余弦變換離散余弦變換

離散余弦變換(DCT for Discrete Cosine Transform)是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類似于離散傅里葉變換(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用實數(shù)。離散余弦變換相當(dāng)于一個長度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個離散傅里葉變換是對一個實偶函數(shù)進行的（因為一個實偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個實偶函數(shù)），在有些變形里面需要將輸入或者輸出的位置移動半個單位(DCT有8種標(biāo)準(zhǔn)類型，其中4種是常見的)。

最常用的一種離散余弦變換的類型是下面給出的第二種類型，通常我們所說的離散余弦變換指的就是這種。它的逆，也就是下面給出的第三種類型，通常相應(yīng)的被稱為"反離散余弦變換"，"逆離散余弦變換"或者"IDCT"。

有兩個相關(guān)的變換，一個是離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform),它相當(dāng)于一個長度大概是它兩倍的實奇函數(shù)的離散傅里葉變換；另一個是改進的離散余弦變換(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相當(dāng)于對交疊的數(shù)據(jù)進行離散余弦變換。

離散余弦變換，尤其是它的第二種類型，經(jīng)常被信號處理和圖像處理使用，用于對信號和圖像(包括靜止圖像和運動圖像)進行有損數(shù)據(jù)壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強的"能量集中"特性:大多數(shù)的自然信號(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，而且當(dāng)信號具有接近馬爾科夫過程(Markov processes)的統(tǒng)計特性時，離散余弦變換的去相關(guān)性接近于K-L變換(Karhunen-Loève 變換--它具有最優(yōu)的去相關(guān)性)的性能。

例如，在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG中，在運動圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG的各個標(biāo)準(zhǔn)中都使用了離散余弦變換。在這些標(biāo)準(zhǔn)制中都使用了二維的第二種類型離散余弦變換，并將結(jié)果進行量化之后進行熵編碼。這時對應(yīng)第二種類型離散余弦變換中的n通常是8，并用該公式對每個8x8塊的每行進行變換，然后每列進行變換。得到的是一個8x8的變換系數(shù)矩陣。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置表示不同頻率的交流分量。

一個類似的變換, 改進的離散余弦變換被用在高級音頻編碼(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音頻壓縮當(dāng)中。

離散余弦變換也經(jīng)常被用來使用譜方法來解偏微分方程，這時候離散余弦變換的不同的變量對應(yīng)著數(shù)組兩端不同的奇/偶邊界條件。

在工程實際中遇見的信號般在一個有限區(qū)間或一個周期內(nèi)（t₀，t₀ T)都具有有限能量。理論證明，這些信號(或函數(shù))通?？梢杂孟嗷フ坏暮瘮?shù)來表示(也就是可以用正交函數(shù)集取得最佳的近似）。所謂函數(shù)x₁(t)和x₂(t)正交，則表示信號x₁(t)不包含信號x2(t)的分量，滿足圖1公式的條件。若函數(shù)cosnω_ot和sinmω_ot在同一區(qū)間內(nèi)相互正交，則x(t)可以由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)作三角型的傅里葉級數(shù)展開。如果信號是一個連續(xù)的實數(shù)，且對稱于縱軸的偶函數(shù)，則該級數(shù)只有余弦分量。同理，把一個離散序列x(n)延拓成偶對稱序列，則其離散傅里葉變換（DFT)也只包含余弦項。余弦變換就是1974年由N．阿罕麥德（N．Ahmed)等根據(jù)這一基本關(guān)系提出的一種正交變換。一個長度為N的實序列x(n)，其離散余弦變換（DCT)定義為

正變換如圖2：

DCT與DFT同屬正弦型的正交變換，它含有DFT的全部信息，從而可以通過DCT對信號進行分析和綜合。按正交變換，在變換域中信號能量不僅等于原時間域（或空間域）的信號能量，而且能量往往比較集中于變換式少數(shù)幾項系數(shù)之中。所以若丟棄包含能量小的系數(shù)，則所造成的失真較小，這就為數(shù)據(jù)壓縮提供有利條件。理論推導(dǎo)表明，DCT很接近具有最佳能量集中特性的卡洛變換（K-L變換），但與K-L變換相比，由于它存在快速算法，所以正弦型變換中特性最好的變換。在工程實際中應(yīng)用廣泛，特別在圖像通信對圖像傳輸中的數(shù)據(jù)壓縮、編碼和圖像增強等的效果，均較DFT方法為好。在自適應(yīng)信號處理中，提高自適應(yīng)濾波收斂速度以及語音壓縮編碼等方面有著廣闊應(yīng)用前景。此外，DCT還具有較弱的邊界效應(yīng)特性，使信號處理的結(jié)果在邊界處引入的誤差比DFT小，可以降低對窗函數(shù)的要求，簡化運算。

離散余弦變換被廣泛的應(yīng)用，像是資料壓縮、特征萃取、影像重建等等。多維度離散余弦變換為：

離散傅立葉變換和離散余弦變換常常被使用在訊號處理 和影像處理，也常被用來當(dāng)作解偏微分方程式時更有效率的方法。離散傅立葉變換也可用在運算折積或是乘上很大的整數(shù)。下列只列出一些例子。

影像處理

離散余弦變換被用在 JPEG 影像壓縮、MJPEG、MPEG、DV和 Theora影片壓縮上。壓縮時使用NxN'格的二維的離散余弦變換(DCT-II)然后再被量化且用熵編碼法編碼，通常N為8，而DCT-II的運算就用在該格的每一行和每一排，結(jié)果會生成8x8的變換系數(shù)矩陣，其中(0,0)(左上角)的值是直流分量(頻率為0)，隨著水平或垂直的編號增加，代表水平或垂直的空間頻率增加，如圖1所示。

在影像處理方面，利用二維的離散余弦變換可以分析并且描述非常規(guī)的圖形加密方法，像是在二維圖像平面中插入非可見的二進位制水印。 利用不同的方向，DCT-DWT混雜的轉(zhuǎn)換也可以用來去除超音波影像的噪聲。三維的離散余弦變換可以被用來轉(zhuǎn)換在使用水印影像遷入的影片資料或是三維影像資料。

頻譜分析

當(dāng)使用離散傅立葉變換來做頻譜分析時，{xn}的數(shù)列通常代表著從訊號 x(t)中在均勻的時間點做取樣所得到的有限集合，這樣將連續(xù)時間點經(jīng)取樣離散化后，也將原本的傅立葉變換轉(zhuǎn)變成離散時間傅立葉變換(DTFT)，通常也因此產(chǎn)生了混疊的失真。為了要最小化這種失真，選擇適當(dāng)?shù)娜宇l率是重點(詳情請看取樣定理)。同樣的，將一個非常長(或無限)的數(shù)列轉(zhuǎn)變成一個容易處理的大小，會因此造成失真(Spectral leakage)，選取一個適當(dāng)?shù)淖訑?shù)列長度是最小化這個問題的關(guān)鍵點。當(dāng)資料量大于達到理想頻率分辨率所需的適量時，標(biāo)準(zhǔn)的作法是使用多個DFT，例如產(chǎn)生頻譜圖的時候。如果所期望的結(jié)果是功率頻譜而且有噪聲或隨機訊號出現(xiàn)在資料內(nèi)的話，多個DFT的振幅平均值可以用來減少頻譜的變異性，Welch method和Bartlett method就是這種技術(shù)。一般處理這種用來估計有噪聲的訊號的功率頻譜的方法就稱為頻譜估計。

其實會造成失真的主要源頭就是DFT本身，因為DFT是將DTFT這種連續(xù)性的頻域做離散取樣的結(jié)果，可以利用提高DFT的頻率分辨率來減緩這問題。

• 這種方法有時候也被認(rèn)為是零填充，這是一種被用在快速傅立葉變換的一種特別應(yīng)用。這種因為值為零的取樣點而產(chǎn)生的乘法與加法比原本的FFT產(chǎn)生偏移還要沒有效率。

• 如上面所言，失真(leakage)的問題對DTFT的頻率分辨率造成了限制，因此會對透過提高頻率分辨率的效益造成限制。

偏微分方程式

離散傅立葉變換時常被用來解偏微分方程式，其中DFT是被用來近似傅立葉級數(shù)，其優(yōu)點在于將訊號延伸為復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)

用快速傅立葉變換處理影像藝術(shù)面的分析

我們必須使用沒有損害的方法去得到一些關(guān)于藝術(shù)稀有的資訊(從HVS的觀點是著重于色度法以及空間資訊)。我們可以透過觀察色彩變化或是測量表面一制性的變化來了解藝術(shù)，因為整個影像是非常大的，所以我們會使用一個雙生的余弦窗去擷取影像：

其中一個常用的多維度變換就是傅立葉變換，是將一個訊號的表示式從時域/空域轉(zhuǎn)換到頻域。 離散域的多維度傅立葉變換可表示成下列式子：

快速傅立葉變換(FFT)是一種用來計算離散傅立葉變換(DFT)和其逆變換的快速算法，快速傅立葉變換所得到的結(jié)果跟按照定義去算離散傅立葉變換的結(jié)果是一樣的，但唯一的差別是快速傅立葉變換的速度快很多。（在舍入誤差的存在下，很多快速傅立葉變換還比直接照定義算還更精準(zhǔn)。）有很多種快速傅立葉變換，他們包含很廣泛的數(shù)學(xué)運算，從簡單的復(fù)數(shù)運算到數(shù)論和群論，詳情可以看快速傅立葉變換。

多維度的離散傅立葉變換是離散域傅立葉變換的簡單版本，其方法是在均勻間隔下的樣本頻率去估計其值 .

逆多維DFT方程是: