流體力學(xué)相關(guān)方程的理論及其應(yīng)用

項(xiàng)目執(zhí)行期間，我們主要研究了流體力學(xué)相關(guān)方程(例如:Navier-Stokes 方程組, MHD方程組, 粘彈力學(xué)方程、液晶模型)解的存在性，正則性和大時(shí)間行為。有關(guān)研究成果，分別發(fā)表《Arch. Ration. Mech. Anal.》,《 J. Differential Equations》。另外，我們還研究了偏微分方程在圖像處理中的應(yīng)用及其信息安全方面的研究。 項(xiàng)目執(zhí)行期間，我們召開多次研討會(huì)，并訪問其他專家。我們亦培養(yǎng)了多名研究生和本科生，與博士后開展合作研究。 2100433B

本項(xiàng)目將在理論上研究變黏性的Navier-Stokes方程和幾類可壓復(fù)雜流體力學(xué)方程組在二維，三維空間中的全局解性態(tài)，以及薄膜邊界各向異性所導(dǎo)致的有效邊界條件。建立一些可壓粘彈流體，液晶等流體模型；討論有粘性狀態(tài)下的blow-up機(jī)制；研究無粘狀態(tài)下的奇性形成；討論解對(duì)粘性系數(shù)的依賴狀態(tài)，解的大時(shí)間性態(tài)并解決高維黏性依賴密度的等熵可壓縮流體力學(xué)方程組的適定性問題.本項(xiàng)目將對(duì)可壓的粘彈性流體方程組，MHD方程組等，在有粘性條件下討論其blow-up的機(jī)制并討論黏性依賴密度的可壓Navier-Stokes方程組的適定性，而無粘條件下分析三維模型的奇性形成.并且對(duì)粘性系數(shù)依賴于密度及溫度時(shí)，分別討論其blow-up機(jī)制及奇性形成.還將研究不同薄膜區(qū)域各向異性粘性以及各向異性微觀結(jié)構(gòu)所引起的宏觀有效邊界條件。另外還探討以上流體力學(xué)相關(guān)方程的理論與方法在圖像處理，數(shù)據(jù)分析，計(jì)算機(jī)安全方面的應(yīng)用。

《流體力學(xué)及其工程應(yīng)用(翻譯版原書第10版)》內(nèi)容簡(jiǎn)介：這本經(jīng)典教科書《流體力學(xué)及其工程應(yīng)用》（原書第10版），繼承并發(fā)揚(yáng)了講述流體力學(xué)物理現(xiàn)象的傳統(tǒng)，并以最簡(jiǎn)單而且盡可能是最清晰，但又不使用復(fù)雜數(shù)學(xué)工具的方式來應(yīng)用各項(xiàng)基本原理。對(duì)工科大學(xué)生而言，最重要的事情是把所探討的物理現(xiàn)象非常清晰地予以形象化。因此，《流體力學(xué)及其工程應(yīng)用(翻譯版原書第10版)》大力強(qiáng)調(diào)流體力學(xué)的物理現(xiàn)象，一直貫穿于全書。在《流體力學(xué)及其工程應(yīng)用(翻譯版原書第10版)》中，著重講述流體力學(xué)的基本原理、基本假設(shè)以及在其應(yīng)用方面的條件，然后演示怎樣應(yīng)用這些基本原理來解決實(shí)際的工程問題?！读黧w力學(xué)及其工程應(yīng)用(翻譯版原書第10版)》文稿中有范例，節(jié)后有操練題，章后有習(xí)題。并列舉了大量的BG制、SI制的例題和習(xí)題，使學(xué)生熟悉兩種單位制的轉(zhuǎn)換。書中的操練題和習(xí)題總數(shù)已達(dá)到了1354題。這本受到高度尊重的教科書雖然一直在大規(guī)模地修訂，但仍然保持了其傳統(tǒng)的方法，即通過求解工程問題來講授基本概念。在《流體力學(xué)及其工程應(yīng)用(翻譯版原書第10版)》中，所有專題的內(nèi)容都講解得更加清楚而且更加集成化了?！读黧w力學(xué)及其工程應(yīng)用(翻譯版原書第10版)》還選編了許多挑戰(zhàn)性的習(xí)題，可以選用計(jì)算機(jī)及可編程的計(jì)算器來求解。有些新選的習(xí)題可以使用Excel、Mathcad以及HP-48G求解。

關(guān)于不可壓縮Navier-Stokes方程，可壓縮Navier-Stokes方程，Euler方程及其相關(guān)方程組整體解的存在性和不存在性，光滑解的爆破機(jī)制以及解的奇性機(jī)構(gòu)等一直是流體力學(xué)數(shù)學(xué)理論和非線性偏微分方程的核心課題。其中關(guān)于三維不可壓縮Navier-Stokes方程組整體光滑解的存在性或初值是具有限能量的光滑函數(shù)，局部光滑解是否在有限時(shí)間內(nèi)爆破是Clay研究所公布的七大千禧年問題之一。這個(gè)問題的研究不僅具有深刻的數(shù)學(xué)意義，同時(shí)也具有強(qiáng)烈的應(yīng)用背景。另外，非線性守恒律方程(組)，可壓縮Navier-Stokes方程等也在偏微分方程理論中起著基本的作用,該類方程的最重要的特征之一就是波的傳播速度依賴于波本身, 從而導(dǎo)致了巨大的復(fù)雜性以及產(chǎn)生了多種奇性結(jié)構(gòu)的解,如: 激波, 疏散波,孤立子及邊界層等，對(duì)這些現(xiàn)象的深入研究不但與力學(xué)和航空等許多領(lǐng)域有密切的聯(lián)系,而且對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)理論也是挑戰(zhàn)。