線間距[離]

《鐵道科學(xué)技術(shù)名詞》。

1997年，經(jīng)全國(guó)科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)審定發(fā)布。

站線間距(distance between station tracks)是指兩相鄰車站線路中心線之間的距離。一般為5000mm。按照站線用途的不同，其間距也有差別。例如相鄰兩線均通行超限貨物列車，且線間裝有水鶴時(shí)為5500mm。相鄰兩線中只有一線通行超限貨物列車，且線間裝有水鶴時(shí)為5200mm。相鄰兩線均通行超限貨物列車，且線間裝有高柱信號(hào)機(jī)時(shí)為5300mm。牽出線與其鄰線間為6500mm調(diào)車場(chǎng)各相鄰線束間為6500mm。貨物直接換裝線間為3600mm 。

已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F(xiàn)分別為AB，AD中點(diǎn)。求：點(diǎn)B到平面PEF的距離。

解:

空間距離法一：等積轉(zhuǎn)化法

設(shè)B點(diǎn)到平面PEF的距離為h，連結(jié)BF，則?SΔPEF?h=V三棱錐B-PEF，

連結(jié)CE，CF，在RtΔCBE中，BC=4，BE=2，

∴ CE2=20，又在RtΔPCE中，PC=2，

∴ PE=2，同理可求得PF=2，又可求得EF=2，

∴ 可求得SΔPEF=2，

又：V三棱錐B-PEF=V三棱錐P-BEF，已知PC⊥平面BEF，

∴ ?2?h=?SΔBEF?PC，

∴ h=。

空間距離法二：轉(zhuǎn)化為線面——其它點(diǎn)面距離

連結(jié)BD， ∵ E、F分別為AB，AD中點(diǎn)，

∴ EF//BD，

∴ B點(diǎn)到平面PEF的距離即直線BD到平面PEF的距離，即直線BD上任一點(diǎn)到平面PEF距離，

連結(jié)AC交EF于G，交BD于O，連結(jié)PG，

∵ BD⊥AC，∴ EF⊥AC，又 PC⊥EF，

∴ EF⊥平面PGC，∴ 平面PEF⊥平面PCG，

過O點(diǎn)作OK⊥PG于K，則OK⊥平面PEF，

即線段OK的長(zhǎng)即為點(diǎn)O到平面PEF的距離，

由ΔOKG∽ΔPCG，在ΔPCG中可求得PG=，PC=2，

在ΔOGK中，OG=AC=，∴ OK=?OG=。

空間距離法三：用概念直接作

延長(zhǎng)FE交CB延長(zhǎng)線于H，連結(jié)PH，過B作BM//PC交PH于M，過B作BN⊥EH于N，連結(jié)MN，過B作BQ⊥MN于Q點(diǎn)，

∵ PC⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ABCD，

∴ MB⊥EH，∴EH⊥平面BNM，

∴ 平面BMN⊥平面PEH，

∴ BQ⊥平面PEH，即線段BQ的長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面PEF的距離，

∵ E為AB中點(diǎn)，即正方形ABCD，∴ BH=BE=2， EH=2，

∴ BN=，由，∴ BM=，

在RtΔBMN中，BQ=。

評(píng)注：此題仍用了例2所用的三種思維方法。這都是求距離所用的常用方法。比較概括一下，等積法最容易，轉(zhuǎn)化法是最常用的思路，直接法往往較難，尋求垂線段時(shí)往往需借助圖形隱含的性質(zhì)和作輔助的垂面來實(shí)現(xiàn)，每種方法都能從不同側(cè)面幫助我們提高空間思維能力，在復(fù)習(xí)時(shí)都應(yīng)運(yùn)用領(lǐng)會(huì)。

空間距離法二：轉(zhuǎn)化為面面距離來作

連結(jié)A1B，A1C1， ∵ 正方體A-C1，

∴ 平面ACD1//平面A1C1B，

∴ BC1到平面ACD1的距離即平面ACD1到平面A1C1B的距離。

連結(jié)B1D，設(shè)B1D交平面A1C1B于O1，交平面ACD1于O2，

∵ 正方體AC1，∴ B1D⊥平面A1C1B， B1D⊥平面ACD1，

∴ 線段O1O2的長(zhǎng)即為平面ACD1與平面A1C1B的距離，作A1C1中點(diǎn)M，連結(jié)BM，

∵ B1MD1DB共面，∴ B，O1，M共線（公理2）

在RtΔBB1M中，B1O1=，

同法可求得DO2=，

∴ O1O2=B1D-DO2-B1O1=。

評(píng)注：10計(jì)算過程中必要的證明必不可少，如此處B，O1，M共線的證明。

20 當(dāng)確認(rèn)要計(jì)算的線段后，轉(zhuǎn)化和尋求三角形應(yīng)同時(shí)進(jìn)行，如此處O1O2較難直接計(jì)算，轉(zhuǎn)化為O1O2=B1D-B1O1-DO2，B1O1置于RtΔBB1M中。

空間距離法三：利用等積計(jì)算布列方程

設(shè)點(diǎn)B到平面ACD1的距離為h，則?h,

∵ 正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，

∴ DD1⊥平面ABC，ΔAD1C為正三角形，邊長(zhǎng)為。

又∵ =?SΔABC?DD1=，

∴ ?h=?1，∴ h=。

評(píng)注：解決點(diǎn)面距離的通法——等積法，用此法要注意靈活選擇三棱錐，變換視角，以及規(guī)范表述。2100433B

已知：正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求直線BC1到截面ACD1的距離。

分析：因正方形，故BC1//AD1，∴ BC1//平面ACD1，由線面距離的概念，BC1到面ACD1的距離即BC1上任一點(diǎn)到平面ACD1垂線段的長(zhǎng)，亦等于過BC1且與平面ACD1平行的平面與平面ACD1的距離。

解:

法一：過BC1上一點(diǎn)作垂線段

連結(jié)B1D，B1C，設(shè)B1C交BC1于E，取DC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，設(shè)BF交AC于H，過H作HG//EF交BE于G，

∵ 正方形ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，

∴ B1D⊥平面ACD1，B1D=，E為CB1中點(diǎn)，

∴ EFBD，∴ EF⊥平面ACD1，

∴ GH⊥平面ACD1，∴ GH的長(zhǎng)即BC1到平面ACD1距離，

∵ DC//AB，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，

∴ FH∶BH=1∶2，∴ BH∶BF=2∶3，

∴ HG=EF=，即BC1到平面ACD1的距離為。

評(píng)注：若按定義，通過BC1上任一點(diǎn)向平面ACD1作垂線，垂足落在何處？能否利用上已知條件，故通常為便于計(jì)算都不能如此作，而是從另一些方面利用圖形性質(zhì)或構(gòu)造垂面截出垂線段。此處利用正方體體對(duì)角線垂直于不相交的面對(duì)角線這一特性及同一面的垂線互相平行的性質(zhì)作出垂線段GH，也相當(dāng)于過BC1作了與平面ACD1垂直的平面BC1F，也可在垂面上利用面面垂直的性質(zhì)去找垂線段。

引申設(shè)問：此題若改求異面直線AC和BC1的距離呢？你能否根據(jù)以上解法予以解答？