主動(dòng)土壓力系數(shù)

由W. J. M. 朗肯于1857年根據(jù)土的極限平衡理論提出的經(jīng)典土壓力理論。

主動(dòng)土壓力系數(shù)假設(shè)

（1）墻背直立；

（2）擋墻背面光滑即不考慮墻與土之間的摩擦力；

（3）墻后填土表面水平并無(wú)限延伸；

（4）滑裂面為直線。

主動(dòng)土壓力系數(shù)分析方法

擋土墻墻背可用無(wú)限土體中豎直光滑面表示，墻后填土面以下深度z點(diǎn)處取一立方體形的微分單元體, 其上有豎向法向應(yīng)力σ_z和水平向法向應(yīng)力σ_x , 且都為主應(yīng)力。土體處于彈性狀態(tài)時(shí), 該點(diǎn)的應(yīng)力圓遠(yuǎn)離土的抗剪強(qiáng)度包線。當(dāng)土體靜止不動(dòng)時(shí), 深度z 處土單元體的應(yīng)力為σ_z=γ_z，σ_x=K₀γ_z。其中，K₀為靜止土壓力系數(shù)。

當(dāng)擋土墻在墻后填土壓力作用下，如向遠(yuǎn)離填土方向發(fā)生位移，墻受到的土壓力會(huì)隨位移的增加而減小。此時(shí)單元土體的豎向應(yīng)力σ_z不變，而水平向法向應(yīng)力σ_x減小。當(dāng)墻后土體達(dá)到極限平衡狀態(tài)，墻后土體中產(chǎn)生的兩組滑動(dòng)面與水平面成45° φ/2的夾角，并出現(xiàn)連續(xù)滑裂面（滑裂面與水平方向的夾角為45°-φ/2），滑動(dòng)面以上（主動(dòng)區(qū)）土體均達(dá)到主動(dòng)極限平衡狀態(tài)，土壓力減至最小值，此值即為主動(dòng)土壓力。

即當(dāng)彈性半無(wú)限體由于在水平方向伸長(zhǎng)或壓縮并達(dá)到極限平衡狀態(tài)時(shí)，設(shè)想用一垂直光滑的擋土墻面代替彈性半無(wú)限體一側(cè)的土體而不改變?cè)瓉?lái)的應(yīng)力狀態(tài)， 根據(jù)土的極限平衡理論，得出無(wú)粘性土的主動(dòng)和被動(dòng)土壓力強(qiáng)度分別為：

σ_a=γzK_a

σ_p=γzK_p

主動(dòng)和被動(dòng)土壓力分別為：

E_a=1/2γHK_a

E_p=1/2γHK_p

上列各式中

朗肯土壓力理論的適用條件為： ① 擋土墻墻背垂直；②墻后填土表面水平；③擋土墻墻背光滑，沒(méi)有摩擦，因而無(wú)剪力，即墻背為主應(yīng)力。

用等值內(nèi)摩擦角(φ_D)等代粘性土的c和φ值,即等值內(nèi)摩擦角法。

式中：h_i計(jì)算土層厚度(m)；γ土體重度（KN/m³）。

利用上式求出φ_D，再利用庫(kù)侖、朗肯被動(dòng)土壓力系數(shù)公式計(jì)算k_p，即所謂同時(shí)考慮c、φ值法。

從教材、文章、專著和巖土工程實(shí)錄中常用的是朗肯土壓力法和庫(kù)倫土壓力法，很少見(jiàn)到等效內(nèi)摩擦角法計(jì)算k_p的方法，應(yīng)該說(shuō)以上三種計(jì)算被動(dòng)土壓力系數(shù)的方法都是針對(duì)粘性土的抗剪強(qiáng)度特征進(jìn)行了全面的探討?？梢?jiàn)正確求算粘性土的被動(dòng)土壓力系數(shù)是人們更多關(guān)注的問(wèn)題，也說(shuō)明求算粘性土被動(dòng)土壓力系數(shù)的難度和重要性。

按擋土墻與在墻后填土的作用下發(fā)生水平位移（或轉(zhuǎn)動(dòng)）的大小可產(chǎn)生主動(dòng)土壓力、靜止土壓力、被動(dòng)土壓力，相應(yīng)的有主動(dòng)土壓力系數(shù)、靜止土壓力系數(shù)、被動(dòng)土壓力系數(shù)。其中主動(dòng)土壓力系數(shù)K_a是計(jì)算主動(dòng)土壓力的基礎(chǔ)。工程實(shí)際中很多情況需采用主動(dòng)土壓力進(jìn)行擋土墻的穩(wěn)定和強(qiáng)度驗(yàn)算等。主動(dòng)土壓力系數(shù)的取值直接影響主動(dòng)土壓力的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而影響著擋土墻的穩(wěn)定性、安全性和造價(jià)。

由于土壓力理論及其假設(shè)的不同，主動(dòng)土壓力系數(shù)的確定方法也有多種。朗肯土壓力理論和庫(kù)侖土壓力理論是兩個(gè)著名的古典土壓力理論，由于概念明確，方法簡(jiǎn)單，在工程實(shí)踐中仍被廣泛采用。這兩個(gè)土壓力理論提出了各自假定條件下主動(dòng)土壓力系數(shù)的確定方法。此外，其他學(xué)者在主動(dòng)土壓力系數(shù)的計(jì)算與確定方面也做了很多，得出了有意義的改進(jìn)成果。

由 C. A. 庫(kù)侖于1776年根據(jù)擋土結(jié)構(gòu)物后滑動(dòng)土楔所受力的平衡條件得出的經(jīng)典土壓力公式。

假設(shè)條件

（1）墻背傾斜, 具有傾角α；

（2）墻后填土為砂土，表面傾角為β；

（3）墻背粗糙有摩擦力，墻與土間的摩擦角為δ；

（4）平面滑裂面假設(shè)：當(dāng)墻面向前或向后移動(dòng)，使墻后填土達(dá)到破壞時(shí)，填土將沿兩個(gè)平面同時(shí)下滑或上滑；一個(gè)是墻背AB面，另一個(gè)是土體內(nèi)某一滑動(dòng)面BC。設(shè)BC面與水平面成θ角；

（5）剛體滑動(dòng)假設(shè)：將破壞土楔ABC視為剛體，不考慮滑動(dòng)楔體內(nèi)部的應(yīng)力和變形條件（這與朗肯理論認(rèn)為滑動(dòng)楔體內(nèi)各點(diǎn)都達(dá)到極限狀態(tài)不同）；

（6）楔體ABC整體處于極限平衡條件。

根據(jù)以上庫(kù)侖土壓力理論假定，按彈性力學(xué)的平面問(wèn)題，可求得作用在擋土墻上的土壓力。

即當(dāng)擋土墻后土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)形成一滑動(dòng)土楔，滑動(dòng)面是一平面，墻后填土是理想散體。對(duì)于任意一滑動(dòng)面

BC，與水平面的傾角為θ （圖a），作用在滑動(dòng)土楔ABC上的力有：土楔自重W、BC面上的土反力R、墻背對(duì)土楔的反力E，根據(jù)靜力平衡條件求得E （圖b） 并求其極值，得如下土壓力公式：

E_a=1/2γH^2Ka

E_p=1/2γH^2K_p

式中E_a、E_p分別為主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力；γ為土的重度；H為擋土墻高度；K_a、K_p分別為庫(kù)倫主動(dòng)土壓力系數(shù)和被動(dòng)土壓力系數(shù)，與土的內(nèi)摩擦角φ、 填土面與水平面的傾角β、 擋土墻背的傾角α以及墻背材料與填土之間的摩擦角δ有關(guān)，可按有關(guān)公式計(jì)算或圖表查得。對(duì)于無(wú)粘性填土用該理論計(jì)算主動(dòng)土壓力較符合實(shí)際，但計(jì)算被動(dòng)土壓力誤差較大，以后推廣到應(yīng)用于粘性填土。

1. 對(duì)于c、φ值都較小的軟土,上述三種計(jì)算k_a的方法皆適用。

2. 朗肯條件下，β =0，δ=0時(shí)庫(kù)侖主動(dòng)土壓力系數(shù)與朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)相同。

3. 朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)是墻后填土水平應(yīng)力和垂直應(yīng)力的比值；而庫(kù)侖主動(dòng)土壓力系數(shù)不是水平應(yīng)力和垂直應(yīng)力的比值，而是與水平方向成角度ε δ方向的應(yīng)力與垂直方向的應(yīng)力的比值。

4. 朗肯土壓力法，對(duì)超固結(jié)土和濕陷性黃土趨于保守。應(yīng)當(dāng)指出的是，這種土質(zhì)條件下若基坑開(kāi)挖深度在地下水位以下，降水效果較好，或基坑開(kāi)挖深度在地下水位以上，基坑開(kāi)挖深度在8～10m左右，可無(wú)支護(hù)開(kāi)挖。

γ---擋土墻后填土的重度