理想彈塑性體彈塑性體的安定定理

如同極限分析，在對結構進行安定性分析時，往往不企圖對物體進行彈塑性分析，而是使用安定定理來找到所研究結構的安定載荷范圍的上限和下限。

安定(shakedown)一詞是著名塑性力學家W．Prager首先提出的，用來描述理想彈塑性體在反復載荷作用下發(fā)生塑性變形之后的一種自適應特性。該詞的原意是指用瓶子裝糖或鹽時，經(jīng)過數(shù)次晃動，可以裝得更多一些。在這里當然是指物體經(jīng)過一定量的塑性變形之后，產(chǎn)生了有利的殘余應力場，使物體的彈性極限載荷有所提高。

這里給出靜力安定定理(或下限安定定理，Melan，1938年)和機動安定定理(上限安定定理，Koiter，1956年)。

理想彈塑性體靜力安定定理

考慮理想彈塑性體，作用有體力F_i（x,t），面力T_i（x,t）以及在位移邊界上位移u_i（x,t），如果在某一時刻以后能找到一個不依賴時間t的虛擬殘余應力σ_{ij res}（x）(它是一個自平衡應力場)。使得此后的完全彈性解σ_{ij e}（x，t）在物體內處處滿足：

f (σ_{ij e} σ_{ij res})<0

即不違反屈服條件，則該物體是安定的。

安定性的形成就表示從某個循環(huán)載荷之后，物體不再產(chǎn)生塑性變形。對于理想彈塑性材料．外載荷所產(chǎn)生的應力與殘余應力疊加后仍在屈服面內，即為彈性的。對于強化材料，由于強化規(guī)律的不同，其安定載荷的范圍也不同。

在利用Melan定理求解安定問題時，關鍵在于如何構造與時間無關的自平衡應力場，然后通過調整這些自平衡應力場參數(shù)，使載荷系數(shù)最大。

理想彈塑性體機動安定定理

考慮物體在循環(huán)載荷作用下的情形，對于作用有周期性變化的體力F_i(x,t)、面力T_i(x,t)和零位移邊界條件的理想剛塑性體，如果它是安定的，則對一切可能的機動容許的塑性應變率循環(huán)ε_ij；在每個循環(huán)中其塑性耗散功不小于外載荷在u_{i res}所作的功為

上式中σ_ij是由ε_ij通過正交流動法則求得的在屈服面上的應力。也就是說，如果上述的外力功大于結構內部的塑性耗散功，則結構不安定。

在利用Koiter定理求解安定問題時，需要建立機動容許的塑性應變率循環(huán)。其主要困難在于選取機動容許的塑性應變率場和處理時間積分。 2100433B

在壓力容器的分析與計算中，往往忽略材料的強化作用，把材料看成一旦屈服就可以無限變形，如圖1《理想彈塑性體》理想彈塑性體中A點為屈服點。這種材料模型稱理想彈塑性體(perfect elastic—plastic material)。這種材料，在應力達到屈服點以前完全服從虎克定律，屈服以后應力值不增加，應變值可無限增加。

在彈塑理論基礎上, 建立了可以反映接觸面塑性變形的非線性摩擦接觸單元模型, 推導了考慮塑性變形的接觸面塑性矩陣, 探討了接觸面的3 種接觸條件以及接觸面切向應力與切向位移之間的關系, 通過算例驗證了摩擦接觸面單元具有良好的精度, 可應用于接觸面的塑性問題分析 。2100433B

在水利工程和土木工程中, 大量存在各種接觸問題?；炷翂喂こ痰慕涌p包括橫縫、底縫、縱縫和周邊縫等。這些縫面在荷載加載過程中可能會出現(xiàn)張開、滑移和粘結等情況, 影響混凝土壩的整體結構性和工作性態(tài), 尤其影響拱壩拱的效果發(fā)揮。

近幾十年來, 許多超高混凝土壩開工建設, 使得接觸面研究越來越重要。1968年Goodman采用彈簧剛度概念提出了用于模擬節(jié)理巖體的無厚度接觸面單元。Goodman的主要思想是在土與結構的接觸界面中設置無數(shù)法向彈簧和切向彈簧, 若法向彈簧受拉時則表明界面兩側單元分離;若切向應力超過界面的抗剪強度, 則界面兩側單元將發(fā)生相對滑移變形。Goodman單元的法向勁度取值有很大隨意性, 取值依據(jù)不明確。

1971 年Clough和Duncan等通過實驗提出的剪應力與相對錯動位移之間的雙曲線關系模型, 既適用于有厚度的接觸單元, 也可以應用于無厚度的接觸單元。1984年Desai認為兩種材料接觸面存在一個涂抹區(qū), 其力學性質與周圍實體單元不同, 而剪應力傳遞和剪切帶形成均發(fā)生在接觸面附近這一薄層土體中, 薄層體的本構關系對接觸面力學特性有很大影響。Desai薄層單元的主要思想是:假定單元之間的接觸面是由特殊材料組成的厚度極薄的實體單元。有厚度的Desai單元仍存在以下問題:

① 實際應用中選擇單元的厚度是一項非常困難的工作;

② Desai引入獨立的彈性剪切模量、彈性模量、泊松比, 將3者視為獨立參數(shù), 并沒有從理論上說明其依據(jù), 是否合理有待進一步研究;

③法向剛度不易確定, 計算出的法向應力和法向位移不夠準確。目前求解接觸問題的方法主要有拉格朗日乘子法、罰函數(shù)法、數(shù)學規(guī)劃法以及有限元混合法等。求解非線性問題一般用迭代法, 這就會涉及迭代的收斂性和迭代的效率。Fenves在借鑒Goodman, Ghaboussi等人研究成果的基礎上, 采用二維的平面接觸單元對拱壩進行三維非線性應力分析, 取得了較好的效果。彈塑性理論基礎上, 建立反映接觸面塑性變形的摩擦接觸模型, 著重研究接觸面上法向和切向應力以及位移變化趨勢 。

對于彈塑性摩擦接觸問題, 不僅存在接觸非線性, 還存在材料非線性。由于彈塑性摩擦接觸問題的實際重要性和應用性,近些年一直是人們研究的重點問題。

根據(jù)變分原理, 對于兩個相互接觸物體所組成的系統(tǒng), 變形體的虛功原理可以表述為:變形體中滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調條件的變形體上作的虛功等于零, 即體系外力的虛功與內力的虛功之和等于零。

非線性接觸問題需要通過多次迭代才能獲得正確解。計算時, 首先假設接觸面單元處于某種接觸狀態(tài)(分離、黏結、滑動)。按照假設的狀態(tài), 分別計算等效單元剛度矩陣和等效荷載向量,解有限元方程后, 得到一組解。將獲得的解進行接觸狀態(tài)檢查,看其是否與原假設狀態(tài)相同。若與原假設狀態(tài)不同, 則應重新假設接觸狀態(tài), 進行新的一輪迭代, 直到兩者相符為止 。