薄板理論微分方程

薄板理論是一個(gè)近似理論。薄板撓度微分方程是以下面三個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)的：①原垂直于板中面的線段仍垂直于變形后的中面；垂直于中面的正應(yīng)力（見(jiàn)應(yīng)力）遠(yuǎn)小于平行于中面的應(yīng)力分量，故可以忽略；③在垂直于板中面的載荷作用下發(fā)生彎曲時(shí)，板中面不受拉伸。其中①和③稱(chēng)為基爾霍夫假設(shè)。根據(jù)這些假設(shè)導(dǎo)出的微分方程適用于小撓度情況，即撓度和板厚度相比為一小量。

在垂直于板中面的分布載荷作用下（圖1），薄板撓度的微分方程為：

式中p（x，y）為垂直于板面的分布載荷；w為載荷作用下板中面各點(diǎn)沿z方向的位移（即撓度）；

為板的彎曲剛度，E為板材料的彈性模量，v為泊松比（見(jiàn)材料的力學(xué)性能）；t為板厚。

如果在板的中面內(nèi)還有張力N_x、N_y和剪力N_xy（圖2），則微分方程為：

如果薄板被彈性地基支承，根據(jù)溫克勒假設(shè)，即地基的反作用力和沉陷深度成正比，則有：

式中k為地基的彈性模量。

對(duì)于正交各向異性板，彎曲面的微分方程為：

式中的D_x、H、D_y均為正交各向異性板的有關(guān)常數(shù)。

上述方程通過(guò)坐標(biāo)變換還可寫(xiě)成其他形式，以便求解其他形狀的板。例如通過(guò)極坐標(biāo)變換，可得到求解各向同性圓板彎曲面的微分方程如下：

根據(jù)有關(guān)變形假設(shè),建立板彎曲后中面的撓度微分方程,并利用邊界條件求解,得出板中面的彎曲面，進(jìn)而算出板的內(nèi)力分量，如彎矩、扭矩、剪力，等等。

對(duì)不同的邊界情況，邊界條件有所不同：

①固定邊沿邊緣各點(diǎn)的撓度和斜度均為零。在直角坐標(biāo)系中，若x=a為固定邊，則

②簡(jiǎn)支邊（注：此處空格）沿簡(jiǎn)支邊各點(diǎn)的撓度和彎矩M均為零。若x=a為簡(jiǎn)支邊，則

③自由邊（注：此處空格）沿自由邊各點(diǎn)的彎矩和剪力V為零。若x=a為自由邊，則

④自由角點(diǎn)（注：此處空格）若x=a，y=b是一個(gè)自由角點(diǎn)，則角點(diǎn)的反力R為零，即

有兩種途徑，一是求出既滿足微分方程又滿足邊界條件的精確解（如萊維法，納維法）；二是當(dāng)?shù)貌坏骄_解時(shí)，采用各種近似方法求解，例如有限元法、有限差分方法等數(shù)值方法和能量方法。出于工程實(shí)際的需要，人們對(duì)矩形板和圓板的研究較多。

小撓度薄板理論字面上是指板在荷載下?lián)隙葁與板厚h相比是一個(gè)微小量（w< 小撓度薄板理論理論劃分

彈性力學(xué)中，一般將板劃分為：

1. 薄膜

2. 厚板

3. 大撓度薄板

4. 小撓度薄板

小撓度薄板理論具體含義

1. 薄膜理論是指板極薄，板幾乎沒(méi)有抗彎曲能力。

2. 厚板理論是指板很厚，板上作用一荷載時(shí)，不能忽視板垂直于板的應(yīng)力、應(yīng)變，板彎曲后法線不再是直線。

3. 大撓度薄板理論是指板厚介于薄膜與厚板之間，可以忽略中間面上的橫向應(yīng)力、應(yīng)變，可假設(shè)成純彎曲，但撓度w與板厚h是同一量級(jí)，其計(jì)算方法十分復(fù)雜。

4. 小撓度薄板理論是指板厚介于薄膜與厚板之間，可以忽略中間面上的橫向應(yīng)力、應(yīng)變，可假設(shè)成純彎曲，而撓度w遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板厚h，則可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。

小撓度薄板理論應(yīng)用

道路工程設(shè)計(jì)時(shí)所采用的一種設(shè)計(jì)理論，其實(shí)質(zhì)是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一些假設(shè)，忽略某些影響因素，實(shí)際意義是為了簡(jiǎn)化理論計(jì)算進(jìn)而得到數(shù)值解答。

在路面設(shè)計(jì)的生產(chǎn)實(shí)踐中，試驗(yàn)證明，支承在土基上的7cm厚混凝土板（大于3m×3m），在施加荷載時(shí)，破裂時(shí)的最大撓度不會(huì)超過(guò)7mm，即板厚的十分之一，故水泥混泥土路面板和工廠地坪一般都能符合小撓度薄板的假設(shè)。

小撓度薄板理論指的是板在荷載下?lián)隙葁遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板厚h，且板處于厚板與薄膜之間屬于純彎曲變形范疇的理論假設(shè)。