線性隨機(jī)系統(tǒng)基本概念

隨機(jī)控制系統(tǒng)是受隨機(jī)因素影響的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。線性系統(tǒng)是指同時(shí)滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統(tǒng)。

線性隨機(jī)系統(tǒng)即同時(shí)滿足線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)特性的系統(tǒng)，它滿足線性系統(tǒng)的疊加性與均勻性，同時(shí)又受隨機(jī)因素影響。線性隨機(jī)系統(tǒng)分為連續(xù)線性隨機(jī)系統(tǒng)和離散線性隨機(jī)系統(tǒng) 。

考慮如下形式的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)線性系統(tǒng)：

其中

分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)，控制和輸出向量。

上的隨機(jī)變量序列，且為獨(dú)立的廣義穩(wěn)定的二階矩過(guò)程。對(duì)于給定的初始條件x (0) = x0 ，我們定義其相應(yīng)的解過(guò)程為x (t, x0)，輸出過(guò)程為y (t, x0)。定義矩陣組A，B，C如下：

線性隨機(jī)系統(tǒng)均方穩(wěn)定性

對(duì)于上述連續(xù)時(shí)間隨機(jī)線性系統(tǒng)，當(dāng)u (t)=0，t>=0時(shí)，如果有

成立，就稱該系統(tǒng)為均方穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱矩陣組A是均方穩(wěn)定的。

線性隨機(jī)系統(tǒng)均方鎮(zhèn)定性

對(duì)于上述連續(xù)時(shí)間隨機(jī)線性系統(tǒng)，若存在矩陣K，使得當(dāng)u(t) =Kx(t)時(shí)，下述閉環(huán)系統(tǒng)

對(duì)任意的初始條件x0 2 Rn為均方穩(wěn)定的，那么就稱系統(tǒng)(2-13)為可鎮(zhèn)定的。簡(jiǎn)稱(A,B)為均方可鎮(zhèn)定的。

其中，

線性隨機(jī)系統(tǒng)能檢測(cè)性

如果存在常數(shù)

那么就稱(A,C)為能檢測(cè)的。

其中

該函數(shù)可以看成是連續(xù)時(shí)間線性隨機(jī)系統(tǒng)的輸出能量函數(shù)。

線性隨機(jī)系統(tǒng)能觀測(cè)性

如果存在常數(shù)

對(duì)任意初始條件x0成立，則稱連續(xù)時(shí)間線性隨機(jī)系統(tǒng)為能觀測(cè)的。

我們考慮如下形式的離散時(shí)間隨機(jī)線性系統(tǒng)：

線性隨機(jī)系統(tǒng)能檢測(cè)性

如果存在整數(shù)

那么我們說(shuō)(A,C)是能檢測(cè)的。

線性隨機(jī)系統(tǒng)能觀測(cè)性

對(duì)于離散時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)，如果存在常數(shù)

成立，則稱連續(xù)時(shí)間線性隨機(jī)系統(tǒng)為能觀測(cè)的。

一般來(lái)說(shuō)，實(shí)際系統(tǒng)或多或少都含有隨機(jī)和非線性因素。利用隨機(jī)非線性模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述，并結(jié)合隨機(jī)過(guò)程的知識(shí)來(lái)研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律，具有重要的理論和實(shí)際意義。若直接用線性控制方法對(duì)隨機(jī)非線性系統(tǒng)進(jìn)行研究，則需要線性化系統(tǒng)，而日益增長(zhǎng)的高性能要求難以得到滿足。故采用非線性控制方法來(lái)保證系統(tǒng)的全局性能，而非光滑控制方法是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種先進(jìn)的非線性控制方法。另一方面，注意到許多實(shí)際系統(tǒng)本身含有非光滑的非線性動(dòng)態(tài)，或在控制設(shè)計(jì)中引入了非光滑項(xiàng)，從而導(dǎo)致基于局部Lipschitz連續(xù)的光滑性方法無(wú)法應(yīng)用?；诖?，本項(xiàng)目針對(duì)隨機(jī)非線性系統(tǒng)，研究其非光滑鎮(zhèn)定問(wèn)題。 本項(xiàng)目按照研究計(jì)劃，基本完成了預(yù)定的研究?jī)?nèi)容。下面從理論和應(yīng)用兩個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)。在理論方面，對(duì)隨機(jī)非線性系統(tǒng)建立了隨機(jī)Barbalat's引理，此基礎(chǔ)之上，針對(duì)具有ISS/iISS供應(yīng)率不確定和噪聲的下三角非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了輸出反饋控制器；針對(duì)帶馬爾科夫跳的隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)，在更弱的假設(shè)條件下得到其均方指數(shù)穩(wěn)定的濾波器設(shè)計(jì)方案；針對(duì)驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)為上三角結(jié)構(gòu)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，基于ISS理論，給出非光滑控制器的構(gòu)造方案；針對(duì)一類隨機(jī)非線性系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)改進(jìn)的積分滑模面和滑模控制器，設(shè)計(jì)了積分滑?？刂撇呗?，使得閉環(huán)均方指數(shù)穩(wěn)定，去除了已有方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的約束。上述理論的實(shí)際應(yīng)用方面，利用非光滑控制理論，針對(duì)農(nóng)業(yè)拖拉機(jī)的自主導(dǎo)航控制問(wèn)題，提出基于飽和控制技術(shù)的控制器設(shè)計(jì)方法；針對(duì)DC/DC變換器系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了終端滑模控制器，并在功率變換器的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上，實(shí)現(xiàn)了二階滑?？刂品桨?；在不確定性由非負(fù)函數(shù)限定的情況下，設(shè)計(jì)了新的二階滑?？刂扑惴?，并將其運(yùn)用到倒立擺系統(tǒng)的控制中。 上述研究成果表明本項(xiàng)目在項(xiàng)目組成員的共同努力下，已基本完成預(yù)定目標(biāo)。非光滑控制方法大大改善了分析和設(shè)計(jì)隨機(jī)非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，提高了系統(tǒng)的收斂性能和抗擾動(dòng)性能，具有非常重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。 2100433B

隨機(jī)非線性系統(tǒng)是近年來(lái)的一個(gè)研究熱點(diǎn)。針對(duì)此類系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)，目前主要考慮系統(tǒng)在滿足局部Lipschitz連續(xù)條件下的光滑鎮(zhèn)定。然而，注意到許多實(shí)際系統(tǒng)本身含有非光滑的非線性動(dòng)態(tài)，或者在控制設(shè)計(jì)中引入了非光滑項(xiàng)，從而導(dǎo)致基于局部Lipschitz連續(xù)的光滑性方法無(wú)法運(yùn)用?；诖?，本項(xiàng)目針對(duì)一類典型的隨機(jī)非線性系統(tǒng)-三角結(jié)構(gòu)隨機(jī)非線性系統(tǒng)，研究其非光滑鎮(zhèn)定問(wèn)題。首先，在非Lipschitz連續(xù)條件下，建立隨機(jī)非線性系統(tǒng)依概率全局漸近穩(wěn)定性理論。然后，基于上述穩(wěn)定性理論，針對(duì)下三角隨機(jī)非線性系統(tǒng)，在局部Lipschitz連續(xù)情況下，研究其依概率有限時(shí)間鎮(zhèn)定問(wèn)題；在非Lipschitz連續(xù)情況下，研究其非光滑鎮(zhèn)定問(wèn)題。最后，對(duì)具有高次非線性和含有低次非線性的上三角隨機(jī)非線性系統(tǒng)，研究其非光滑鎮(zhèn)定問(wèn)題。本項(xiàng)目的研究將為完善隨機(jī)非線性系統(tǒng)的控制理論提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

經(jīng)過(guò)四年的研究，課題組完成了既定研究任務(wù)和研究目標(biāo)。重要進(jìn)展概括如下：(1)建立了一套基于隨機(jī)平均法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃，同時(shí)計(jì)及系統(tǒng)狀態(tài)部分可觀測(cè)、控制力時(shí)滯與有界、系統(tǒng)模型與參數(shù)不確定的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論方法；(2)提出與發(fā)展基于擬哈密頓系統(tǒng)的隨機(jī)平均法與隨機(jī)極大值原理的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論方法；(3)研究了最優(yōu)控制系統(tǒng)的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)，包括隨機(jī)響應(yīng)、穩(wěn)定性、可靠性等；(4)搭建了非線性隨機(jī)最優(yōu)控制試驗(yàn)平臺(tái)，完成三層土木結(jié)構(gòu)模型的隨機(jī)最優(yōu)控制實(shí)驗(yàn)，用實(shí)驗(yàn)初步驗(yàn)證了理論方法的有效性和精確性。(5)提出與發(fā)展以響應(yīng)概率密度為目標(biāo)的非線性隨機(jī)最優(yōu)控制理論方法；(6)提出與發(fā)展以智能材料為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的非線性隨機(jī)最優(yōu)半主動(dòng)控制理論方法；（7）提出與發(fā)展了具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的擬哈密頓系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階控制理論方法。 除了圓滿完成既定目標(biāo)之外，還研究了一些原計(jì)劃未列入的內(nèi)容，包括提出與發(fā)展了泊松與高斯白噪聲共同激勵(lì)下擬哈密頓系統(tǒng)的隨機(jī)平均法，完善了基于哈密頓框架的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)理論；提出研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的復(fù)胞映射方法；發(fā)展有色噪聲激勵(lì)下非線性系統(tǒng)瞬態(tài)概率密度的方法；研究了周期矩形信號(hào)和不相關(guān)噪聲激勵(lì)下偏置單穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振；將隨機(jī)動(dòng)力學(xué)與控制理論應(yīng)用到化學(xué)、生物和工程等領(lǐng)域，得到了較好的效果，等等。 在國(guó)家自然科學(xué)基金的資助下，課題組成功舉辦國(guó)際理論與應(yīng)用力學(xué)聯(lián)合會(huì)關(guān)于非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)與控制的研討會(huì)與第三屆國(guó)際動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)與控制會(huì)議兩個(gè)國(guó)際會(huì)議。發(fā)表學(xué)術(shù)論文96篇，其中SCI、EI收錄論文80余篇，專著章節(jié)兩章。培養(yǎng)畢業(yè)碩士生10名，畢業(yè)博士生20名。 2100433B