質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)是一種比較普遍的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，研究這種系統(tǒng)對(duì)于我們的生活和科技也是具有意義的，生活中隨處可見(jiàn)這種系統(tǒng)，例如汽車(chē)緩沖器就是一種可以耗減運(yùn)動(dòng)能量的裝置，是保證駕駛員行車(chē)安全的必備裝置。再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改變結(jié)構(gòu)的自振特性，增加結(jié)構(gòu)阻尼，吸收地震能量，降低地震作用對(duì)建筑物的影響。因此研究質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)很具有現(xiàn)實(shí)意義。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)研究背景

調(diào)諧液體阻尼器是一種固定在結(jié)構(gòu)樓層（或頂層）上的水箱。當(dāng)結(jié)構(gòu)在地震作用下而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，將帶動(dòng)水箱一起運(yùn)動(dòng)，使水箱中的水晃動(dòng)起來(lái)產(chǎn)生波浪，此波浪對(duì)水箱壁的動(dòng)水壓力就構(gòu)成了對(duì)結(jié)構(gòu)的減振力。國(guó)內(nèi)外對(duì)TLD用 于結(jié)構(gòu)風(fēng)振、地震反應(yīng)控制研究較多。TLD用于結(jié)構(gòu)抗風(fēng)抗震控制已處于工程設(shè)計(jì)和實(shí)施階段。面向工程設(shè)計(jì)，對(duì)TLD系統(tǒng)參數(shù)取值及簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，具有一定的應(yīng)用前景。同時(shí)高層鋼結(jié)構(gòu)重量輕、阻尼系數(shù)小，所以更易采用結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制技術(shù)，研究的主要目的旨在利用單個(gè)和多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器減小高層鋼結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時(shí)的參數(shù)取值問(wèn)題及高層鋼結(jié)構(gòu)-調(diào)頻液體阻尼器系統(tǒng)抗震控制簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法，將多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器系統(tǒng)的固有頻率按線性分布進(jìn)行設(shè)計(jì)即形成MTLD系統(tǒng)，研究其最優(yōu)頻帶寬取值及高層鋼結(jié)構(gòu)-MTLD系統(tǒng)簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法，為調(diào)頻液體阻尼器的工程設(shè)計(jì)和實(shí)施提供參考。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)TLD簡(jiǎn)化模型

采用Housner質(zhì)量-彈簧模型，引入液體阻尼，從而形成質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)。設(shè)某一n層高層鋼結(jié)構(gòu)建筑，TLD系統(tǒng)設(shè)置于第k層，結(jié)構(gòu)受基底地震加速度擾動(dòng)輸入，在地震作用下，水箱中的水將產(chǎn)生振動(dòng)，箱壁產(chǎn)生的動(dòng)液壓力可分為脈動(dòng)壓力和振蕩壓力，脈動(dòng)壓力與水箱加速度成正比，但方向相反；振蕩壓力取決于液體振蕩的波高和頻率。兩種動(dòng)液壓力可分別采用兩個(gè)與箱體聯(lián)接形式不同的等效質(zhì)量的振蕩效應(yīng)來(lái)模擬。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)研究結(jié)論

（1）將單個(gè)和多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器引入高層鋼結(jié)構(gòu)抗震中，由于其裝置簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)，因而具有一定的工程應(yīng)用前景。

（2）研究根據(jù)“高層民用建筑鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程”，對(duì)高層鋼結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.02，對(duì)TLDs和MTLD的位置都假定設(shè)置于同一樓層。

（3）研究了單個(gè)和多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器設(shè)計(jì)參數(shù)，提供的設(shè)計(jì)參數(shù)可供工程設(shè)計(jì)查用，可以不考慮振型參與系數(shù)的影響；設(shè)計(jì)過(guò)程可為設(shè)計(jì)人員采用。

（4）數(shù)值分析及仿真分析表明，采用 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)的單個(gè)和多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器控制效果基本相同。

（5）采用目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)的多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器，較采用目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)的多個(gè)調(diào)頻液體阻尼器控制效果好；而且由于MTLD具有一定減震頻帶寬，所以MTLD較TLD/TLDs具有更好的魯棒性。

（6）多振型控制時(shí)，可設(shè)置多個(gè)TLD/TLDs/MTLD系統(tǒng)，忽略振型間的相互作用，仿照本研究的設(shè)計(jì)思想與方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。 2100433B

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)研究背景

數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)特性之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。其中，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，不論是機(jī)械的、液壓的、電氣的或熱力學(xué)的系統(tǒng)等都可以用微分方程來(lái)描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入條件下的輸出相應(yīng)。所以，建立數(shù)學(xué)模型是研究系統(tǒng)、預(yù)測(cè)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的前提。通常情況下，機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程都是應(yīng)用力學(xué)中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。

分析這種系統(tǒng)時(shí)，首先要根據(jù)彈簧、阻尼器的物理意義對(duì)與其固連的質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析，然后用牛頓第

二定律列寫(xiě)質(zhì)量塊對(duì)應(yīng)的合力方程，從而得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程。在對(duì)質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析時(shí)一般遵循這樣的原則：

（1）彈簧受到外作用時(shí)，在線性范圍內(nèi)，彈簧力的大小與彈簧的形變成正比，彈簧力的方向總是與形變方向相反；

（2）尼器可以看作是一個(gè)活塞液壓缸系統(tǒng)，當(dāng)活塞和液壓缸之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，主動(dòng)一方總要受到另一方的阻尼力。對(duì)于線性阻尼器，阻尼力的大小與阻尼器端點(diǎn)的相對(duì)移動(dòng)速度成正比。外力作用下，當(dāng)彈簧或阻尼器的兩端點(diǎn)都產(chǎn)生位移時(shí)，在確定彈簧形變方向和阻尼器端點(diǎn)相對(duì)移動(dòng)速度時(shí)，情況相對(duì)有點(diǎn)復(fù)雜。針對(duì)這一問(wèn)題，研究提出了一種利用數(shù)軸建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程的簡(jiǎn)單方法，稱之為數(shù)軸建模法。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)數(shù)軸建模法

彈簧、阻尼器、質(zhì)量塊是組成振動(dòng)系統(tǒng)的理想元件。在對(duì)實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)，有時(shí)可以略去阻尼，系統(tǒng)簡(jiǎn)化為質(zhì)量一彈簧系統(tǒng)。當(dāng)物理系統(tǒng)的質(zhì)量很小時(shí)，系統(tǒng)就可近似成阻尼一彈簧環(huán)節(jié)。圖1(a)所示即為阻尼～彈簧環(huán)節(jié)，已知彈簧的剛度為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為c，輸入為位移，系統(tǒng)在輸入位移作用下的輸出設(shè)為以。來(lái)看一下如何用數(shù)軸法分析系統(tǒng)受力情況，進(jìn)而列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。

假設(shè)系統(tǒng)的A點(diǎn)處存在一個(gè)質(zhì)量塊m_A，這樣可以通過(guò)分析其受力情況求得系統(tǒng)的微分方程。由于彈簧和阻尼器都是垂直放置的，故建立一豎直數(shù)軸。先來(lái)看數(shù)軸的正方向朝下的情況。將彈簧和阻尼器端點(diǎn)的位移順序地標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置，如圖1(b)所示。彈簧在一端受到輸入位移，作用后，另一端點(diǎn)也有位移，屬于兩端都產(chǎn)生位移的情況；阻尼器一端固定，另一個(gè)端點(diǎn)有位移輸出。

如果按照一般的物理方法來(lái)列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程，也需要取質(zhì)量塊m_A為脫離體，對(duì)其進(jìn)行受力分析。經(jīng)過(guò)能量

損耗后，輸出位移必定小于輸入位移，故彈簧受壓，所受彈簧力向下；質(zhì)量塊受到彈簧壓力使得阻尼器的活塞桿向下移動(dòng)，這樣活塞桿將受到缸體施加的向上的阻尼力，此阻尼力傳到質(zhì)量塊，故m_A的受力分析簡(jiǎn)圖如圖1(e)所示。可見(jiàn)按照數(shù)軸法和一般物理方法求得的系統(tǒng)微分方程是一致的。

從上例可以看出，用數(shù)軸法分析系統(tǒng)受力，列寫(xiě)彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)微分方程時(shí)，我們無(wú)需考慮彈簧的壓縮或拉伸情況，也不用分析阻尼器內(nèi)部活塞和液壓缸的相互運(yùn)動(dòng)情況，只需建立一個(gè)數(shù)軸，規(guī)定原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，把彈簧或阻尼器的輸入位移變量和輸出位移變量當(dāng)作有理數(shù)按照實(shí)際順序標(biāo)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)位置。

而彈簧力或阻尼力的方向的確定遵循以下原則：當(dāng)系統(tǒng)中彈簧兩端或阻尼器兩端都有位移時(shí)，彈簧力或阻尼力的方向與所建立的數(shù)軸正方向相反；當(dāng)彈簧或阻尼器只有一端有位移時(shí)，彈簧力或阻尼力的方向與彈簧或阻尼器端點(diǎn)的實(shí)際位移方向相反。

這種通過(guò)建立與系統(tǒng)平行方向的數(shù)軸，借助數(shù)軸分析系統(tǒng)中質(zhì)量塊的受力情況，進(jìn)而根據(jù)牛頓第二定律列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的方法就稱之為數(shù)軸建模法。在建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，這種方法非常有效。

當(dāng)彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的質(zhì)量塊時(shí)，建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)需對(duì)每個(gè)質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析。由于相鄰質(zhì)量塊間存在負(fù)載效應(yīng)，用數(shù)軸法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析時(shí)需考慮第一個(gè)進(jìn)行受力分析的質(zhì)量塊如何選取。一般來(lái)說(shuō)，前一個(gè)質(zhì)量塊的受力分析總是從相鄰的后一個(gè)質(zhì)量塊受力分析開(kāi)始。也就是說(shuō)，第刀個(gè)質(zhì)量塊的受力分析要先考慮第n 1個(gè)質(zhì)量塊對(duì)其的作用。因此，可采取這樣一個(gè)方法，即：沿著輸入量(力或位移)作用方向?qū)ふ易詈笠粋€(gè)質(zhì)量塊，按照數(shù)軸法先分析其受力情況，然后逆實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向依次分析其余質(zhì)量塊的受力情況，進(jìn)而按照牛頓第二定律列出每個(gè)質(zhì)量塊的受力方程，然后聯(lián)立即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

質(zhì)量－彈簧－阻尼器系統(tǒng)研究結(jié)論

數(shù)軸建模法是一種簡(jiǎn)單有效的建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的方法。它以數(shù)軸知識(shí)為基礎(chǔ)，根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際情況建立假想數(shù)軸，借助數(shù)軸確定系統(tǒng)中相應(yīng)質(zhì)量塊所受彈簧力或阻尼力的大小和方向，進(jìn)而求得系統(tǒng)微分方程。此方法在建立彈簧一質(zhì)量一阻尼系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型過(guò)程中起到了事半功倍的效果。