膨脹原理

1.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等，那么這動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線，就是這兩定點(diǎn)連線的垂直平分線.

將這個(gè)命題中的兩個(gè)定點(diǎn)膨脹成兩個(gè)圓，就得到下列命題:

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)圓的冪相等，那么這動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線，就是這個(gè)圓的根軸.

2.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和等于定值，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.

將這個(gè)命題中的兩個(gè)定點(diǎn)膨脹成兩個(gè)圓，就得到下列命題:

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)圓的冪的和等于定值，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.

3.一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的比等于定值，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.

將這個(gè)命題中的兩個(gè)定點(diǎn)膨脹成兩個(gè)圓，就得到下列命題:

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)圓的冪的比等于定值，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.

4.三角形的三個(gè)角的內(nèi)外角平分線分別和對(duì)邊相交，共六個(gè)交點(diǎn)，這六個(gè)點(diǎn)分別在四條直線上，每條直線 上有兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)和一個(gè)外分點(diǎn)或三個(gè)外分點(diǎn).

將這個(gè)命題中的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)膨脹成為三個(gè)圓，就得到下面定理:

如果三個(gè)圓的圓心不在一直線上，那么，每?jī)蓚€(gè)圓的順位似心和逆位似心共六個(gè)點(diǎn)在四條直線上，每 條直線上有三點(diǎn).

這里的四條直線都叫做這三個(gè)圓的位似軸

5.三角形中，三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的外心.

在這個(gè)命題中，

(Ⅰ).使三角形的一個(gè)頂點(diǎn)膨脹成圓，就得到命題:

已知☉A和圓外兩點(diǎn)B、C，過B和C分別作☉A的切線BD、BD′、CE、CE′、D、D′、E、E′為切點(diǎn)，設(shè)這四條切線的中點(diǎn)為F、F′、G、G′，那么FF′和GG′的交點(diǎn)在BC的垂直平分線上.

(Ⅱ).使三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)膨脹成圓，就得到命題:

已知☉B(tài)、☉C及其外一點(diǎn)A，過A作切線AD、AD′、AE、AE′分別切兩圓于D、D′、E、E′，設(shè)這四條切線的中點(diǎn)為F、F′、G、G′，又設(shè)☉B(tài)、☉C的兩條外公切線的中點(diǎn)為M、M′，那么FF′和GG′的交點(diǎn)在MM′上.

(Ⅲ).使三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都膨脹成圓，就得到命題:

三個(gè)圓中，每?jī)蓚€(gè)圓有一條根軸，這三條根軸交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是這三個(gè)圓的根心.

6.△ABC中，MN是邊BC的垂直平分線，AQ⊥MN，Q為垂足，那么AB^2-AC^2=2BC●AQ.

當(dāng)B、C兩點(diǎn)膨脹后分別成為圓☉O1和☉O2(半徑分別為r1t和r2)后，BC的垂直平分線換成☉O1和☉O2的根軸MN，AB和BC應(yīng)當(dāng)換成A點(diǎn)到☉O1和☉O2的切線AB和AC，作AD⊥O1O2，就有AB^2-AC^2=2O1O2●AN.

這就是說:一點(diǎn)關(guān)于兩圓的冪的差，等于連心線與由此至根軸的距離之積的二倍.這就是著名的casey定理.

在歐氏幾何學(xué)中，將一個(gè)命題中的某些點(diǎn)換成圓，將這些點(diǎn)中某兩點(diǎn)的連線換成兩圓的公切線，將兩點(diǎn)間的距離換成兩圓的公切線(或連心線)的長(zhǎng)，將另一點(diǎn)和這些點(diǎn)的連線換成另一點(diǎn)到這些圓的切線，將另一點(diǎn)到這些點(diǎn)的距離換成另一點(diǎn)到這些圓的冪，經(jīng)過這樣的更換后所得命題仍然成立，這就叫膨脹原理.

點(diǎn)P對(duì)已知圓O的冪p=OP^2-r^2，r為圓O的半徑.故P在圓O外，p為切線長(zhǎng)的平方;P在圓上，p=0;P在圓內(nèi)，AB為過P的任一弦，則p=PA*PB.