交換律

交換律結(jié)合律

三個序列卷和運算，任意兩個序列先卷和運算，再與第3個序列作卷和運算，其運算結(jié)果等同，即

交換律分配律

兩個序列先行相加運算再與第3個序列做卷和運算，其結(jié)果等于這兩個序列分別與第3個序列先做卷和運算，然后二者再相加。即

交換律卷積和定義

與連續(xù)時間信號的卷積積分相對應和類似，離散信號有卷積和的運算。其定義為

交換律卷積和性質(zhì)

與卷積分的性質(zhì)相對應和類似，卷積和也有一些同樣的性質(zhì)，如圖2所示；

交換律卷積和表

常用信號的卷積和如圖3所示；

交換律求卷積和常用方法

(1)單位序列卷積和法；

(2)直接求累加和法；

(3)圖解法；

(4)解析法(配合查卷積和表)；

(5)排表法；

(6)利用差分性質(zhì)求。

交換律是離散信號卷積和運算最常用的幾個基本運算規(guī)則之一，離散序列卷和運算滿足交換律，即兩序列卷和運算與卷和次序無關，即

與連續(xù)信號卷積積分運算規(guī)則對照，離散序列信號卷積和運算也有相應的一些運算規(guī)則，不過卷積和的差分規(guī)則、累和規(guī)則用得很少，常用的離散信號卷積和運算的幾個基本運算規(guī)則是交換律，結(jié)合律和分配律。

卷和運算的交換律、結(jié)合律、分配律可仿照卷積運算的交換律、結(jié)合律、分配律推導過程證明成立，這里應強調(diào)的是，結(jié)合律與分配律應用于系統(tǒng)分析時主要用來等效化簡復合系統(tǒng)：兩個子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復合系統(tǒng)，其單位序列響應等于相并兩子系統(tǒng)單位序列響應的代數(shù)和。如圖1中（a）所示。兩個子系統(tǒng)級聯(lián)組成的復合系統(tǒng)，其單位序列響應等于相級聯(lián)兩子系統(tǒng)單位序列響應的卷積和，如圖1中（b）所示。

現(xiàn)在來研究開關代數(shù)的一組性質(zhì)(這些性質(zhì)有時稱為定理)。

1.結(jié)合律：(a b) c=a (b c) ，

(a·b)·c=a·(b·c).

2.交換律：a b=b a， a·b=b·a.

3.分配律：a·(b c)=(a·b) (a·c)，

a (b·c)=(a b)·(a c).

4.吸收律：a a·b=a， a·(a b)=a.

5.冪等律：a a=a， a·a=a.

6.德·摩根律(反演律)：(a b)′=a′·b′，

(a·b)′=a′ b′.

7.對合律(雙重否定律)：(a′)′=a.

8.互補律：a a′=1， a·a′=0.

9.零一律(幺元律)：a 0=a， a·1=a.

10.囿元律(極元律)：a 1=1， a·0=0.

卷積(Convolution)既是一個由含參變量的無窮積分定義的函數(shù)，又代表一種運算。其運算性質(zhì)在線性系統(tǒng)理論、光學成像理論和傅里葉變換及其應用中經(jīng)常用到。

卷積的運算性質(zhì)有線性特性，復函數(shù)的卷積，可分離變量，卷積符合交換律，卷積符合結(jié)合律，坐標縮放性質(zhì)，卷積位移不變性，函數(shù)f（x，y）與

其中線性特性可描述為：

設a，b為任意常數(shù)，則對于函數(shù)f(z，y)，h(x，y)和g(x，y)，

{af(x，Y) bh(z，y)}*g(z，y)=af(x，y)*g(x，y) bh(x，y)*g(z，y)。

同樣有：

f(x，y)*{ah(x，y) bg(x，y)=af(x，y)*h(x，y) bf(x，y)*g(x，y) 。