分布參數(shù)電路弦穩(wěn)態(tài)解

將均勻長線分成許多長度元dχ，其中之一見圖1a。對(duì)該長度元忽略參數(shù)的分布性，可得出其集總參數(shù)電路模型(圖1b)。將每個(gè)長度元都這樣處理后，得出的由許多集總參數(shù)電路作為環(huán)節(jié)級(jí)聯(lián)而成的鏈形電路就是整個(gè)均勻長線的電路模型。若設(shè)圖1a所示長度元的A點(diǎn)和B點(diǎn)距長線的始端的距離分別為χ和χ+dχ;在某一瞬間A點(diǎn)的電壓為V，電流為I;在B點(diǎn)的電壓為V+dV,電流為I+dI， 則對(duì)此長度元的集總參數(shù)電路模型(圖1b)可用KVL和KCL導(dǎo)出偏微分方程組 通常稱為亥維賽電報(bào)方程。在正弦穩(wěn)態(tài)下，使用電壓和電流的相量可將上述方程組化為

式中Z0稱為線阻抗，Y0稱為線導(dǎo)納。 聯(lián)立式(5)和式(6)求解，可得電壓和電流的正弦穩(wěn)態(tài)解

式中A1和A2是需要根據(jù)邊界條件定出的兩個(gè)常數(shù)，通常都是復(fù)數(shù),可分別記為A1=a1e拸$和A2=a2e拹$

行波、入射波和反射波 長線的一個(gè)明顯的特征是其電壓和電流正弦穩(wěn)態(tài)解中的兩個(gè)分量的波形皆隨時(shí)間的變化而沿線移動(dòng)。這種沿線向一個(gè)方向移動(dòng)的波稱為行波。將式(7)和式(8)改寫成瞬時(shí)值形式

便容易證實(shí)這一點(diǎn)。電壓表達(dá)式右端第一項(xiàng)代表的電壓分量VI(χ ,t) 是以速度(稱為相速或波速)

沿線向χ 增加方向傳播的行波，而且隨著波的前進(jìn)，振幅按因子 e-βχ決定的指數(shù)律衰減。這個(gè)從始端向終端傳播的行波稱為電壓入射波。圖2a表示出 t=t0和t=t0+Δt時(shí)的VI(χ ,t)曲線。同樣，電流分量IφI(χ ,t)也是一個(gè)行波，稱為電流入射波。電壓(電流)的另一個(gè)分量VR(χ,t)·【IR(χ,t)】也是 一個(gè)行波，波速也是vp。但由于相位中與χ 有關(guān)的項(xiàng)是αχ,而不是-αχ,所以這個(gè)波的傳播方向與VφI(χ ,t)【IφI(χ ,t)】的傳播方向相反。另外,由于因子eβχ隨χ的減少而減少，其振幅也隨著波的前進(jìn)而逐漸衰減。這個(gè)從終端向始端傳播的行波稱為電壓(電流)反射波。圖2b表示的是電壓反射波VR(χ ,t)的波過程。 式(9)和式(10)的 β和α分別稱為衰減系數(shù)和相位系數(shù)。前者決定波振幅衰減的快慢，后者決定波相位變化的快慢。

在電路理論中，對(duì)分布參數(shù)電路進(jìn)行分析時(shí)，首先是建立模型。建立模型采用的是無限逼近法。這種方法是將分析對(duì)象(例如均勻傳輸線)設(shè)想為許多個(gè)無窮小長度元dx。由于長度元dx是無窮小量，在這些長度元的范圍內(nèi)參數(shù)可以集中。于是，每個(gè)長度元可以抽象成一個(gè)集總參數(shù)電路。而這些集總參數(shù)電路級(jí)聯(lián)而成的鏈形電路就成為整個(gè)均勻傳輸線的電路模型。顯然，只有無窮小長度元dx的個(gè)數(shù)為無限多時(shí)，鏈形電路才能準(zhǔn)確地代表均勻傳輸線。接著是根據(jù)模型寫方程。方程是參照長度元dx抽象成的集總參數(shù)電路，利用KCL和KVL(見基爾霍夫定律)寫出的。它是一個(gè)偏微分方程組。最后是解方程求解答，再根據(jù)解答討論電路(即傳輸線)的性能。 如果建模完成后，再用合適的實(shí)際電阻器、電感器和電容器來實(shí)現(xiàn)，便可得到一個(gè)線性尺寸很小的稱為人工線的實(shí)際鏈形電路。這就提供了對(duì)傳輸線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的條件。人們可以在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)利用很短的人工線實(shí)現(xiàn)對(duì)長達(dá)幾百公里，甚而上千公里的輸電線上的各種工作狀態(tài)的觀察和各種數(shù)據(jù)的測(cè)量。 分布參數(shù)電路作為一個(gè)電磁系統(tǒng)當(dāng)然還可采用電磁場理論進(jìn)行分析。這樣做雖然嚴(yán)格與精確，但并不方便，因?yàn)榍蠼怆姶艌龇匠探M要比求解電路方程組困難得多。因此，通常是采用電路理論來分析分布參數(shù)電路。 傳輸線 傳送能量或信號(hào)的各種傳輸線的總稱。其中包括電力傳輸線、電信傳輸線、天線等。傳輸線又稱長線。由于它具有在空間某個(gè)方向上其長度已可與其內(nèi)部電壓、電流的波長相比擬，而必須考慮參數(shù)分布性的特征，所以是典型的分布參數(shù)電路。在電路理論中討論傳輸線時(shí)以均勻傳輸線作為對(duì)象。均勻傳輸線是指參數(shù)沿線均勻分布的二線傳輸線,其基本參數(shù),或稱原參數(shù)是R0、L0、C0和G0。其中R0 代表單位長度線(包括來線與回線)的電阻;L0代表單位長度來線與回線形成的電感;C0和G0分別代表單位長度來線與回線間的電容和漏電導(dǎo)。這些參數(shù)是由導(dǎo)線所用的材料、截面的幾何形狀與尺寸、導(dǎo)線間的距離，以及導(dǎo)線周圍介質(zhì)決定的。在高頻和低頻高電壓下它們都有近似的計(jì)算公式。

對(duì)分布參數(shù)電路的研究始于19世紀(jì)中葉。1856年物理學(xué)家開爾文針對(duì)當(dāng)時(shí)利用海底電纜傳送電報(bào)出現(xiàn)的信號(hào)延遲、畸變和變?nèi)醯默F(xiàn)象，首先提出了海底電纜的理論，成為研究分布參數(shù)電路的先驅(qū)。1893年，英國工程師O.亥維賽利用J.C.麥克斯韋的自由空間電磁波理論,對(duì)二線傳輸線(包括同軸傳輸線)導(dǎo)引的電磁波,首次提出了簡明而又普遍化的解釋，從而全面地建立了傳輸線(長線)的經(jīng)典理論。

分布參數(shù)電路是必須考慮電路元件參數(shù)分布性的電路。參數(shù)的分布性指電路中同一瞬間相鄰兩點(diǎn)的電位和電流都不相同。這說明分布參數(shù)電路中的電壓和電流除了是時(shí)間的函數(shù)外，還是空間坐標(biāo)的函數(shù)。

用長線終端處的電壓妭2和電流夒2作為邊界條件定出常數(shù)A1和A2后,可得出用妭2和夒2表示的線上任一點(diǎn)處電壓和電流，即 式中χ┡是從終端算起的距離。 在長線終端處電壓和電流反射波相量分別與電壓和電流入射波相量之比稱為電壓反射系數(shù)和電流反射系數(shù)，式中ZL=妭2/夒2是負(fù)載阻抗。 當(dāng)終端所接負(fù)載阻抗ZL等于特性阻抗時(shí)，反射系數(shù)等于零,說明在這種情形下不存在反射波。均勻傳輸線不存在反射波的運(yùn)行狀態(tài)稱匹配狀態(tài),簡稱匹配。這時(shí)的負(fù)載稱為匹配負(fù)載。 因?yàn)闊o反射波將能量攜帶回始端(電源端)的現(xiàn)象發(fā)生,所以由始端送達(dá)終端(負(fù)載端)的能量將全部被負(fù)載吸收。在這種狀態(tài)下，負(fù)載吸收的功率為

式中ZC和θC分別是特性阻抗的模與幅角。這一功率稱為自然功率。入端阻抗

即從長線上任何一處向終端看去，入端阻抗均等于特性阻抗。因此，特性阻抗又稱重復(fù)阻抗。

式中夒娦前的負(fù)號(hào)表示終端電流的參考方向改選為由終端指向始端。將上述方程與二端口網(wǎng)絡(luò)的含T 參數(shù)的方程比較一下發(fā)現(xiàn)，當(dāng)只關(guān)心長線始端或終端的電壓或電流時(shí)，整個(gè)長線可視為一個(gè)無源二端口網(wǎng)絡(luò)，其 T參數(shù)為線上各點(diǎn)的電壓和電流均隨時(shí)間t 作正弦變化， 而二者之振幅也隨χ┡作正弦變化。

也 就是說,在前一類點(diǎn)上出現(xiàn)電壓的波腹，在后一類點(diǎn)上出現(xiàn)電壓的波節(jié)。從電流的波形圖上看到的恰好相反,在各點(diǎn)上出現(xiàn)電流的波節(jié)，在各點(diǎn)上出現(xiàn)電流的波腹。由于這些波腹、波節(jié)都駐立不動(dòng)，所以電壓、電流波亦駐立不動(dòng)而成為駐波。此時(shí)入端阻抗式中X1為電抗。由此式可知入端阻抗是一純電抗，并且隨線的長度l而異，在時(shí)為容抗;在時(shí)為感抗，余類推(圖4b)。在時(shí),入端阻抗為零,相當(dāng)于電壓諧振;而在時(shí),入端阻抗為無限大，相當(dāng)電流諧振(圖4c)。 無損耗傳輸線短路時(shí)的情況可作類似的討論，得到的結(jié)論與空載時(shí)的結(jié)論互為對(duì)偶。入端阻抗的上述性質(zhì)使得無損耗傳輸線在高頻電路中獲得多方面的應(yīng)用。例如開路線和短路線都可用作電抗元件，開路線可充當(dāng)電容器,而的短路線則能充當(dāng)電感器;又例如可利用長度等于的開路線或短路線作為具有高品質(zhì)因數(shù)的振蕩回路。另外，將長為無損耗線接在一般長線與純電阻負(fù)載之間會(huì)起一個(gè)阻抗變換器的作用，使負(fù)載與長線相匹配，等等。

⑴在原假設(shè)為真時(shí),決定放棄原假設(shè),

稱為第一類錯(cuò)誤,其出現(xiàn)的概率通常記作α;

⑵在原假設(shè)不真時(shí),決定接受原假設(shè),

稱為第二類錯(cuò)誤,其出現(xiàn)的概率通常記作β.

通常只限定犯第一類錯(cuò)誤的最大概率α,

不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率β.這樣的假設(shè)

檢驗(yàn)又稱為顯著性檢驗(yàn),

概率α稱為顯著性水平.

當(dāng)H0為μ=μ0,假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果是放棄H0時(shí),

如果α=0.05,則稱μ與μ0有顯著的差異或

差異顯著;如果水平α=0.01,則稱μ與μ0有

極顯著的差異或差異極顯著.

假設(shè)檢驗(yàn)的步驟如下:

⑴提出H0和H1;

⑵指定概率α;

⑶尋求統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,…,Xn)及其分布;

⑸當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值g(x1,x2,…,xn)滿足

不等式時(shí)放棄H0,否則接受H0.

⑷在H0為真時(shí)構(gòu)造小概率事件并推導(dǎo)

g()所滿足的不等式;

習(xí)慣上稱觀測(cè)值g(x1,x2,…,xn)所

滿足的不等式為假設(shè)檢驗(yàn)方案,稱這個(gè)不等式所確定的觀測(cè)值g的取值范圍為假設(shè)檢驗(yàn)的放棄域.

放棄域由兩個(gè)區(qū)間構(gòu)成的假設(shè)檢

驗(yàn)被形容為雙側(cè)檢驗(yàn),放棄域由一個(gè)

區(qū)間構(gòu)成的假設(shè)檢驗(yàn)被形容為單側(cè)檢

驗(yàn).

H0為相等,H1為不相等的假設(shè)檢驗(yàn)

為雙側(cè)檢驗(yàn),觀測(cè)值g()較大或較小時(shí)

放棄H0;

H0為相等,H1為大于的假設(shè)檢驗(yàn)為單

側(cè)檢驗(yàn),觀測(cè)值g()較大時(shí)放棄H0;

H0為相等,H1為小于的假設(shè)檢驗(yàn)為

單側(cè)檢驗(yàn),觀測(cè)值g()較小時(shí)放棄H0.

2.一個(gè)正態(tài)總體均值或方差的假設(shè)檢驗(yàn)

為,修正方差的觀測(cè)值為s*2,離均差

平方和的觀測(cè)值為ss,顯著性水平為α,

則有:

設(shè)總體X服從N(μ,σ2)分布,X的一個(gè)

樣本為X1,X2,…,Xn,均值為,修正

方差為S*2,離均差平方和為SS,樣本

的觀測(cè)值為x1,x2,…,xn,均值的觀測(cè)值

結(jié)論1)若σ2已知,對(duì)于給定的數(shù)值μ0,

作一個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),

H0為μ=μ0,而H1分別為

①μ≠μ0,②μ>μ0,③μμ0,③μ37.72

計(jì)算出u=1.818,

例《品種提純》一個(gè)混雜的小麥品種,

其株高的標(biāo)準(zhǔn)差為14cm,經(jīng)提純后隨機(jī)地

抽出10株,它們的株高(單位:cm)為90,

105,101,95,100,100,101,105,93,97,試

檢驗(yàn)提純后的群體是否比原來的群體較為

整齊,α=0.05.

解:提純后的群體應(yīng)該比原來的群體

較為整齊,故設(shè)

H0為σ2=196,H1為σ2μ2,③μ1μ2,③μ1