準(zhǔn)等矩點(diǎn)

等價命題1:若A是冪等矩陣，則與A相似的任意矩陣是冪等矩陣;

等價命題2:若A是冪等矩陣，則A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是冪等矩陣;

等價命題3:若A是冪等矩陣，則對于任意可逆陣T,T^(-1)·A·T也為冪等矩陣;

等價命題4:若A是冪等矩陣，A的k次冪仍是冪等矩陣

(由于數(shù)學(xué)符號編輯問題，更多等價命題及其證明見擴(kuò)展閱讀1)

由于冪等矩陣所具有的良好性質(zhì)及其對向量空間的劃分，冪等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要的作用，同時也為空間的投影過程提供了一種工具。

符號說明如下:

AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣;

AH矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣;

A*為矩陣A的伴隨矩陣;

E為單位矩陣

冪等矩陣的主要性質(zhì):

1.冪等矩陣的特征值只可能是0，1;

2.冪等矩陣可對角化;

3.冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A);

4.可逆的冪等矩陣為E;

5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣;

6.冪等矩陣A滿足:A(E-A)=(E-A)A=0;

7.冪等矩陣A:Ax=x的充要條件是x∈R(A);

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。 考慮冪等矩陣運(yùn)算后仍為冪等矩陣的要求，可以給出冪等矩陣的運(yùn)算:

1)設(shè) A1，A2都是冪等矩陣，則(A1+A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為:A1·A2 =A2·A1 = 0，

且有:R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2);N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2);

2)設(shè) A1， A2都是冪等矩陣，則(A1-A2) 為冪等矩陣的充分必要條件為:A1·A2 =A2·A1=A2

且有:R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 );N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 );

3)設(shè) A1，A2都是冪等矩陣，若A1·A2 =A2·A1，則A1·A2 為冪等矩陣， 且有:R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 );N (A

1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。