余弦變換

離散余弦變換(DCT for Discrete Cosine Transform)是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類似于離散傅里葉變換(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用實(shí)數(shù)。離散余弦變換相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個(gè)離散傅里葉變換是對(duì)一個(gè)實(shí)偶函數(shù)進(jìn)行的（因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)），在有些變形里面需要將輸入或者輸出的位置移動(dòng)半個(gè)單位(DCT有8種標(biāo)準(zhǔn)類型，其中4種是常見(jiàn)的)。

最常用的一種離散余弦變換的類型是下面給出的第二種類型，通常我們所說(shuō)的離散余弦變換指的就是這種。它的逆，也就是下面給出的第三種類型，通常相應(yīng)的被稱為"反離散余弦變換"，"逆離散余弦變換"或者"IDCT"。

有兩個(gè)相關(guān)的變換，一個(gè)是離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform),它相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)度大概是它兩倍的實(shí)奇函數(shù)的離散傅里葉變換；另一個(gè)是改進(jìn)的離散余弦變換(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相當(dāng)于對(duì)交疊的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散余弦變換。

離散余弦變換，尤其是它的第二種類型，經(jīng)常被信號(hào)處理和圖像處理使用，用于對(duì)信號(hào)和圖像(包括靜止圖像和運(yùn)動(dòng)圖像)進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強(qiáng)的"能量集中"特性:大多數(shù)的自然信號(hào)(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，而且當(dāng)信號(hào)具有接近馬爾科夫過(guò)程(Markov processes)的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，離散余弦變換的去相關(guān)性接近于K-L變換(Karhunen-Loève 變換--它具有最優(yōu)的去相關(guān)性)的性能。

例如，在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG中，在運(yùn)動(dòng)圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中都使用了離散余弦變換。在這些標(biāo)準(zhǔn)制中都使用了二維的第二種類型離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。這時(shí)對(duì)應(yīng)第二種類型離散余弦變換中的n通常是8，并用該公式對(duì)每個(gè)8x8塊的每行進(jìn)行變換，然后每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)8x8的變換系數(shù)矩陣。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置表示不同頻率的交流分量。

一個(gè)類似的變換, 改進(jìn)的離散余弦變換被用在高級(jí)音頻編碼(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音頻壓縮當(dāng)中。

離散余弦變換也經(jīng)常被用來(lái)使用譜方法來(lái)解偏微分方程，這時(shí)候離散余弦變換的不同的變量對(duì)應(yīng)著數(shù)組兩端不同的奇/偶邊界條件。

在工程實(shí)際中遇見(jiàn)的信號(hào)般在一個(gè)有限區(qū)間或一個(gè)周期內(nèi)（t₀，t₀ T)都具有有限能量。理論證明，這些信號(hào)(或函數(shù))通?？梢杂孟嗷フ坏暮瘮?shù)來(lái)表示(也就是可以用正交函數(shù)集取得最佳的近似）。所謂函數(shù)x₁(t)和x₂(t)正交，則表示信號(hào)x₁(t)不包含信號(hào)x2(t)的分量，滿足圖1公式的條件。若函數(shù)cosnω_ot和sinmω_ot在同一區(qū)間內(nèi)相互正交，則x(t)可以由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作三角型的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。如果信號(hào)是一個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)，且對(duì)稱于縱軸的偶函數(shù)，則該級(jí)數(shù)只有余弦分量。同理，把一個(gè)離散序列x(n)延拓成偶對(duì)稱序列，則其離散傅里葉變換（DFT)也只包含余弦項(xiàng)。余弦變換就是1974年由N．阿罕麥德（N．Ahmed)等根據(jù)這一基本關(guān)系提出的一種正交變換。一個(gè)長(zhǎng)度為N的實(shí)序列x(n)，其離散余弦變換（DCT)定義為

正變換如圖2：

DCT與DFT同屬正弦型的正交變換，它含有DFT的全部信息，從而可以通過(guò)DCT對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和綜合。按正交變換，在變換域中信號(hào)能量不僅等于原時(shí)間域（或空間域）的信號(hào)能量，而且能量往往比較集中于變換式少數(shù)幾項(xiàng)系數(shù)之中。所以若丟棄包含能量小的系數(shù)，則所造成的失真較小，這就為數(shù)據(jù)壓縮提供有利條件。理論推導(dǎo)表明，DCT很接近具有最佳能量集中特性的卡洛變換（K-L變換），但與K-L變換相比，由于它存在快速算法，所以正弦型變換中特性最好的變換。在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛，特別在圖像通信對(duì)圖像傳輸中的數(shù)據(jù)壓縮、編碼和圖像增強(qiáng)等的效果，均較DFT方法為好。在自適應(yīng)信號(hào)處理中，提高自適應(yīng)濾波收斂速度以及語(yǔ)音壓縮編碼等方面有著廣闊應(yīng)用前景。此外，DCT還具有較弱的邊界效應(yīng)特性，使信號(hào)處理的結(jié)果在邊界處引入的誤差比DFT小，可以降低對(duì)窗函數(shù)的要求，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

離散余弦變換被廣泛的應(yīng)用，像是資料壓縮、特征萃取、影像重建等等。多維度離散余弦變換為：

離散傅立葉變換和離散余弦變換常常被使用在訊號(hào)處理 和影像處理，也常被用來(lái)當(dāng)作解偏微分方程式時(shí)更有效率的方法。離散傅立葉變換也可用在運(yùn)算折積或是乘上很大的整數(shù)。下列只列出一些例子。

影像處理

離散余弦變換被用在 JPEG 影像壓縮、MJPEG、MPEG、DV和 Theora影片壓縮上。壓縮時(shí)使用NxN'格的二維的離散余弦變換(DCT-II)然后再被量化且用熵編碼法編碼，通常N為8，而DCT-II的運(yùn)算就用在該格的每一行和每一排，結(jié)果會(huì)生成8x8的變換系數(shù)矩陣，其中(0,0)(左上角)的值是直流分量(頻率為0)，隨著水平或垂直的編號(hào)增加，代表水平或垂直的空間頻率增加，如圖1所示。

在影像處理方面，利用二維的離散余弦變換可以分析并且描述非常規(guī)的圖形加密方法，像是在二維圖像平面中插入非可見(jiàn)的二進(jìn)位制水印。 利用不同的方向，DCT-DWT混雜的轉(zhuǎn)換也可以用來(lái)去除超音波影像的噪聲。三維的離散余弦變換可以被用來(lái)轉(zhuǎn)換在使用水印影像遷入的影片資料或是三維影像資料。

頻譜分析

當(dāng)使用離散傅立葉變換來(lái)做頻譜分析時(shí)，{xn}的數(shù)列通常代表著從訊號(hào) x(t)中在均勻的時(shí)間點(diǎn)做取樣所得到的有限集合，這樣將連續(xù)時(shí)間點(diǎn)經(jīng)取樣離散化后，也將原本的傅立葉變換轉(zhuǎn)變成離散時(shí)間傅立葉變換(DTFT)，通常也因此產(chǎn)生了混疊的失真。為了要最小化這種失真，選擇適當(dāng)?shù)娜宇l率是重點(diǎn)(詳情請(qǐng)看取樣定理)。同樣的，將一個(gè)非常長(zhǎng)(或無(wú)限)的數(shù)列轉(zhuǎn)變成一個(gè)容易處理的大小，會(huì)因此造成失真(Spectral leakage)，選取一個(gè)適當(dāng)?shù)淖訑?shù)列長(zhǎng)度是最小化這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。當(dāng)資料量大于達(dá)到理想頻率分辨率所需的適量時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的作法是使用多個(gè)DFT，例如產(chǎn)生頻譜圖的時(shí)候。如果所期望的結(jié)果是功率頻譜而且有噪聲或隨機(jī)訊號(hào)出現(xiàn)在資料內(nèi)的話，多個(gè)DFT的振幅平均值可以用來(lái)減少頻譜的變異性，Welch method和Bartlett method就是這種技術(shù)。一般處理這種用來(lái)估計(jì)有噪聲的訊號(hào)的功率頻譜的方法就稱為頻譜估計(jì)。

其實(shí)會(huì)造成失真的主要源頭就是DFT本身，因?yàn)镈FT是將DTFT這種連續(xù)性的頻域做離散取樣的結(jié)果，可以利用提高DFT的頻率分辨率來(lái)減緩這問(wèn)題。

• 這種方法有時(shí)候也被認(rèn)為是零填充，這是一種被用在快速傅立葉變換的一種特別應(yīng)用。這種因?yàn)橹禐榱愕娜狱c(diǎn)而產(chǎn)生的乘法與加法比原本的FFT產(chǎn)生偏移還要沒(méi)有效率。

• 如上面所言，失真(leakage)的問(wèn)題對(duì)DTFT的頻率分辨率造成了限制，因此會(huì)對(duì)透過(guò)提高頻率分辨率的效益造成限制。

偏微分方程式

離散傅立葉變換時(shí)常被用來(lái)解偏微分方程式，其中DFT是被用來(lái)近似傅立葉級(jí)數(shù)，其優(yōu)點(diǎn)在于將訊號(hào)延伸為復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)

用快速傅立葉變換處理影像藝術(shù)面的分析

我們必須使用沒(méi)有損害的方法去得到一些關(guān)于藝術(shù)稀有的資訊(從HVS的觀點(diǎn)是著重于色度法以及空間資訊)。我們可以透過(guò)觀察色彩變化或是測(cè)量表面一制性的變化來(lái)了解藝術(shù)，因?yàn)檎麄€(gè)影像是非常大的，所以我們會(huì)使用一個(gè)雙生的余弦窗去擷取影像：

其中一個(gè)常用的多維度變換就是傅立葉變換，是將一個(gè)訊號(hào)的表示式從時(shí)域/空域轉(zhuǎn)換到頻域。 離散域的多維度傅立葉變換可表示成下列式子：

快速傅立葉變換(FFT)是一種用來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換(DFT)和其逆變換的快速算法，快速傅立葉變換所得到的結(jié)果跟按照定義去算離散傅立葉變換的結(jié)果是一樣的，但唯一的差別是快速傅立葉變換的速度快很多。（在舍入誤差的存在下，很多快速傅立葉變換還比直接照定義算還更精準(zhǔn)。）有很多種快速傅立葉變換，他們包含很廣泛的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算到數(shù)論和群論，詳情可以看快速傅立葉變換。

多維度的離散傅立葉變換是離散域傅立葉變換的簡(jiǎn)單版本，其方法是在均勻間隔下的樣本頻率去估計(jì)其值 .

逆多維DFT方程是: