橢圓曲面

定理1：如果允許

再有因?yàn)镈的基本群是無限階循環(huán)群，其生成元是沿原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的軌道，所以其象的矩M(P)∈SL(2、Z)決定，這稱為奇異纖維的單值其共軛類唯一確定。

定理2：非多重的纖維由兩個(gè)不變量 J (P )，M(P)(后者是其共軛類) 唯一確定。

根據(jù)這些，橢圓曲面的結(jié)構(gòu)及其刻劃幾乎完全給定。

小平之所以首先像這樣詳細(xì)研究橢圓曲面是因?yàn)樵谒^的小平維數(shù)l的場(chǎng)臺(tái)，作為小平纖維化，自然就出現(xiàn)橢圓曲面。再有，代數(shù)維數(shù)l的曲面自然也為橢圓曲面。無限階的橢圓曲面也不外乎如此。但是橢圓曲面發(fā)揮強(qiáng)大威力的則在于對(duì)所謂

橢圓曲面就是以橢圓曲線 (虧格的Riemann面) 為一般纖維，具有這種纖維結(jié)構(gòu)的復(fù)曲面 (2維緊復(fù)流形)。

這一概念正如后面所述對(duì)于向高維發(fā)展以及對(duì)纖維微分拓?fù)涠甲鞒隽酥匾呢暙I(xiàn)。而且小平先生已經(jīng)指出了這一發(fā)展方向。正如橢圓函數(shù)論是19世 紀(jì)整個(gè)數(shù)學(xué)的源泉，說橢圓曲面為本世紀(jì)后半葉整個(gè)代數(shù)幾何的源泉 (之 一) 也不過分。由此產(chǎn)生的源流通過 “弦模型理論” 等等而在理論物理學(xué)中保持著。

橢圓曲面是小平(在數(shù)學(xué)的論述部分遵循慣例，直呼其名而不加敬稱) 在關(guān)于復(fù)曲面的一系列基礎(chǔ)研究的論文集 “On compact analytic surfaces”中收錄的第23部分中處理的。該論文的出版是1963年。

一個(gè)復(fù)曲面S稱為橢圓曲面，如果存在閉Riemann面 C 與復(fù)解析的正則映射π：s — c 為滿射。并且除有限個(gè)以外，π的纖維

換言之，存在以C(有限個(gè)點(diǎn))為參數(shù)的橢圓曲線族，使S為其全體空間(的緊化)

在C的某點(diǎn)P處，選擇該點(diǎn)周圍的局部參數(shù)t使P對(duì)應(yīng)于t=0則π可看作π^-1(0)周圍的正則函數(shù)，所以π=0決定上的因子。也就是說不僅是作為集合的π^-1(0)，還有各既約成分上π幾重時(shí)為0，即同時(shí)考慮其重?cái)?shù)。我們就把它稱為P上的纖維，一般的在P上由定義知，纖維為(重?cái)?shù)1的)非奇異橢圓曲線。

小平在橢圓曲面論方面最早的定理就是將這纖維完全分類。

橢圓曲面本身在小平之后也有了各種各樣的進(jìn)展。

最重要的事是1980年代前半期4維拓?fù)鋵W(xué)及微分拓?fù)鋵W(xué)的飛躍進(jìn)步。特別是有關(guān)前者的Friedman的結(jié)果與有關(guān)后者的Donaldson理論(Donaldson不變量的引入)是決定性的。

前者的結(jié)果，單連通復(fù)曲面按其2維同調(diào)的相交形式幾乎完全決定了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。特別是同倫K3曲面與K3曲面同胚。關(guān)于與射影平面的9點(diǎn)blow—up有相同同倫型的曲面，飯高與Dolgachev進(jìn)行了研究，得到具有2條多重纖維的橢圓曲面，它也與原來的blow—up同胚。

對(duì)此微分結(jié)構(gòu)方面則根據(jù)利用規(guī)范理論所定義的Donaldson不變量的汁算，首先知道飯高、Dolgachev曲面的微分結(jié)構(gòu)可能不同(Donaldson1985)。后來證明同倫K3曲面與K3曲面也不是微分同胚的(MorgaslMrowk~1993)。

這里出現(xiàn)的橢圓曲面上的微分結(jié)構(gòu)有非常深刻的內(nèi)容，對(duì)此，

(1)基曲線的虧格在1以上；

(2)沒有多重纖維；

(3)多重纖維3條以上，在這三個(gè)條件任一條件滿足的情形。由

(A)Euler數(shù)相等；

(B)基本群同構(gòu)這種單純的拓?fù)洳蛔兞康臈l件就可以完全決定。

微分結(jié)構(gòu)(1986之前有松本幸夫等的先行研究)。其它眾多的應(yīng)該論及的結(jié)果有鹽田徹治的Mordell—wen格子理論，金銅誠(chéng)之的K3曲面的自同構(gòu)的研究，中山舁在3維流形上橢圓曲線的纖維結(jié)構(gòu)的研究等等。 2100433B

實(shí)體模型的外表是曲面組成的。曲面定義了實(shí)體的外形，曲面可以是平的也可以是彎曲的。曲面模型與實(shí)體模型的區(qū)別在于所包含的信息和具備性不同：實(shí)體模型總是封閉的，沒有任何縫隙和重疊邊；曲面模型可以不封閉，幾個(gè)曲面之間可以不相交，可以有縫隙和重疊。實(shí)體模型所包含的信息是完備的，系統(tǒng)知道哪些空間位于實(shí)體“內(nèi)部”，哪些位于實(shí)體“外部”，而曲面模型則缺乏這種信息完備性?？梢园亚婵醋魇菢O薄的“薄壁特征”，曲面只有形狀，沒有厚度。當(dāng)把多個(gè)曲面結(jié)合在一起，使得曲面的邊界重合并且沒有縫隙后，可以把結(jié)合的曲面進(jìn)行“填充”，將曲面轉(zhuǎn)化成實(shí)體 。

可展曲面即為高斯曲率處處為零的曲面。另一種常見的表述方法是，一個(gè)可展曲面的每一部分都可以不經(jīng)壓縮或者拉伸而展開成為一個(gè)平面。三維歐氏空間中的完備可展曲面一定是直紋曲面。然而，相同前提下的直紋曲面不一定是可展曲面，單葉雙曲面便是一例。四維歐氏空間存在不是直紋曲面的可展曲面。

自由曲面是工程中最復(fù)雜而又經(jīng)常遇到的曲面，在航空、造船、汽車、家電、機(jī)械制造等部門中許多零件外形，如飛機(jī)機(jī)翼或汽車外形曲面，以及模具工件表面等均為自由曲面。工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致上可分為兩類或由這兩類組成:一類是僅由初等解析曲面例如平面、圓柱面、圓錐面、球面等組成。大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類。可以用畫法幾何與機(jī)械制圖完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息。另一類是不能由初等解析曲面組成，而由復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂的自由曲線曲面組成。例如飛機(jī)，汽車，船舶的外形零件。自由型曲線曲面因不能由畫法幾何與機(jī)械制圖表達(dá)清楚，成為擺在工程師面前首要解決的問題。