柱體扭轉和彎曲扭轉

考慮等截面柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，柱體兩端在xy面內受扭矩T的作用。在非圓形截面柱體的扭轉問題中，截面不僅產(chǎn)生轉動，而且產(chǎn)生翹曲。下面介紹求解這類問題的半逆解法和薄膜比擬方法。

柱體扭轉和彎曲半逆解法

由于單位柱長上截面的相對轉角θ較小，所以，x和y方向的位移u和v可認為是由截面作整體轉動引起的。由此可假設u=－θzy，v=θzx，并假設z方向的未知位移分量為w=θψ（x，y），式中ψ（x，y）稱為圣維南函數(shù)或翹曲函數(shù)，它滿足的基本方程式為：

邊界條件為：

式中s為邊界S的周向長度。求出ψ后，根據(jù)ψ與應力分量的關系以及平衡關系，可求出θ，進而可確定位移分量和應力分量。

以應力分量為基本未知函數(shù)求解扭轉問題時，根據(jù)圣維南的假設，正應力和xy平面內的剪應力為零，即

（注：t_xy和t_yx分別改為t_zx和t_yz）式中Ψ（x、y）稱為普朗特函數(shù)或扭轉應力函數(shù)，它滿足的方程為：

其邊界條件為：

式中G為拉梅常數(shù)，又稱剪切模量；表示Ψs在邊界S上的值。

在求得Ψ后，利用有關方程便可得到其余未知函數(shù)。對于外凸狀的截面，最大剪應力出現(xiàn)在離截面中心最近的截面邊界處。

柱體扭轉和彎曲薄膜比擬

研究承受均勻橫向壓力作用的彈性薄膜的變形問題可以發(fā)現(xiàn)，當薄膜中的某呰物理量（如壓力和表面張力）和柱體扭轉問題中的某些物理量（如單位長度的扭轉角θ和剪切模量G）之間滿足一定的關系時，扭轉問題中的物理量的數(shù)值可由和柱體截面形狀相同的薄膜中相應的物理量的數(shù)值來確定。例如，柱體中任意一點剪應力分量可由薄膜對應點處與剪應力垂直的方向上薄膜的斜率來確定。由此可以得出結論：剪應力合力的方向是薄膜等高線的切線方向，最大剪應力出現(xiàn)在薄膜等高線最稠密的點。

在略去局部應力的影響后，用薄膜比擬法求得的狹矩形截面柱體的扭轉結果可用于求解開口薄壁桿件的扭轉。若用薄膜比擬法求解具有兩個或兩個以上邊界的薄壁桿件的扭轉問題，則需要將內邊界用無重量的剛性平板來代替，并利用薄膜罩住的體積的兩倍等于扭矩的關系以及剪應力環(huán)量公式聯(lián)立求解，這樣便可得到剪應力分量。所謂剪應力環(huán)量公式就是剪應力在薄膜等高線上的積分為常數(shù)，即

式中A為等高線所包圍的面積。

A. J. C. B. de圣維南于1855年和1856年先后解決了扭轉和彎曲問題。澳大利亞的J.H. 米歇爾于1901年和1905年分別解出了幾種分布載荷下的彎曲問題和變截面柱體的扭轉問題。L.普朗特于1903年和S.P. 鐵木辛柯于1913年利用引進應力函數(shù)（見應力函數(shù)和位移函數(shù)）的方法分別解決了以應力分量為基本未知函數(shù)的扭轉和彎曲問題。

柱體扭轉和彎曲問題屬于僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學方法得到嚴格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認為離端面足夠遠處的應力僅與端面上外力的合力及合力矩有關。這種放松了邊界條件的問題稱為圣維南問題。根據(jù)實驗，圣維南假設，柱體縱向纖維之間的作用力為零。圣維南問題的解是唯一的，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應力分量或位移分量中假設一部分未知函數(shù)的形式，然后將所假設的未知函數(shù)代入基本方程，并使全部的未知函數(shù)滿足所給定的邊界條件由此求得另外一部分未知函數(shù)。另一類是薄膜比擬，即利用彈性薄膜同扭轉和彎曲問題的相似性，通過對薄膜的研究來確定扭轉和彎曲問題中的未知量。用彈性力學方法得到的結果，其精度高于材料力學中以平截面假設為基礎的結果。

考慮等截面懸臂柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，取截面上兩個主軸（見截面的幾何性質）為x軸和y軸。柱體在自由端受平行于x軸的力P而彎曲。

柱體扭轉和彎曲半逆解法

假設柱體橫截面內的應力為零，而沿z軸方向的應力

式中

式中v為泊松比；C為積分常數(shù)。在力P沿x軸方向而x軸為截面對稱軸的情況下C=0；對于非對稱截面，在只有彎曲而不產(chǎn)生扭轉的情況下C=0。若在邊界上取

則對于單連通截面，邊界條件為

對于正方形截面的懸臂梁的彎曲，若取v=0.3，則所得到的剪應力分量的值比按材料力學公式所得到的近似結果約大15%。

柱體扭轉和彎曲薄膜比擬

懸臂柱體的彎曲問題可同僅受均勻拉力作用的薄膜進行比擬。比擬時應將薄膜張緊在一個和柱體截面形狀相同的水平孔上，薄膜的高度即為截面上相應點的應力函數(shù)，將得到的代入下式便可得到剪應力分量：

截面為圓形、橢圓形、等邊三角形以及矩形等簡單形狀柱體的扭轉和彎曲問題已經(jīng)得到了精確解答。薄壁桿件的扭轉問題也得到了比較滿意的結果。由于對復雜形狀截面柱體的扭轉和彎曲問題尚缺乏簡便的計算方法，因此，經(jīng)常采用近似計算方法或實驗方法加以解決。

彈性柱體扭轉(torsion of elastic cylinder)一類彈性力學問題.指彈性柱體在端頭力偶作用下的扭轉問題.最早由法國力學家、幾何學家圣韋南(Saint-Venant, A. J. C. B. de)于1855年研究過，其后德國學者普朗托(Prandtl , L.)于1903年和俄國學者于1913年用不同方法分別予以解決。

彈性柱體扭轉問題的解決，一方面基于圣韋南原理，即在端頭放松邊條件;另一方面基于先假設問題的一部分未知量為已知，然后求未知的部分，即所謂半逆解法.設柱截面為xy平面上的區(qū)域D，母線沿z軸.令

式中G為拉梅系數(shù)之一，亦稱剪切模量，B為柱單位長度的扭角.中在D的邊界，上滿足邊條件中l(wèi)，-0.求解這個邊值問題，可得未知應力么二，幾二，進而可以通過積分求得端頭的扭矩M}.以上這種提法的扭轉問題稱為自由扭轉問題.一般情況下，除圓截面外，扭轉后橫截面要發(fā)生翹曲，即不再保持為平面.如果在一端加以約束，使端面保持平面，這種問題稱為約束扭轉問題.

柱體：有兩個面互相平行且全等，余下的每個相鄰兩個面的交線互相平行；另外，柱體還可分為正柱體，斜柱體。

斜截柱體的體積和側面積計算一般用重積分和曲線積分計算，有的也可用初等方法計算，但這些方法往往比較復雜。本文介紹一種比較簡便的計算方法 。

截柱體定理1

斜截柱體的體積等于它的直截面(與側面母線垂直且不與端面相交的截面) 面積與兩個端面的重心之間的距離的乘積 。

證明：如圖2，斜截柱體的側面母線與

考慮xoy 平面以上的部分: 設上端面P所在平面的方程為

又因為

同理可證:xoy平面以下部分的體積

所以，該斜截柱體的體積

截柱體推理1

斜截三梭柱的體積等于它的直截面面積與三條側棱的平均長度的乘積。

截柱體推理2

斜截正棱柱的體積等于它的直截面面積與所有側棱的平均長度的秉積。

推理1可從定理1得到，也可用初等方法證明。推理2可從定理1和推理1得到，也可以只應用推理1來證明。

截柱體定理2

斜截柱體的側面積，等于它的直截面的周界曲線的長度乘以通過該周界曲線的重心且與側面母線平行的直線被夾在兩個端面之間的線段長度的積。

截柱體應用舉例

例1凡斜截四棱柱、斜截五棱柱等都可分割成斜截三棱柱計算壩，可分割成兩個斜截三棱柱，即使當基礎面傾斜(指與堤壩垂直的方向)時也適用。

例2 圖3所示的半圓直角彎管是由兩個斜截柱體構成的，我們來計算其中一段的容積(不考慮管壁厚度)和側面積。

設該段管子的內側長為

由于不少的平面圖形和平面曲線的重心是已知的，因此采用這一方法來計算斜截柱體的體積和側面積往往是比較方便的。 2100433B