數(shù)字濾波器

IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。

對于IIR數(shù)字濾波器的設計具體步驟如下：

(1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。

(2)根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。

(3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設計的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過程可以結束，若設計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：

將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術指標轉換為低通模擬濾波器的技術指標，然后設計出低通G(s)，再將G(s)轉換為H(z)。

IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。

IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結構形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振蕩。

IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數(shù)字濾波器的公式。

IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網絡。

在MATLAB下設計IIR濾波器可使用Butterworth函數(shù)設計出巴特沃斯濾波器，使用Cheby1函數(shù)設計出契比雪夫I型濾波器，使用Cheby2設計出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數(shù)設計出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個函數(shù)的使用。

與FIR濾波器的設計不同，IIR濾波器設計時的階數(shù)不是由設計者指定，而是根據(jù)設計者輸入的各個濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設計出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與之對應的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。

IIR單位響應為無限脈沖序列FIR單位響應為有限的

IIR幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用于對相位信息不敏感的音頻信號上；

FIR幅頻特性精度較之于iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經過FIR濾波器后他們的時間差不變。這是很好的性質。

另外有限的單位響應也有利于對數(shù)字信號的處理，便于編程，用于計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。

數(shù)字濾波器可以按所處理信號的維數(shù)分為一維、二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理的信號為單變量函數(shù)序列，例如時間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理的信號為兩個或多個變量函數(shù)序列。例如，二維圖像離散信號是平面坐標上的抽樣值。

數(shù)字濾波器一維濾波器

處理一維數(shù)字信號序列的算法或裝置。線性、時不變一維數(shù)字濾波器的輸出信號序列y(n)和輸入信號序列x(n)的關系由線性、常系數(shù)差分方程描述：（如圖1）

相應的Z域轉移函數(shù)圖二式中ar、bk為數(shù)字濾波器系數(shù)，Z【y(n)】和Z【x(n)】分別為輸出和輸入信號序列的Z變換。轉移函數(shù)H(z)的Z反變換稱為一維數(shù)字濾波器的單位沖激響應，即h(n)=Z-1【H(z)】。輸出信號序列也可以表示為輸入信號序列x(n)與數(shù)字濾波器單位沖激響應h(n)的離散褶積（如圖三）

如果數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)只有有限個非零值，稱為有限沖激響應數(shù)字濾波器。如果單位沖激響應具有無限多個非零值，稱為無限沖激響應數(shù)字濾波器。

有限沖激響應數(shù)字濾波器一般采取非遞歸型算法結構，因此也稱非遞歸型數(shù)字濾波器。無限沖激響應數(shù)字濾波器只能采取遞歸型算法結構，故又稱遞歸型數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器二維濾波器

處理二維數(shù)字信號序列的算法或裝置。線性、時不變二維數(shù)字濾波器的輸出 y(m，n)與輸入 x(m，n)關系由兩個變量線性常系數(shù)差分方程描述：（如圖4）

相應的轉移函數(shù)為圖5式中，a b為濾波器系數(shù),Z【y(m,n)】和Z【x(m，n)】分別為輸出和輸入信號序列的二維Z變換。轉移函數(shù)H(z1，z2)的二維Z反變換h(m，n)=Z-1【H(z1,z2】,稱為二維數(shù)字濾波器的單位沖激響應。二維數(shù)字濾波器的輸出y(m，n)亦可表示為輸入信號序列x（m,n）和單位沖激響應h(m，n)的二維離散褶積（圖六）

二維數(shù)字濾波器對單位沖激響應亦分有限沖激響應和無限沖激響應兩類。二維有限沖激響應數(shù)字濾波器為非遞歸型算法結構，因此又稱二維非遞歸型數(shù)字濾波器。二維無限沖激響應數(shù)字濾波器為遞歸型算法結構，因此也稱二維遞歸型數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器對信號濾波的方法是：用數(shù)字計算機對數(shù)字信號進行處理，處理就是按照預先編制的程序進行計算。數(shù)字濾波器的原理如圖所示，它的核心是數(shù)字信號處理器。

如果采用通用的計算機，隨時編寫程序就能進行信號處理的工作，但處理的速度較慢。如果采用專用的計算機芯片，它是按運算方法制成的集成電路，連接信號就能進行處理工作，處理的速度飛快，但功能不易更改。如果采用可編程的計算機芯片，那么，裝入什么程序機器就能具有什么功能。這種可編程芯片的優(yōu)點很多，是現(xiàn)代電子產品的首選。如果是對模擬信號進行處理，則需要添加模數(shù)轉換器和數(shù)模轉換器。

參考《數(shù)字信號處理》楊毅明著p.183-184，機械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。

數(shù)字濾波器是按照程序計算信號，達到濾波的目的。通過對數(shù)字濾波器的存儲器編寫程序，就可以實現(xiàn)各種濾波功能。對數(shù)字濾波器來說，增加功能就是增加程序，不用增加元件，不受元件誤差的影響，對低頻信號的處理也不用增加芯片的體積。用數(shù)字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。

數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)于60年代中期。由于電子計算機技術和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計算機軟件實現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實時實現(xiàn)。

數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)（按預定的算法，將輸入離散時間信號(對應數(shù)字頻率)轉換為所要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置）。應用數(shù)字濾波器處理模擬信號（對應模擬頻率）時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數(shù)轉換。數(shù)字濾波器輸入信號的數(shù)字頻率（2π*f/fs,f為模擬信號的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號的頻譜不產生重疊，應小于折疊頻率（ws/2=π)，其頻率響應具有以2π為間隔的周期重復特性，且以折疊頻率即ω=π點對稱。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經數(shù)模轉換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫(yī)學生物信號處理以及其他應用領域都得到了廣泛應用。

數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應用最廣的是線性、時不變數(shù)字濾波器，以及f.i.r濾波器。

對單位沖激的輸入信號的響應為有限長序列的數(shù)字濾波器。它的主要特點是具有精確線性相位特性。有限沖激響應數(shù)字濾波器一般實現(xiàn)為非遞歸型結構,因此,又稱為非遞歸型數(shù)字濾波器。非遞歸型濾波器具有絕對穩(wěn)定的特性，而且，運算有限字長所產生的輸出噪聲也較小。按所處理信號的類型可分為一維有限沖激響應數(shù)字濾波器和二維或多維有限沖激響應數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器（digital filter )通過對數(shù)字信號的運算處理，改變信號頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。它可以用計算機軟件或大規(guī)模集成電路硬件實時實現(xiàn)。

原理 數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)。線性、時不變數(shù)字濾波器是最基礎的數(shù)字濾波器，其特性可描述為：設數(shù)字濾波器的輸入和輸出信號序列分別可以 由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，則該數(shù)字濾波器的算法可由下列差分方程式表達即圖1.

分類 數(shù)字濾波器按其單位沖激響應h(n)性質分類，有有限沖激響應數(shù)字濾波器（FIR)和無限沖激響應數(shù)字濾波器(IIR)之分。有限沖激響應數(shù)字濾波器(FIR)一般輸出和輸入間無反饋路徑，亦稱非遞歸型濾波器，特性穩(wěn)定。無限沖激響應數(shù)字濾波（IIR）輸入間有反饋路徑，故稱遞歸型濾波器，在系數(shù)取值不當時可能引起振蕩。

數(shù)字濾波器還可以按其所處理信號類型分類，分為一維數(shù)字濾波器和二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理單變量函數(shù)信號序列，例如，語音信號、時間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理兩個變量或多個變量的函數(shù)信號序列，例如，二維圖像的離散信號是平面坐標的抽樣值。

一般模擬濾波器是因果的、線性的和時不變的。也就是說，模擬濾波器在某一給定時刻的響應與在此時刻以后的激勵無關（因果性）；對單個或多個激勵信號的響應滿足線性條件（線性）；內部參數(shù)不隨時間而變化(時不變）。而數(shù)字濾波器則可以實現(xiàn)為因果的或非因果的，線性的或非線性的、時不變的或時變的。這就是數(shù)字濾波器具有靈活性、多變性和適應性的特點，它可以實現(xiàn)模擬濾波器所不能實現(xiàn)的功能。

使用方法 通信信號源常是連續(xù)時間信號，例如，語音信號和圖像信號。應用數(shù)字濾波器處理此類信號時，須先對所處理的信號進行限帶、抽樣和模-數(shù)變換，然后進行數(shù)字濾波。數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應大于被處理信號帶寬的兩倍。這是因為數(shù)字濾波器的幅頻響應是以抽樣率為間隔呈周期重復的特性，并且是以折疊頻率(1/2抽樣頻率點)呈鏡像對稱。為了保證濾波后輸出頻譜不發(fā)生混疊，必須滿足上述抽樣率要求。為得到輸出為連續(xù)時間信號，數(shù)字濾波器的輸出須經數(shù)模變換和平滑濾波。

設計 數(shù)字濾波器的設計理論和設計方法已很成熟。有限沖激響應數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)嚴格的線性相位特性，并且保證絕對穩(wěn)定。無限沖激響應數(shù)字濾波器設計時，應考慮穩(wěn)定性問題，其轉移函數(shù)的極點必須保證位于Z平面的單位圓內。由于應用計算機輔助優(yōu)化設計和仿真技術，目前，可以應用數(shù)字濾波器設計軟件包，根據(jù)給定技術指標，在計算機上自動化設計，給出滿足要求的設計結果。

實現(xiàn)和應用 隨著大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術的進展，數(shù)字濾波器的實時硬件實現(xiàn)也發(fā)展得很快。原先應用存儲器和加法器實現(xiàn)的，現(xiàn)在可以用單片微處理器實現(xiàn)。要求處理速度較高，運算量較大的可以用單片通用高速數(shù)字信號處理器(DSP)(含有乘法器）實時實現(xiàn)。高速或運算量大的可以用陣列處理器實現(xiàn)。產量大、小型化要求高的還可以設計成專用集成電路(ASIC)實現(xiàn)，

由于數(shù)字濾波器具有高精度、高穩(wěn)定性、高可靠性、可復用、無介入衰耗，以及可實現(xiàn)嚴格的線性相位，所以在通信工程中有非常廣泛的應用。

《數(shù)字濾波器設計及工程應用》詳細介紹了數(shù)字濾波原理、數(shù)字濾波器設計與應用技術。全書共六章，包括噪聲的基礎知識，數(shù)字濾波器的基礎知識，低通數(shù)字濾波器的設計及性能分析，高通、帶通及帶阻數(shù)字濾波器的設計，數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)及應用，工程中簡易濾波方法，并在附錄中分別介紹了數(shù)字濾波的分析工具和常用窗函數(shù)?！稊?shù)字濾波器設計及工程應用》文字簡明扼要，物理概念清晰，貼近工程實際，避免煩瑣的數(shù)學推導，使讀者能夠在較短的時間內，對低通、高通、帶通、帶阻及多頻帶數(shù)字濾波器原理和設計方法有一個全面的了解。書中用MATLAB語言實現(xiàn)了每一種濾波器，程序都經過實際調試，并對實際信號進行了濾波處理，列出了部分處理結果，便于讀者對其性能進行分析比較，方便對實際工程信號的濾波處理。