最優(yōu)控制中的線性方法的研究

現(xiàn)代最優(yōu)控制理論自二十世紀(jì)六十年代發(fā)展至今一直保持蓬勃的生機(jī)，它以自動(dòng)化領(lǐng)域?yàn)橐劳?，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相結(jié)合，延伸到科技、金融等諸多方面的應(yīng)用中，呈現(xiàn)燦爛的前景。.本項(xiàng)目研究最優(yōu)控制理論和應(yīng)用中的線性方法：（1）把動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程、沿軌道的李級(jí)數(shù)展開和值函數(shù)的粘性逼近結(jié)合起來，利用線性代數(shù)方程，線性規(guī)劃和半定規(guī)劃，建立最優(yōu)軌道的線性搜索方法，而應(yīng)用到金融領(lǐng)域的數(shù)學(xué)控制中，就是把隨機(jī)最優(yōu)控制方法，Ito公式和李級(jí)數(shù)展開結(jié)合起來搜索最優(yōu)財(cái)富過程；（2）建立各類隨機(jī)Riccati矩陣微分方程和代數(shù)方程的線性迭代解法，并用以研究隨機(jī)L-Q問題的最優(yōu)軌道的逼近方法，而在最優(yōu)金融投資問題中是建立隨機(jī)L-Q最優(yōu)控制模型，在Riccati方程的線性迭代中實(shí)現(xiàn)最優(yōu)財(cái)富狀態(tài)的逼近。.無論從自動(dòng)控制還是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度看，用線性的方法求解非線性甚至非光滑的問題都是有重要的理論和實(shí)際意義的，恐怕實(shí)現(xiàn)本項(xiàng)目研究的意義正在于此。 2100433B

目前，較為流行的近似最優(yōu)控制求解方法主要有以下幾類：

非線性最優(yōu)控制冪級(jí)數(shù)展開法

冪級(jí)數(shù)展開方法通過一個(gè)冪級(jí)數(shù)來構(gòu)造控制律，得到序列形式的近似最優(yōu)解，或者將系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)以冪級(jí)數(shù)形式分解，或者通過引進(jìn)一個(gè)臨時(shí)變量并圍繞它展開。

將上式代入HJB方程求得級(jí)數(shù)近似解，也可利用Adomian分解將非線性項(xiàng)進(jìn)行分解。由此尋求非線性HJB方程級(jí)數(shù)的近似解。

非線性最優(yōu)控制Galcrkin逐次逼近方法

由動(dòng)態(tài)規(guī)劃得到的一般性偏微分HJB方引入一個(gè)迭代過程來求解一般非線性HJB方程的一個(gè)近似解序列

非線性最優(yōu)控制廣義正交多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開法

其主要思想是將最優(yōu)控制問題中的狀態(tài)變量，控制輸入，性能指標(biāo)和各個(gè)參數(shù)分別用廣義正交多項(xiàng)式展開，利用廣義正交多項(xiàng)式的積分、乘積運(yùn)算陣

將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程X=MU N。然后，得到TU=V，當(dāng)T非奇異時(shí)，由U=T^-1V得到的控制律是一個(gè)多項(xiàng)式級(jí)數(shù)解u(t)=θ(t)U。該方法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)極值問題，從而避免了求解時(shí)變非線性Riccati方程

非線性最優(yōu)控制有限差分和有限元方法

經(jīng)典的有限差分和有限元方法可以用來近似求解非線性HJB方程近年來，這類方法用來近似求取非線性HJB方程的粘性解。

非線性最優(yōu)控制狀態(tài)相關(guān)Riccati方程方法

這種方法適用的模型是仿射非線性系統(tǒng)。通過極大值原理假設(shè)最優(yōu)控制律具有如下形式。

其中P(x)為下式所述里卡提方程的解

這樣，問題的關(guān)鍵歸結(jié)于近似求解P(x)。狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法通過在P(x)中引入靈敏度參數(shù)變量ε，在ε=o鄰域內(nèi)將P(x)展為冪級(jí)數(shù)

通過比較冪級(jí)數(shù)同次項(xiàng)系數(shù)將狀態(tài)相關(guān)里卡提方程分解為一組矩陣微分方程序列，由此求得其近似解狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法所設(shè)計(jì)的近似最優(yōu)控制律是一種級(jí)數(shù)形式的狀態(tài)反饋控制律

非線性最優(yōu)控制Riccati方程近似序列法

該方法對(duì)非線性系統(tǒng)構(gòu)造線性時(shí)變序列以及相應(yīng)的線性二次型時(shí)變性能指標(biāo)，得到線性時(shí)變序列的最優(yōu)反饋控制序列

此方法計(jì)算量較大，但是當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)不是很大時(shí)，較里卡提方程近似序列方法具有很快的收斂速度，并表現(xiàn)出很好的魯棒性。

非線性最優(yōu)控制逐次逼近法

該方法是針對(duì)非線性的一次項(xiàng)和高次項(xiàng)可分離的一類非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似最優(yōu)控制問題的求解，給出了一種逐次逼近的近似求解方法該方法針對(duì)由極大值原理導(dǎo)致的兩點(diǎn)邊值問題，構(gòu)造近似的等價(jià)序列將其轉(zhuǎn)化為一組線性非齊次兩點(diǎn)邊值問題序列，通過迭代求解一系列的向量微分方程，包括狀態(tài)向量方程序列和共態(tài)向量方程序列，得到原非線性系統(tǒng)近似最優(yōu)控制問題的解該方法被廣泛應(yīng)用到各類非線性系統(tǒng)，其最大優(yōu)點(diǎn)是在迭代過程中每次計(jì)算的不是矩陣微分或代數(shù)方程，而是向量微分或代數(shù)方程，計(jì)算量大大減少，而且實(shí)時(shí)性很高。

非線性最優(yōu)控制線性最優(yōu)控制

線性最優(yōu)控制（linear optimal control）最優(yōu)控制問題的實(shí)質(zhì)是要找出允許的控制作用（規(guī)律），使得動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（受控對(duì)象）從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某種要求的終端狀態(tài)，并且保證某種要求的性能指標(biāo)達(dá)到最?。ù螅?。線性最優(yōu)控制是特指那類受控對(duì)象為線性時(shí)不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

線性最優(yōu)控制是最優(yōu)控制的一個(gè)特殊類。在線性最優(yōu)控制中，受控制的裝置假設(shè)為線性的，而控制器，即產(chǎn)生最優(yōu)控制作用的裝置也限于是線性的。這就是說，控制器輸出即最優(yōu)控制是與輸人線性相關(guān)，而輸人則是對(duì)裝置進(jìn)行測(cè)量而產(chǎn)生的量。當(dāng)然，人們一定會(huì)問，為什么要特別地研究線性最優(yōu)控制，而不直接研究最優(yōu)控制呢？這里可以提出一些理由。例如，工程上許多實(shí)際裝置在其附加控制器之前是線性的，而 且線性控制器在技術(shù)上是最易實(shí)現(xiàn)的，且它往往能滿足需要。

非線性最優(yōu)控制區(qū)別

線性和非線性最優(yōu)控制理論之間既有相似之處更有重大區(qū)別。當(dāng)系統(tǒng)為線性的時(shí)候，它的解可以由轉(zhuǎn)移函數(shù)表出，特別是在定常情況下，轉(zhuǎn)移函數(shù)有具體表達(dá)式，這就為我們的分析提供了十分便和之處。另一方面，在最大值原理基礎(chǔ)上獲得的Hamilton函數(shù)關(guān)于控制的偏導(dǎo)呈現(xiàn)相對(duì)簡單的形式，往往可以求出最優(yōu)反饋率，從而完全解決最優(yōu)控制問題。非線性的情況則復(fù)雜得多，對(duì)它的研究也不夠徹底，許多方面還有待進(jìn)一步深入。這個(gè)領(lǐng)域的研究有一個(gè)十分明顯的特點(diǎn)，那就是多種數(shù)學(xué)理論和方法的綜合運(yùn)用，包括非線性泛函分析、代數(shù)、和微分幾何方法等等。

線性最優(yōu)控制所要求的計(jì)算機(jī)程序往往可以用于非線性最優(yōu)控制問題。

冪級(jí)數(shù)展開方法要求系統(tǒng)關(guān)于狀態(tài)向量X解析，才能夠進(jìn)行展開，這在實(shí)際工程應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的Galcrkin逐次逼近法的收斂性過于依賴系統(tǒng)的初值，收斂性在很多情祝下是無法保證的廣義正交多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開法和有限差分、有限元方法都是采用不同的數(shù)學(xué)工具來解決近似求解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，但這兩種方法的計(jì)算收斂性不好，所需的巨大計(jì)算量也使得它們離工程實(shí)際應(yīng)用有很大一段距離狀態(tài)相關(guān)里卡提方程適用于一類仿射非線性系統(tǒng)里卡提方程近似序列方法同樣適用于一類仿射非線性系統(tǒng)，當(dāng)處理高維系統(tǒng)時(shí)，其計(jì)算量將很大而逐次逼近法，從計(jì)算復(fù)雜度看，是對(duì)向量迭代，得到的最優(yōu)控制律是由精確的線性反饋項(xiàng)和非線性補(bǔ)償項(xiàng)組成，將最優(yōu)控制的求解轉(zhuǎn)化為非線性補(bǔ)償向量序列的求極限過程，大大減少了計(jì)算量，容易被實(shí)際工程所應(yīng)用簡言之，逐次逼近法通過較為簡單的計(jì)算設(shè)計(jì)得到系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制律，具有計(jì)算量少，易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有很好的工程應(yīng)用前景然而，逐次逼近法的缺點(diǎn)在于其對(duì)外部擾動(dòng)和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)以及未建模動(dòng)態(tài)敏感，因此提高最優(yōu)控制的魯棒性是非常必要的。2100433B