薄殼理論

薄殼的幾何形狀和變形情況通常都很復(fù)雜，必須引入一系列簡化假設(shè)才能進(jìn)行研究。最常用的假設(shè)是基爾霍夫－樂甫假設(shè)，以此為基礎(chǔ)可建立薄殼的微分方程組，通過解微分方程組可得到殼體中的位移和應(yīng)力。

基爾霍夫－樂甫假設(shè) 　1874年德國的H.阿龍將薄板理論中的基爾霍夫假設(shè)推廣到殼體。1888年經(jīng)英國的A.E.H.樂甫修正，形成至今仍然廣泛采用的薄殼理論?；鶢柣舴颍瓨犯僭O(shè)包括四個(gè)內(nèi)容：①殼體厚度（t）遠(yuǎn)小于中面最小曲率半徑R； ②殼體的變形和位移量都非常小，而且轉(zhuǎn)角和應(yīng)變是同級(jí)小量，在變形幾何關(guān)系中可以忽略二次以上的高階項(xiàng)；③中面法線方向的正應(yīng)力分量遠(yuǎn)小于與法線垂直方向上的正應(yīng)力分量，前者在應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系中可略去不計(jì)；④變形前中面的法線在變形后仍為法線，且在變形過程中，殼體厚度不變。嚴(yán)格地說，③和④兩點(diǎn)假設(shè)是不相容的，不過由此引起的誤差在t/R量級(jí)以內(nèi)，這對(duì)薄殼來說是允許的。

薄殼中的變形和內(nèi)力 　相應(yīng)于基爾霍夫－樂甫假設(shè)的薄殼的中面變形包括兩個(gè)正交方向（α、β方向）的中面正應(yīng)變ε1、ε2，中面剪應(yīng)變γ，兩個(gè)方向的中面曲率變化κ1、κ2和中面扭率變化值κ12；薄殼中的中面內(nèi)力包括法向力T1、T2，切向力T12、T21，橫向剪力N1、N2，彎矩Μ1、Μ2和扭矩Μ12、Μ21（見圖）。薄殼理論的任務(wù)就在于求出中面的變形和內(nèi)力，進(jìn)而根據(jù)下列表達(dá)式求出殼內(nèi)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量σ1、σ2、τ12：

式中z為所考慮的點(diǎn)到中面的距離。上述諸式中等號(hào)右端的第一項(xiàng)為沿厚度均勻分布的薄膜應(yīng)變和應(yīng)力，第二項(xiàng)為線性分布的彎曲或扭轉(zhuǎn)應(yīng)變和應(yīng)力。

殼體方程組十分復(fù)雜，所以對(duì)任意載荷下的任意形狀殼體求得一般解是很困難的，而只能求經(jīng)過簡化的某些特殊殼體的解，它們?cè)诠こ虘?yīng)用上具有重要的價(jià)值。這些殼體有：

薄殼理論薄膜殼

如果殼體的幾何形狀（包括厚度）和表面載荷都是連續(xù)可微函數(shù)，則除殼體邊緣局部區(qū)域可能由于受支承而出現(xiàn)彎曲應(yīng)力外，大部分殼體一般處于無彎矩的應(yīng)力狀態(tài)。這種狀態(tài)與薄膜受力狀態(tài)相當(dāng)，可根據(jù)殼體的無矩理論求解。按照這個(gè)理論，彎矩分量Μ1=Μ2=Μ12=0。根據(jù)平衡條件得到N1=N2=0;T12=T21，記為S。這樣，在一般情況下，殼體的六個(gè)平衡方程將簡化成只包含三個(gè)未知內(nèi)力的三個(gè)方程：

無矩理論的上述基本方程是靜定可解的，并且可歸結(jié)為某個(gè)位移函數(shù)（見應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)）的四階偏微分方程。工程上常見的二次旋轉(zhuǎn)曲面殼體，在軸對(duì)稱載荷（如均布?jí)毫?、水壓、風(fēng)型載荷和重力等）作用下，可用無矩理論求得解析解。該解不僅近似地反映了殼體大部區(qū)域的應(yīng)力和變形，而且在一般情況下，它與考慮彎矩后得到的特解之差為t/R的數(shù)量級(jí)，故可近似地作為特解。此外，無矩狀態(tài)還是結(jié)構(gòu)最佳的受力狀態(tài)，所以無矩理論具有重要的實(shí)用價(jià)值。

薄殼理論圓筒殼

圓筒殼制作方便，應(yīng)用極為廣泛。此外，圓筒殼沿母線方向的曲率為零，而其周向曲率又為常數(shù)，所以易于進(jìn)行理論分析。最初，圓筒殼方程的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜，1933年美國的L.H.唐奈作了簡化：①在殼體中面的周向平衡方程中，忽略周向曲率對(duì)橫向剪力N2的影響；②在變形分量κ1、κ2和κ12的幾何方程中，略去含切向位移分量u和v的項(xiàng)。由此得到在僅有法向表面載荷q3作用的唐奈方程：

式中ξ=x/a，θ=s/a,a為圓筒的半徑，x、s分別表示軸向和周向的長度變量；

1932年，蘇聯(lián)的В.З.符拉索夫針對(duì)周向加勁的長圓柱殼體（見加勁板殼）提出了一種簡化的半無矩理論（又稱半彎矩理論）。它是在忽略柱體母線方向所有彎矩和周向變形的基礎(chǔ)上建立的理論，它還被推廣應(yīng)用于任意截面形狀的長柱殼體。

薄殼理論旋轉(zhuǎn)殼

德國的H.瑞斯納和瑞士的E.邁斯納分別于1912年和1913年以旋轉(zhuǎn)殼體經(jīng)線上的橫向剪力和緯線方向的主曲率半徑的積作為變量，并用經(jīng)線上切線的轉(zhuǎn)動(dòng)角為另一變量，將殼體基本方程簡化成兩個(gè)互相耦合的二階常微分方程的方程組。在無表面載荷的情況下，它是齊次方程組，可化為一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)表達(dá)的二階常微分方程。由于殼體彎曲具有邊界效應(yīng)，作為初級(jí)近似，德國的J.W.蓋克勒于1926年曾利用這一特點(diǎn)把方程進(jìn)一步簡化。因原微分方程具有漸近性質(zhì)，所以可用漸近積分方法求得精度較高的解。

薄殼理論扁殼

對(duì)于工程上常用的拱高較?。ㄒ话愎案吲c底面特征長度相比不超過1/5）的扁殼，德國的K.馬格雷和蘇聯(lián)的穆什塔利于1938年根據(jù)其幾何特點(diǎn)分別建立了這類殼體的基本方程。1944年符拉索夫?qū)⑦@一成果發(fā)展成為系統(tǒng)的扁殼近似理論。這一理論利用殼體中面扁平的特點(diǎn)把高斯曲率近似地取為零。另外，除了在中面應(yīng)變分量的幾何關(guān)系式和法向平衡方程中保留曲率效應(yīng)外，其他都近似地采用平板方程的表達(dá)式。由于這些簡化和圓柱殼體中的唐奈方程的近似假定相同，扁殼理論應(yīng)用于零高斯曲率的圓柱殼體同唐奈方程完全一致，因此扁殼方程也可以說是唐奈方程的推廣。

所謂殼體是由內(nèi)、外兩個(gè)曲面圍成的物體，兩個(gè)曲面稱為殼體的表面。與兩個(gè)曲面等距的點(diǎn)所形成的曲面稱為殼體的中面；兩曲面之間的中面法線長度稱為殼體的厚度。一般殼體可用中面的幾何形狀和厚度來描述。中面封閉的殼體稱為封閉殼體，否則稱為開口殼體。開口殼體除了內(nèi)外表面外，還有四周的邊界面。最大厚度遠(yuǎn)小于中面曲率半徑和另外兩個(gè)方向尺寸的殼體稱為薄殼。薄殼主要以沿厚度均勻分布的中面應(yīng)力而不是以沿厚度變化的彎曲應(yīng)力來承受外載，具有重量輕、強(qiáng)度高的優(yōu)點(diǎn)，所以在航天、航空、造船、化工、建筑、水利和機(jī)械等工業(yè)中得到廣泛應(yīng)用。

薄殼理論是19世紀(jì)末在基爾霍夫－樂甫假設(shè)的基礎(chǔ)上建立起來的。進(jìn)入20世紀(jì)后，在生產(chǎn)技術(shù)的推動(dòng)下，殼體理論曾有較大的發(fā)展。當(dāng)時(shí)主要是針對(duì)不同類型的殼體建立各種簡化理論。50年代開始對(duì)基爾霍夫－樂甫假設(shè)進(jìn)行修正，使薄殼理論精確化。隨著電子計(jì)算機(jī)的進(jìn)步，薄殼理論在數(shù)值計(jì)算以及理論分析和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合兩方面都有迅速發(fā)展。

根據(jù)彈性力學(xué)并利用基爾霍夫－樂甫假設(shè)建立起來的近似理論稱為殼體的樂甫一級(jí)近似理論。它包含一系列基本方程：

①應(yīng)變－位移關(guān)系式　應(yīng)用微分幾何中的曲面理論，中面變形的應(yīng)變－位移關(guān)系式（即幾何方程）為：

式中u、v、w為沿α、β方向和法方向的位移分量；A1、A2為 α、β方向的拉梅系數(shù)；R1、R2為α、β方向的曲率半徑。由于曲率的存在，殼體變形中的切向位移分量u、v與法向位移分量ω間便有耦合關(guān)系，從而造成殼體幾何方程的復(fù)雜化。

②靜力平衡方程　它的一般形式可寫為：

式中q1、q2和 q3分別為單位中面面積上在α、β方向和法方向的表面載荷分量。這些方程表明，中面切向的平衡方程中包含橫向剪力N1和N2，而在法向的平衡方程中又含有中面內(nèi)力T1和T2。即使在小變形情況下，中面內(nèi)力與橫向剪力也是相互耦合的。此外，最后一式按內(nèi)力定義應(yīng)為恒等式。

③應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 反映殼體內(nèi)中面內(nèi)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，即

式中C =Et/（1-v2），v為泊松比，E為彈性模量；D=Et3/12（1-v2），稱為彎曲剛度。

求解殼體內(nèi)的位移和內(nèi)力須將上述各方程聯(lián)立。上述聯(lián)立基本方程組可化為僅用殼體的撓度表達(dá)的八階偏微分方程。從理論上講，只要有足夠的邊界條件，即可以從這些方程中解得全部未知量。一般說來，在每個(gè)邊界上只能有四個(gè)邊界條件，但自然邊界條件有五個(gè)。在這種情況下，應(yīng)將扭矩化為等效的剪力，譬如在邊界上，兩個(gè)剪內(nèi)力化為：

本書介紹了工程結(jié)構(gòu)的演化進(jìn)程和薄—膜結(jié)構(gòu)的發(fā)展歷程，以薄殼理論為基礎(chǔ)介紹了張拉索—膜結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)及其與結(jié)構(gòu)形式間的關(guān)系，闡述張拉索—膜結(jié)構(gòu)分析所需的基礎(chǔ)知識(shí)和理論等。

本書介紹在“過程裝備”設(shè)計(jì)中所涉及的工程力學(xué)方面的基本理論和基本知識(shí)。包括彈塑性理論的有關(guān)內(nèi)容、圓板理論、旋轉(zhuǎn)薄殼理論，機(jī)械振動(dòng)，疲勞設(shè)計(jì)及斷裂力學(xué)等。是過程裝備及控制工程本科專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程。也可作為相關(guān)專業(yè)工程技術(shù)人員的參考資料。