共軛矩陣

由對(duì)稱正定矩陣的特征向量所組成的一組方 向。設(shè)有n×n階對(duì)稱正定矩陣Q，其共軛方向?yàn)?{d，=1，2，…，m}，則有

(d)Qd=0，i≠j，i，j=1，2，…，m

也稱這m個(gè)向量對(duì)Q共軛。對(duì)于n元正定二次目 標(biāo)函數(shù)，依次沿n個(gè)共軛方向作一維搜索，則至多 在n步內(nèi)可獲得最優(yōu)點(diǎn)，利用這一性質(zhì)可以構(gòu)造一 類無約束非線性規(guī)劃算法——共軛方向法。

以一組共軛方向作為搜索方向來求解無約束非線性規(guī)劃問題的一類下降算法。是在研究尋求具有對(duì)稱正定矩陣Q的n元二次函數(shù)

f(x)=1/2xQ x bx c

最優(yōu)解的基礎(chǔ)上提出的一類梯度型算法，包含共軛梯度法和變尺度法。根據(jù)共軛方向的性質(zhì)，依次沿著對(duì)Q共軛的一組方向作一維搜索，則可保證在至 多n步內(nèi)獲得二次函數(shù)的極小點(diǎn)。共軛方向法在 處理非二次目標(biāo)函數(shù)時(shí)也相當(dāng)有效，具有超線性的收斂速度，在一定程度上克服了最速下降法的鋸齒形現(xiàn)象，同時(shí)又避免了牛頓法所涉及的海色(Hesse) 矩陣的計(jì)算和求逆問題。對(duì)于非二次函數(shù)，n步搜 索并不能獲得極小點(diǎn)，需采用重開始策略，即在每進(jìn) 行n次一維搜索之后，若還未獲得極小點(diǎn)，則以負(fù) 梯度方向作為初始方向重新構(gòu)造共軛方向，繼續(xù)搜索。

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，如果有兩個(gè)n維向量S1和S2滿足

則稱向量S1與S2對(duì)于矩陣A共軛。如果A為單位矩陣，則式(1)即成為S1S2，這樣兩個(gè)向量的點(diǎn)積（或稱內(nèi)積）為零，此二向量在幾何上是正交的，它是共軛的一種特例。

設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，若一組非零向量S1，S2，…Sn滿足

SiASj=0 （i≠j） （2）

則稱向量系Si（i=1,2，…n）為關(guān)于矩陣A共軛。

共軛向量的方向稱為共軛方向。

設(shè)A是n×n對(duì)稱正定矩陣，若有兩個(gè)n維向量P和Q，滿足

PAQ=0

則稱向量P和Q是關(guān)于A共軛的，或稱P、Q是A共軛方向。

對(duì)m個(gè)n維向量P，P，…，p，(m

則稱P，P，…，P是A共軛的。

如果A=I (單位矩陣)，則上式變?yōu)?

即向量P，P，…，P相互正交。由此可見正交是共 軛的特殊情形; 共軛是正交概念的推廣。