通用墨卡爾投影人物簡介——墨卡托

16世紀(jì)的地圖制圖學(xué)家。精通天文、數(shù)學(xué)和地理。出生于荷蘭佛蘭德斯省(現(xiàn)比利時安特衛(wèi)普附近)。1530—1532年就讀于盧萬大學(xué)。1552年移居德國的杜伊斯堡。早在1537年繪制了第一幅地圖(巴勒斯坦)，后接受對佛蘭德斯進(jìn)行實(shí)地測繪任務(wù)，采用哥倫布發(fā)現(xiàn)的磁子午線為標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線，為實(shí)測地圖的開端。1540年在盧萬開設(shè)地圖作坊，印出依比例實(shí)測地圖，引起廣泛重視，并制成了地球儀，1568年制成著名航海地圖“世界平面圖”，該圖采用墨卡托設(shè)計的等角投影，被稱為“墨卡托投影”，可使航海者用直線(即等角航線)導(dǎo)航，并且第一次將世界完整地表現(xiàn)在地圖上，1630年以后普遍被采用，對世界性航海、貿(mào)易、探險等有重要作用，至今仍為最常用的海圖投影。晚年所著《地圖與記述》是地圖集巨著，轟動世界，封面上有古希臘神話中的撐天巨人阿特拉斯像，后人將“Atlas”用作地圖集同義詞，至今沿用。墨卡托是地圖發(fā)展史上劃時代人物，結(jié)束了托勒密時代的傳統(tǒng)觀念，開辟了近代地圖學(xué)發(fā)展的廣闊道路。 2100433B

又稱正軸等角圓柱投影。荷蘭制圖學(xué)家墨卡托于 1569年創(chuàng)制的一種使地圖無角度變形，赤道符合主比例尺，各緯線均與赤道等長的投影方法。 墨卡托投影以一個圓柱軸和地軸重合的假定圓 柱面作為投影面，按照等角投影的條件，將經(jīng)緯網(wǎng)投影到圓柱面上，再將圓柱面展平而成。在這種投影中，赤道為圓柱面和地球面的切線，是 一條無變形的標(biāo)準(zhǔn)線，其余緯線都與赤道平行 且等長，各緯線均按經(jīng)差等分;經(jīng)線為一組垂直于緯線的平行直線，緯線間距由赤道向高緯增 大，兩極在圖上則無法表示。按照等角 投影的特性，在墨卡托投影中，球面上的小圓投 影后仍保持圓形，但為保證等角及各緯線與赤道等長，必須使地圖上每一點(diǎn)的經(jīng)線比例尺和緯線比例尺相等，且隨緯度的增加而增大。因此，墨卡托投影只是在小范圍內(nèi)保持與實(shí)地輪廓相似，在地圖區(qū)域很大時，仍會有顯著的形狀變形，而且面積變形很大，在緯度60°處面積比例已比實(shí)際擴(kuò)大了4倍；在緯度80°附近已擴(kuò)大了33倍多。例如地處高緯的格陵蘭島，在墨卡托投影圖上，比實(shí)際面積8倍于它的南美洲 還顯得大。故除赤道附近東西延伸地區(qū)外，墨 卡托投影不宜用于制作各類表示地理事象分布情況的地圖，而主要適用于繪制海圖。這是因?yàn)樵谠撏队皥D上無角度變形，且經(jīng)線為平行直線。所以地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的 曲線，即等角航線在圖上均表現(xiàn)為直線。這一 特性對航海、航空具有極重要的意義。據(jù)此，即可在圖上將航行起點(diǎn)和終點(diǎn)連一直線，并量測 其與鄰近經(jīng)線的夾角，該象限角就是飛機(jī)或船只駛航的方向，而該直線即是沿等角航線駛航的路線。這就解決了16世紀(jì)航海上最大的技術(shù)難關(guān)，對促進(jìn)地理探險、擴(kuò)大國際交往都起到了極為重要的作用。但是等角航線并非是地球 面上兩點(diǎn)間的最短距離，地球面上兩點(diǎn)間的最 短距離是通過它們之間的大圓弧(又稱大圓航線)。例如從非洲南端的開普敦到澳大利亞的 墨爾本，沿等角航線為6020海里，而沿大圓航 線則僅為5 450海里。因此，完全沿等角航線 航行是不經(jīng)濟(jì)的。在實(shí)際航行時常沿趨近于大 圓航線的折線航行，每航行一段距離，就作一次方位調(diào)整。即在每段航線上是沿等角航線航行 的，但就整個航程而言，則是接近于大圓航線的。這樣既可縮短航程，又可減少定向上的困 難。隨著人造天體的發(fā)射，人類探索宇宙進(jìn)入了一個新時代，墨卡托投影也被選作其他天體制圖的基礎(chǔ)，如月球、水星、火星、木星和土星等。

以圓柱面作為投影面，使圓柱面與地球相切或相割，將地球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。由于圓柱面與地球相切或相割的位置不同，有正軸圓柱投影、橫軸圓柱投影和斜軸圓柱投影。正軸圓柱投影是圓柱的軸與地軸重合，橫軸圓柱投影是圓柱的軸與地軸垂直，斜軸圓柱投影是圓柱的軸與地軸斜交。正軸圓柱投影的經(jīng)緯線形狀比較簡單，稱為標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)。緯線為平行直線，經(jīng)線為與緯線垂直且間隔相等的平行直線。在這類投影圖上任意一點(diǎn)的位置是用直角坐標(biāo)表示的。設(shè)以某一條經(jīng)線為X軸，赤道為Y軸，由于緯線投影為平行于赤道的直線，所以X坐標(biāo)僅依緯度的變化而變化，即X是緯度q的函數(shù)，一般用X=f(q)式表達(dá)。經(jīng)線為與赤道垂直的平行直線，經(jīng)線間的間隔與相應(yīng)的經(jīng)差λ成正比，故Y坐標(biāo)與經(jīng)差成正比，即y=cλ(c—常數(shù))。因此正軸圓柱投影的一般公式為：

在圓柱投影中應(yīng)用比較廣泛的是正軸等角圓柱投影，又名墨卡托投影。在這個投影圖上赤道是標(biāo)準(zhǔn)緯線，其他各緯線的長度比均大于1。為了保持等角特性，任一點(diǎn)的經(jīng)線長度比均等于該點(diǎn)的緯線長度比，因此除赤道處經(jīng)線長度比等于1之外，其他地方的經(jīng)線長度比也隨緯度的增加而增大。例如在緯度60°地方，緯線與經(jīng)線的長度比均為2，緯度80°地方，經(jīng)線和緯線長度比均等于5.7。由于經(jīng)線長度比隨緯度增高而增大，故圖上緯線間隔從赤道向兩極逐漸增大。極地不能表示出來。

墨卡托投影具有一個很重要的特性，就是把等角航線(又稱斜航線)表現(xiàn)為直線，所以它在編制航海圖和航空圖中被廣泛采用。例如我國編繪比例尺小于1∶2.5萬的海圖采用的是這個投影。此外，由于這個投影在低緯度地區(qū)變形小，而且經(jīng)緯線形狀簡單，常用于繪制赤道附近的分國地圖。例如我國地圖出版社出版的一整套分國地圖中，沿赤道的分區(qū)地圖均采用這個投影。

按照一定的數(shù)學(xué)法則將地球橢球面上的經(jīng)緯線轉(zhuǎn)移到平面上的方法。也就是使地球橢球面上各點(diǎn)的地理坐標(biāo)與平面上各點(diǎn)的直角坐標(biāo)(或極坐標(biāo))保持一定的函數(shù)關(guān)系。地球橢球面是曲面，而地圖是繪制在平面上，因此制圖時首先要把曲面展為平面。然而地球橢球面是個不可展的曲面，假如把它直接展為平面，必然發(fā)生破裂或褶皺，用這種具有破裂或褶皺的平面繪制地圖，顯然是不實(shí)用的。所以必須采用數(shù)學(xué)方法將曲面展為平面，以保持平面上圖形的完整和連續(xù)。地圖投影方法很多，但不論采用什么投影方法所得到的經(jīng)緯線網(wǎng)形狀都不可能與地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)形狀完全相似。這表明投影之后地圖上的經(jīng)緯線網(wǎng)發(fā)生了變形，因而根據(jù)地理坐標(biāo)展繪在地圖上的各種地理事物也必然隨之產(chǎn)生變形。變形主要表現(xiàn)在三個方面： 長度變形、面積變形和角度變形。變形是不可避免的，但若給予一定的條件，如等角條件，等積條件，則可使其中某種變形等于零，用以滿足不同用途對地圖投影的要求。按變形性質(zhì)地圖投影可分為三類：等角投影、等積投影和任意投影(包括等距投影)。

地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把地球橢球面直接透視到平面上，或透視到可展為平面的曲面上，如圓柱面和圓錐面。這樣就得到具有幾何意義的方位、圓柱和圓錐投影。隨著科學(xué)的發(fā)展，為了使地圖上變形盡量減小，或者為了使地圖滿足某些特定要求，地圖投影逐漸跳出了原來借助幾何面構(gòu)成投影的框子，而產(chǎn)生了一系列按照數(shù)學(xué)條件構(gòu)成的投影。按照構(gòu)成方法可以把地圖投影分為兩大類： 幾何投影和非幾何投影。幾何投影是把地球橢球面上的經(jīng)緯線投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而成的。根據(jù)幾何面的形狀可以分為方位投影、圓柱投影和圓錐投影。非幾何投影是不借助于幾何面，根據(jù)某些條件用數(shù)學(xué)解析法確定地球橢球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。在這類投影中，一般按經(jīng)緯線形狀又分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影。

通用墨卡爾投影是一種地圖投影方式，是墨卡托投影的推廣。是英、美、日、加拿大等國地形圖最通用的投影。簡稱“UTM投影”。屬等角橫軸割圓柱投影。因投影圓柱與地球相割，中央經(jīng)線投影后的長度比為0.9996，投影帶各部分的長度變形比較平穩(wěn)，其6°帶內(nèi)長度變形小于0.1%。

許多國家采用通用墨卡托投影形式用于全球北緯84度至南緯80度之間地區(qū)的投影制圖，簡稱為UTM投影。它從幾何意義上可理解為等交橫軸割圓柱投影。在UTM投影中，橫軸圓柱面與地球面的兩條割線上沒有變形，在這兩條割線之間長度變形為負(fù)值，且中央子午線上長度變形為-0. 000 4在這兩條割線以外長度變形為正值。與高斯投影相比較，除等角條件及中央子午線投影為縱坐標(biāo)軸這兩個投影條件與高斯投影相一致外，其平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)以及坐標(biāo)軸的指向與高斯平面直角坐標(biāo)系也一致；只是在UTM投影中，中央子午線投影長度比不再是1，而是取值0. 9996。高斯拎影話合干幅員廣闊的國家和地區(qū)，但其不足之處在于長度變形較大，導(dǎo)致面積變形也過大，尤其在投影帶邊緣地區(qū)。而Uw1投影由于其采用了0. 9996作為中央子午線的投影長度比，使整個投影帶的投影長度比普遍地減小了萬分之四，并顯著地減小了邊緣地區(qū)的長度變形，在低緯地區(qū)這種效果更為明顯。由于Uw1投影的諸多優(yōu)點(diǎn)，許多國家都把它作為高斯投影的改進(jìn)，應(yīng)用于自己國家的地圖制作中。

卡爾-斯蒂爾式焦?fàn)t的結(jié)構(gòu)示意圖如下（圖1）：