導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程和傅里葉定律

傅里葉定律是在實驗的基礎(chǔ)上建立起來的，它指出，導(dǎo)熱熱流密度的大小與溫度梯度的絕對值成正比，其方向與溫度梯度的方向相反

因為熱量傳遞方向與溫度梯度的方向相反，所以等式中有一負(fù)號，傅里葉定律的本質(zhì)是說，在有溫度差的物系內(nèi)部，熱流總是朝著溫度降低的方向。

當(dāng)給定導(dǎo)熱面上熱流密度相等時

傅里葉定律揭示了連續(xù)溫度場內(nèi)熱流密度與溫度梯度的關(guān)系。對于一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題可直接利用傅里葉定律積分求解，求出導(dǎo)熱熱流量。但由于傅里葉定律未能揭示各點溫度與其相鄰點溫度之間的關(guān)系，以及此刻溫度與下一時刻溫度的聯(lián)系，對于多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和一維及多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題都不能直接利用傅里葉定律積分求解。導(dǎo)熱微分方程揭示了連續(xù)物體內(nèi)的溫度分布與空間坐標(biāo)和時間的內(nèi)在聯(lián)系，使上述導(dǎo)熱問題求解成為可能。

根據(jù)傅里葉定律和能量守恒方程，可以推得直角坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程

式中，a為熱擴(kuò)散率，又稱導(dǎo)溫系數(shù)，

導(dǎo)熱微分方程是對導(dǎo)熱物體內(nèi)部溫度場內(nèi)在規(guī)律的描述，適用于所有導(dǎo)熱過程，要獲得特定情況下導(dǎo)熱問題的解，必須附加該情況下的限制條件，這些條件稱為定解條件。定解條件包括時間條件和邊界條件。所以，導(dǎo)熱問題完整的數(shù)學(xué)描述包括導(dǎo)熱微分方程和相應(yīng)的定解條件。時間條件給定某一時刻導(dǎo)熱物體內(nèi)的溫度分布，稱為初始條件。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時，導(dǎo)熱物體內(nèi)的溫度分布不隨時間變化，初始條件沒有意義，所以非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱才有初始條件。邊界條件是指導(dǎo)熱物體邊界處的溫度或表面?zhèn)鳠崆闆r。邊界條件通常分為三類：

（1）第一類邊界條件：給定物體邊界上任何時刻的溫度分布。

（2）第二類邊界條件：給定物體邊界上的熱流密度分布。

（3）第三類邊界條件：給定物體邊界與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及流體的溫度

以上三類邊界條件之間有一定的聯(lián)系。當(dāng)物體邊界溫度等于流體溫度，第三類邊界條件變成第一類邊界條件。邊界面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為零，第三類邊界條件變成特殊的第二類邊界條件——物體邊界面絕熱。

導(dǎo)熱系數(shù)是物質(zhì)的一個物性參數(shù)，表示物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小。由式（1-1）得

即導(dǎo)熱系數(shù)的數(shù)值等于溫度梯度為1K/m時，單位時間內(nèi)通過單位面積的導(dǎo)熱量。不同物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)彼此不同，即使是同一物質(zhì)，導(dǎo)熱系數(shù)的值也隨壓力、溫度以及該物質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)、溫度等因素而變化。物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)通常由實驗確定。

各種物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)的范圍為：氣體0.006~0.6W/

金屬材料的導(dǎo)熱系數(shù)比非金屬材料高，純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)又比合金高，各種純金屬中以銀的導(dǎo)熱系數(shù)為最高。通常，氣體的導(dǎo)熱系數(shù)為最小，而且在較大的壓力范圍內(nèi)，氣體的導(dǎo)熱系數(shù)只是溫度的函數(shù)，與壓力無關(guān)。除液態(tài)金屬，液體材料中的水的導(dǎo)熱系數(shù)是最大的。

各種材料的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化的規(guī)律不盡相同。純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)一般只隨溫度升高而下降。氣體的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的升高而增大。除水和甘油外，一般液體的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度的升高而減小。保溫與建筑材料的導(dǎo)熱系數(shù)大多數(shù)隨溫度升高而增大，還與材料的結(jié)構(gòu)、孔隙度、密度和濕度有關(guān)。

在一定溫度范圍內(nèi)，大多數(shù)工程材料的導(dǎo)熱系數(shù)可以近似認(rèn)為是溫度的線性函數(shù)，即

式中，

熱傳導(dǎo)方程式中有對時間的一階偏導(dǎo)，因此，在求非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時要有初始條件，常用的初始條件為：

式中，

V——體域。

傳熱問題中常見的幾種邊界條件如下：

（1）給出溫度值的邊界

（2）給出熱通量Q的邊界

式中，

（3）給出熱損失的邊界

式中，h——放熱系數(shù)；

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應(yīng)的齊次方程的通解，然后用待定系數(shù)法或常數(shù)變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解 。

線性常微分方程待定系數(shù)法

考慮以下的微分方程：

對應(yīng)的齊次方程是：

它的通解是：

由于非齊次的部分是

把這個函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)代入微分方程中，我們可以解出A：

因此，原微分方程的解是 ：

線性常微分方程常數(shù)變易法

假設(shè)有以下的微分方程：

我們首先求出對應(yīng)的齊次方程的通解

兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得：

我們把函數(shù)u₁、u₂加上一條限制：

于是，代入上式，可得：

兩邊再求導(dǎo)數(shù)，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y₁和y₂都是齊次方程的通解，因此

將(2)和(5)聯(lián)立起來，組成了一個

這個方法也可以用來解高于二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

其中，W表示朗斯基行列式。

由于在貼壁面處流體受到粘性的作用，沒有相對于壁面的流動，稱為壁面無滑移條件。因此，由壁面無滑移條件可知，在極薄的貼壁流體流層中，熱量只能以導(dǎo)熱的方式進(jìn)行傳遞。將傅里葉定律用于貼壁面流體層可得

將牛頓冷卻公式q=h△t與上式聯(lián)立求解可得以下的換熱微分方程：

上式表面，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h的求解依賴于流體溫度場的求解。

作品目錄

序言

前言

第一篇 常微分方程

第一章 微分方程基本概念

1-1 微分方程的一些實例

1-2 微分方程的一般概念

1-3 微分方程解的幾何意義和物理意義

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