shù)接近所估計的參數(shù)真值。無偏估計常被應(yīng)用于測驗分?jǐn)?shù)統(tǒng)計中 。

而具有最小方差的無偏估計的判別方法如下：

設(shè)

則無偏估計