功函數(shù)

功函數(shù)概述

很多基于不同物理效應(yīng)的技術(shù)被發(fā)展出來來測量樣品的電學(xué)功函數(shù)。可以區(qū)分出兩類功函數(shù)測量的試驗方法：絕對測量和相對測量。

第一類方法利用樣品由光吸收(光發(fā)射)所引發(fā)的電子發(fā)射，通過高溫(熱發(fā)射)、或者電場(場發(fā)射)，以及使用電子隧穿效應(yīng)。

所有相對測量方法利用了樣品與參照電極的接觸勢差。實驗上，是使用二極管的陰極電流或者樣品與參照物的間由人工改變的兩者間電容導(dǎo)致的位移電流等方法(開爾文探測、開爾文探測力顯微鏡)來測量的。

功函數(shù)光發(fā)射

光電發(fā)射光譜學(xué)(PES)是基于外光電效應(yīng)的光譜學(xué)技術(shù)術(shù)語。對于紫外光電子光譜學(xué)(UPS)，固體樣品的表面被用紫外(UV)光激發(fā)然后發(fā)射電子的動能得到分析。因為紫外光是能量hν低于100eV的電磁輻射，它能夠只抓出價電子。因為固體中電子逃逸深度的限制紫外光電子光譜對表面非常敏感，因為信息深度的范圍為2 – 3個單層。同時測量原理限制了光電發(fā)射光譜學(xué)被用于UHV情形。得到的光譜通過提供態(tài)密度、占據(jù)態(tài)及功函數(shù)等信息反應(yīng)了樣品電子結(jié)構(gòu)。

功函數(shù)熱發(fā)射

推遲二極管方法是最簡單和最古老的的測量功函數(shù)的方法之一。它是源自發(fā)射器電子的熱發(fā)射。收集到樣品的電子電流密度J取決于樣品的功函數(shù)φ且可通過Richardson–Dushman方程J=ATe計算，其中A，Richardson常數(shù)，是具體的材料常數(shù)。電流密度隨溫度迅速增長而隨功函數(shù)指數(shù)下降。改變功函數(shù)可以簡單通過在樣品與電子發(fā)射器之間施加一個推遲勢V來決定；上述方程中φ被e(Φ V)取代。在恒定電流下測到的推遲勢差與功函數(shù)的改變相等，假設(shè)發(fā)射器的功函數(shù)與溫度不變。

也可以使用Richardson–Dushman方程通過樣品的溫度改變直接決定功函數(shù)。重寫方程得ln(J/T) =ln(A) ? φkT。描繪ln(J/T)和1 /T得到的曲線的斜率 ? φ /k允許決定樣品的功函數(shù)。

功函數(shù)簡述

功函數(shù)的大小通常大概是金屬自由原子電離能的二分之一。金屬的功函數(shù)表示為一個起始能量等于費米能級的電子，由金屬內(nèi)部逸出到真空中所需要的最小能量。功函數(shù)的大小標(biāo)志著電子在金屬中束縛的強弱，功函數(shù)越大，電子越不容易離開金屬。金屬的功函數(shù)約為幾個電子伏特。銫的功函最低，為2.14ev；鉑的最高，為5.65ev。功函數(shù)的值與表面狀況有關(guān)，隨著原子序數(shù)的遞增，功函數(shù)也呈現(xiàn)周期性變化。在半導(dǎo)體中，導(dǎo)帶底和價帶頂一般都比金屬最小電子逸出能低。要使電子從半導(dǎo)體逸出，也必須給它以相應(yīng)的能量。與金屬不同，半導(dǎo)體的功函和摻雜濃度有關(guān)。

可以簡單的理解為物體擁有或者抓獲電子的能力。

功函數(shù)金屬相關(guān)

單位:電子伏特,eV

功函數(shù)效應(yīng)

金屬的功函數(shù)W與它的費米能級密切相關(guān)但兩者并不相等。這是因為真實世界中的固體具有表面效應(yīng)：真實世界的固體并不是電子和離子的無限延伸重復(fù)排滿整個布拉菲格子的每一個原胞。沒有任何一者能僅僅位于一系列布拉菲格點在固體占據(jù)且充滿了非扭曲電荷分布基至所有原胞的幾何區(qū)域V。的確，那些原胞中靠近表面的電荷分布將會與理想無限固體相比被顯著的扭曲，導(dǎo)致一個有效表面偶極子分布，或者，有些時候同時有表面偶極子分布和表面電荷分布。

能夠證明如果我們定義功函數(shù)為把電子從固體中立即移出到一點所需的最小能量，但是表面電荷分布的效應(yīng)能夠忽略，僅僅留下表面偶極子分布。如果定義帶來表面兩端勢能差的有效表面偶極子為。且定義從不考慮表面扭曲效應(yīng)的有限固體計算出的為費米能，當(dāng)按慣例位于的勢為零。那么，正確的功函數(shù)公式為：

其中是負(fù)的，表明電子在固體中富集。

光電功函數(shù)

功函數(shù)是從某種金屬釋放電子所必須給予的最小能量。在光電效應(yīng)中如果一個擁有能量比功函數(shù)大的光子被照射到金屬上，則光電發(fā)射將會發(fā)生。任何超出的能量將以動能形式給予電子。

光電功函數(shù)為

φ =hf0， 其中h是普朗克常數(shù)而f0是能產(chǎn)生光電發(fā)射光子的最小(閾值)頻率。當(dāng)電子獲得能量時，它從一個能級以「量子躍遷」的方式跳到另一個能級。這一過程稱為電子的激發(fā)，其中較高能級稱為「激發(fā)態(tài)」而較低能級稱作「基態(tài)」。

功函數(shù)熱功函

功函數(shù)在熱發(fā)射理論中也同等重要。這里電子從熱而非光子中獲得能量。在這種情況下，即電子從加熱的充滿負(fù)電的真空管燈絲逃逸的情況下，功函數(shù)可被稱作熱功函。鎢是真空管中常見的金屬元素，它的功函數(shù)大約是4.5eV。

熱發(fā)射要求有燈絲加熱電流(if)，來保持2000-2700K的溫度。一旦達(dá)到燈絲電流的飽和態(tài)，則燈絲電流的小改變不再影響電子束電流。電子槍被提供一個非?？拷朔瘮?shù)(W)所需勢的燈絲電流(Goldstein, 2003)。熱功函取決于晶體取向而且趨向于對開放晶格的金屬更小，對于原子緊密堆積的金屬更大。范圍大概是1.5–6 eV。某種程度上稠密晶面比開放晶格金屬更高。

功函數(shù)應(yīng)用

在電子學(xué)里功函數(shù)對設(shè)計肖特基二極管或發(fā)光二極管中金屬-半導(dǎo)體結(jié)以及真空管非常重要.

最有名的應(yīng)力函數(shù)是彈性力學(xué)平面問題中的艾里應(yīng)力函數(shù)。如果沒有體力，平面中的三個應(yīng)力分量σxx、σyy、τxy滿足下列方程：

根據(jù)方程(1),可將應(yīng)力分量用一個函數(shù)φ（x，y）表示為：

φ便是艾里應(yīng)力函數(shù)。對于均勻和各向同性的物體,φ是一個雙調(diào)和函數(shù)，即它滿足下列雙調(diào)和方程：

ΔΔφ=0，　 (3)

式中Δ是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面問題原來的8個未知函數(shù)(兩個位移分量、三個應(yīng)變分量和三個應(yīng)力分量σxx、σyy、τxy就歸結(jié)為一個函數(shù)φ。這對求解具體問題很有好處。

在彈性柱體的扭轉(zhuǎn)問題中,剪應(yīng)力分量τxz、τyz滿足下列平衡方程：

據(jù)此可將τxz、τyz用一個函數(shù)Ψ(x，y)表示為：

Ψ稱為普朗特應(yīng)力函數(shù)。對于均勻和各向同性的柱體,Ψ滿足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　(6)

式中G為材料的剪切模量（見材料的力學(xué)性能）;θ為單位長度的扭轉(zhuǎn)角。

在求解彈性力學(xué)的空間問題時，也可以用六個應(yīng)力函數(shù)代替原來的六個應(yīng)力分量，但好處不多。所以，一般多采用各種位移函數(shù)。對于均勻和各向同性彈性體，位移分量u1、u2、u3滿足下列平衡方程：

式中Δ是空間中的拉普拉斯算符；ν為材料的泊松比；G為剪切模量；fi為體力分量。方程(7)的解可以表達(dá)成多種形式。一種形式為：

式中ψ1、ψ2、ψ3、

函數(shù)ψ1、ψ2、ψ3、

方程(7)還有另一種形式的解，即

式中Fi滿足下列方程：

函數(shù)F1、F2、F3稱為布森涅斯克-索米利亞納－伽遼金位移函數(shù)。對于回轉(zhuǎn)體的軸對稱問題，公式(10)可作許多簡化。取對稱軸為z軸(x3軸),記r為所考慮點到z軸的距離,并記位移在r、z軸上的投影分別為u、w。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F(xiàn)3=F(r，z)。這樣由公式(10)可得到：

式中,即柱坐標(biāo)中的拉普拉斯算符；F滿足下列方程：

公式(12)中的函數(shù)F稱為樂甫位移函數(shù)。 在求解軸對稱問題時，經(jīng)常利用公式(12)。

在f1=f2=0的情況下,即使不是軸對稱問題,方程(7)的解也可用一組位移函數(shù)F、f表示如下：

式中F、f滿足下列方程：

這組位移函數(shù)特別適用于求解無限體、半無限體和厚板等問題。