點(diǎn)差法

求直線方程或求點(diǎn)的軌跡方程

例1 拋物線

解：設(shè)

由①、②兩式相減，整理得

同理

∵③、④分別表示經(jīng)過點(diǎn)

∴

例2 過橢圓

解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)為

兩式相減，得

∴等式兩邊同除

∴

即

求圓錐曲線方程用點(diǎn)差法，特別在橢圓和雙曲線居多.

點(diǎn)差法通用公式：

點(diǎn)差法概念

點(diǎn)差就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程。

利用點(diǎn)差法可以減少很多的計(jì)算，所以在解有關(guān)的問題時(shí)用這種方法比較好。

點(diǎn)差法具體步驟

①設(shè)直線和圓錐曲線交點(diǎn)為

②把

因式分解的結(jié)果必為

一般來說會(huì)包含有

③利用

④對(duì)于橢圓來說

點(diǎn)差法常見問題

弦的斜率與弦的中點(diǎn)問題；

①注意：點(diǎn)差法的不等價(jià)性；（考慮Δ>0）在求出直線方程以后，必須將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到一個(gè)關(guān)于x（或y）的一元二次方程，判斷該方程的Δ和0的關(guān)系。只有Δ>0，直線才是存在的。

②“點(diǎn)差法”常見題型有：求中點(diǎn)弦方程、求（過定點(diǎn)、平行弦）弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線、定值問題。

在解答平面解析幾何中的某些問題時(shí)，如果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程. 這類問題通常與直線斜率和弦的中點(diǎn)有關(guān)或借助曲線方程中變量的取值范圍求出其他變量的范圍。

與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題,我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題.

解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是:聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)