結(jié)構(gòu)塑性極限分析應(yīng)用

用極限分析進(jìn)行研究的結(jié)構(gòu)主要有梁、剛架、板、殼等幾種類型，它們在極限狀態(tài)時有各自的特點。

梁和剛架是極限分析定理應(yīng)用得最有成效的結(jié)構(gòu)。計算梁和剛架的極限載荷須用到塑性鉸的概念。當(dāng)梁的某截面上的彎矩達(dá)到塑性極限值Μ_p時,塑性變形只能在Μ=Μ_p點處發(fā)生,該處曲率變化率可以任意增大，這時曲率的變化率不連續(xù)，就好象鉸一樣，這樣的鉸稱為塑性鉸。塑性鉸和普通鉸的區(qū)別在于：普通鉸不能傳遞彎矩,而塑性鉸能傳遞塑性極限彎矩；普通鉸是雙向鉸,而塑性鉸是單向鉸，即當(dāng)轉(zhuǎn)角方向和彎矩方向一致時，可以發(fā)生自由塑性變形。塑性鉸一般出現(xiàn)在集中力作用處、支承處或當(dāng)均布載荷作用時剪力為零處。塑性鉸的位置可用實驗方法確定。在結(jié)構(gòu)中形成足夠數(shù)目的塑性鉸后，結(jié)構(gòu)就變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。

在極限狀態(tài)下，板中會出現(xiàn)塑性鉸線，它是塑性鉸的連線，其性質(zhì)和塑性鉸一樣，也可以用實驗方法確定。圓板受軸對稱載荷作用時，在極限狀態(tài)下，所有徑向塑性鉸線將連成一片，從而形成塑性區(qū)。在殼體結(jié)構(gòu)中有一個或幾個區(qū)域處于塑性狀態(tài)后，殼體才會處于極限平衡狀態(tài)。

對于連續(xù)梁、桁架、剛架和受軸對稱載荷作用的圓板、環(huán)板、柱殼、球殼、錐殼已找到了不少極限分析的完全解。但對于靜不定次數(shù)比較高的靜不定結(jié)構(gòu)，計算相當(dāng)復(fù)雜。對于多邊形板、受非軸對稱載荷作用的圓板、柱殼、錐殼以及球殼徑向接管、圓柱殼徑向接管極限分析的完全解，還需要作進(jìn)一步的研究。

反過來，根據(jù)極限分析原理，可以按照載荷的要求尋求最輕結(jié)構(gòu)，這就是極限設(shè)計。

整體結(jié)構(gòu)的塑性極限分析計算，應(yīng)符合下列規(guī)定：

1 對可預(yù)測結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制的情況，結(jié)構(gòu)的極限承載能力可根據(jù)設(shè)定的結(jié)構(gòu)塑性屈服機(jī)制，采用塑性力學(xué)方法進(jìn)行分析；

2 對于難于預(yù)測結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制的情況，結(jié)構(gòu)的極限承載能力可采用靜力或動力彈塑性分析方法確定；

3 當(dāng)偶然作用具有動力特征時，直接承受偶然作用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件或部分，應(yīng)根據(jù)偶然作用的動力特征考慮其動力效應(yīng)影響。

靜力和機(jī)動條件

為了解決上述問題，除了要知道材料的有關(guān)參數(shù)外，還應(yīng)知道靜力和機(jī)動條件，即結(jié)構(gòu)的的外力和幾何約束邊界條件以及結(jié)構(gòu)的材料常數(shù)。這些條件包括：①屈服條件。即結(jié)構(gòu)出現(xiàn)屈服時其廣義力（極限條件中所包含的彎矩、薄膜力或軸向力）應(yīng)滿足的條件。②破損機(jī)構(gòu)條件，即在極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律，或結(jié)構(gòu)失去承載能力時的運(yùn)動形式。③平衡條件。④幾何條件。其中①、②兩個條件應(yīng)建立在理論分析和實驗研究的基礎(chǔ)上，是結(jié)構(gòu)極限分析的物理依據(jù)；③、④兩個條件是結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)都必須滿足的條件。如果所求得的解滿足以上全部條件而且滿足所給的邊界條件，則該解即為極限分析的完全解。

重要概念

由于不容易得到完全解，在極限分析理論中發(fā)展了兩個定理，即下限定理和上限定理：①下限定理：所有與靜力容許應(yīng)力場對應(yīng)的載荷中的最大載荷為極限載荷。②上限定理：所有與運(yùn)動容許位移場對應(yīng)的載荷中的最小載荷為極限載荷。如果一個載荷既是極限載荷的上限，又是極限載荷的下限，則這個載荷必滿足極限分析中的全部條件。用以上兩個定理求極限載荷的方法分別稱為靜力法和運(yùn)動法。

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，為了求出極限載荷，可以放松對極限條件的要求，即對極限條件進(jìn)行簡化，以便找出解的上限或下限。常用的有最大法向應(yīng)力條件、單矩或雙矩弱作用的屈服條件。

對于梁、桁架、剛架、軸對稱圓板和旋轉(zhuǎn)軸對稱薄殼，都已找到了大量完全解。對于較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，都可用靜力法或運(yùn)動法分別找出下限解或上限解。

下限定理

下限定理可表述為：與靜力容許場對應(yīng)的外載荷不大于真實的極限載荷。所謂靜力容許場是指滿足平衡方程和外力邊界條件并且不違背屈服條件的應(yīng)力場。下限定理提出了結(jié)構(gòu)不破壞的必要條件，用它可計算結(jié)構(gòu)承載能力的下限，這樣的下限有無窮多個。由于結(jié)構(gòu)不破壞時所能承受的最大載荷與結(jié)構(gòu)的真實極限載荷最接近，所以應(yīng)選取由下限定理求出的極限載荷下限中最大的一個作為極限載荷的近似值。按平衡條件、屈服條件用下限定理求極限載荷最大下限的方法稱為極限分析的靜力法。

上限定理

上限定理可表述為：與機(jī)動容許場對應(yīng)的外載荷不小于真實的極限載荷。所謂機(jī)動容許場是指滿足幾何約束條件并能形成破損機(jī)構(gòu)的位移速度場。外力在此速度場上作功的功率大于等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散功率。上限定理提出了結(jié)構(gòu)破壞的充分條件，用它可求得極限載荷的上限，這樣的上限也有無窮多個。在用上限定理求極限載荷時，由于假設(shè)結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，所以應(yīng)選取所求得的極限載荷上限中最小的一個作為極限載荷的近似值，它和真實的極限載荷最接近。只考慮機(jī)動方面的要求，而不考慮屈服條件和平衡條件的要求，按上限定理求極限載荷最小上限值的方法稱為極限分析的機(jī)動法。對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或復(fù)雜的載荷分布，常須用實驗方法得出一個破壞機(jī)構(gòu)的形態(tài)，據(jù)此求出極限載荷的一個較好的上限值。如果一個載荷既是極限載荷上限，又是極限載荷的下限，它便是完全解的極限載荷。

簡化屈服條件

除用靜力法和機(jī)動法以外，結(jié)構(gòu)極限載荷的上限和下限還可以通過簡化屈服

條件求得。此法的理論依據(jù)是：在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，都不會降低結(jié)構(gòu)的承載能力；而在結(jié)構(gòu)的任何部分降低材料的屈服極限,都不會提高結(jié)構(gòu)的承載能力。在廣義應(yīng)力空間中,屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是非線性的，聯(lián)合求解這種非線性的方程和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的平衡微分方程在數(shù)學(xué)上往往有困難，因此，用線性的屈服條件代替非線性的屈服條件并找出復(fù)雜結(jié)構(gòu)的近似解，是求解極限載荷上、下限的有效方法。例如，在圖中所示的廣義應(yīng)力Q₁、Q₂的二維平面中，曲線A代表實際的屈服條件，多邊形B和多邊形C分別代表線性化了的內(nèi)接和外切的近似屈服條件。按多邊形B計算得到的極限載荷是實際極限載荷的下限，而按多邊形C計算得到的極限載荷是實際極限載荷的上限。

靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載

對于靜定結(jié)構(gòu)，由幾何組成分析的知識，可知其自由度等于0，我們在進(jìn)行彈塑性分析時，若在結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)塑性鉸，則體系在加載的方向上，將相應(yīng)地會多出一個自由度，體系形成一個可動的機(jī)構(gòu)。因此，對于靜定結(jié)構(gòu)，體系在任一截面上出現(xiàn)塑性鉸，則破壞。此時的荷載即為該靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載。

內(nèi)容

當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷增大至某一極限值時，理想塑性材料結(jié)構(gòu)將變成幾何可變機(jī)構(gòu)（見結(jié)構(gòu)的幾何不變性），它的變形無限制地增大，從而使結(jié)構(gòu)失去承載能力。這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)，對應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱為塑性極限載荷。

目的

結(jié)構(gòu)塑性極限分析的目的是：

①求出極限載荷；

②確定極限狀態(tài)下滿足應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力分布規(guī)律；

③找出結(jié)構(gòu)破損時的機(jī)構(gòu)形式。

塑性極限分析是在假設(shè)材料具有理想剛塑性性質(zhì)的前提下進(jìn)行的，因而避開了彈塑性分析的復(fù)雜計算。由極限分析的解所得到的極限載荷，和由彈塑性分析所得到的極限載荷完全相等。

基本假設(shè)和概念

基本假設(shè)和概念在結(jié)構(gòu)極限分析中，一般采用如下幾個假設(shè)：①材料是理想剛塑性的（彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多且強(qiáng)化性質(zhì)不明顯的材料）。②結(jié)構(gòu)變形足夠小。③在達(dá)到極限狀態(tài)前，結(jié)構(gòu)不失去穩(wěn)定性。④滿足比例加載條件（各應(yīng)力分量按一定比例增長）。

在結(jié)構(gòu)極限分析中，常用到以下兩個概念：①靜力容許應(yīng)力場。即滿足平衡條件和力的邊界條件且不破壞極限條件的應(yīng)力場。②運(yùn)動容許位移場。即滿足幾何約束條件并使外力作正功的位移場。

早在1914年，G.V.卡金契便對梁結(jié)構(gòu)提出了下限定理的萌芽看法。1934年，蘇聯(lián)的A.A.格沃茲杰夫?qū)Υ_定桿系結(jié)構(gòu)承載能力的問題，給出了上、下限定理。1948年蘇聯(lián)的C.M.法因貝格用邏輯推理方法進(jìn)一步考證了上、下限定理。1961年美國的W.普拉格等對二維和三維問題作了論述。此后，美國的P.G.霍奇應(yīng)用簡化屈服條件的方法，找到許多板殼極限分析的完全解。 2100433B

結(jié)構(gòu)塑性極限分析，又稱結(jié)構(gòu)破損分析，是對結(jié)構(gòu)在塑性極限狀態(tài)下的特性的研究，塑性力學(xué)的研究內(nèi)容之一。

當(dāng)外載荷達(dá)到某一極限值時，結(jié)構(gòu)即變成幾何可變機(jī)構(gòu)，變形無限制增長，從而失去承載能力，這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)。在塑性極限分析中，由于不考慮彈性變形而使分析過程大為簡化，且所得的塑性極限載荷與考慮彈塑性過程所得到的結(jié)果完全相同。凡是在極限條件中起作用的內(nèi)力，稱為廣義應(yīng)力。當(dāng)某點的廣義應(yīng)力滿足極限條件時，表示結(jié)構(gòu)上該點已進(jìn)入屈服狀態(tài)；當(dāng)結(jié)構(gòu)上有若干截面達(dá)到屈服狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)即變成機(jī)構(gòu)，開始無限制地增加變形，結(jié)構(gòu)達(dá)到了極限狀態(tài)。

結(jié)構(gòu)塑性極限分析

①求出結(jié)構(gòu)的塑性極限載荷。②找出極限狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力分布規(guī)律。③求出結(jié)構(gòu)在極限狀態(tài)下，滿足塑性變形規(guī)律和結(jié)構(gòu)機(jī)動條件的破損機(jī)構(gòu)。

為了解決上述問題，除了要知道材料的有關(guān)參數(shù)外，還應(yīng)知道靜力和機(jī)動條件。這些條件包括：①極限條件。即結(jié)構(gòu)出現(xiàn)屈服時其廣義力(極限條件中所包含的彎矩、薄膜力或軸向力)應(yīng)滿足的條件。②破損機(jī)構(gòu)條件，即在極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律，或結(jié)構(gòu)失去承載能力時的運(yùn)動形式。③平衡條件。④幾何條件。其中①、②兩個條件應(yīng)建立在理論分析和實驗研究的基礎(chǔ)上，是結(jié)構(gòu)極限分析的物理依據(jù)；③、④兩個條件是結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)都必須滿足的條件。如果所求得的解滿足以上全部條件而且滿足所給的邊界條件，則該解即為極限分析的完全解。

塑性力學(xué)的研究內(nèi)容之一，研究結(jié)構(gòu)在塑性極限狀態(tài)下的特性，亦稱結(jié)構(gòu)破損分析。當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷增大至某一極限值時，理想塑性材料結(jié)構(gòu)將變成幾何可變機(jī)構(gòu)（見結(jié)構(gòu)的幾何不變性），它的變形無限制地增大，從而使結(jié)構(gòu)失去承載能力。這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)，對應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱為塑性極限載荷。結(jié)構(gòu)塑性極限分析的目的是：①求出極限載荷；②確定極限狀態(tài)下滿足應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力分布規(guī)律；③找出結(jié)構(gòu)破損時的機(jī)構(gòu)形式。塑性極限分析是在假設(shè)材料具有理想剛塑性性質(zhì)的前提下進(jìn)行的，因而避開了彈塑性分析的復(fù)雜計算。由極限分析的解所得到的極限載荷，和由彈塑性分析所得到的極限載荷完全相等。

研究方法 　從事結(jié)構(gòu)塑性極限分析，須先知道結(jié)構(gòu)的外力和幾何約束邊界條件以及結(jié)構(gòu)的材料常數(shù)。此外，還要利用如下的條件：①屈服條件，即在極限狀態(tài)下各應(yīng)力分量組合應(yīng)滿足的條件;②破損機(jī)構(gòu)條件,即在極限載荷作用下結(jié)構(gòu)變成幾何可變機(jī)構(gòu)的條件；③平衡條件；④幾何條件，即應(yīng)變和位移的關(guān)系所給出的條件。在這些條件中，①和②是建立在實驗基礎(chǔ)上的，而③和④則是結(jié)構(gòu)所必須滿足的條件。凡是滿足以上全部條件的解稱為完全解。由于完全解不容易得到，在極限分析理論中發(fā)展了兩個定理，即下限定理和上限定理。

下限定理可表述為：與靜力容許場對應(yīng)的外載荷不大于真實的極限載荷。所謂靜力容許場是指滿足平衡方程和外力邊界條件并且不違背屈服條件的應(yīng)力場。下限定理提出了結(jié)構(gòu)不破壞的必要條件，用它可計算結(jié)構(gòu)承載能力的下限，這樣的下限有無窮多個。由于結(jié)構(gòu)不破壞時所能承受的最大載荷與結(jié)構(gòu)的真實極限載荷最接近，所以應(yīng)選取由下限定理求出的極限載荷下限中最大的一個作為極限載荷的近似值。按平衡條件、屈服條件用下限定理求極限載荷最大下限的方法稱為極限分析的靜力法。

上限定理可表述為：與機(jī)動容許場對應(yīng)的外載荷不小于真實的極限載荷。所謂機(jī)動容許場是指滿足幾何約束條件并能形成破損機(jī)構(gòu)的位移速度場。外力在此速度場上作功的功率大于等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散功率。上限定理提出了結(jié)構(gòu)破壞的充分條件，用它可求得極限載荷的上限，這樣的上限也有無窮多個。在用上限定理求極限載荷時，由于假設(shè)結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，所以應(yīng)選取所求得的極限載荷上限中最小的一個作為極限載荷的近似值，它和真實的極限載荷最接近。只考慮機(jī)動方面的要求，而不考慮屈服條件和平衡條件的要求，按上限定理求極限載荷最小上限值的方法稱為極限分析的機(jī)動法。對于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或復(fù)雜的載荷分布，常須用實驗方法得出一個破壞機(jī)構(gòu)的形態(tài)，據(jù)此求出極限載荷的一個較好的上限值。如果一個載荷既是極限載荷上限，又是極限載荷的下限，它便是完全解的極限載荷。

除用靜力法和機(jī)動法以外，結(jié)構(gòu)極限載荷的上限和下限還可以通過簡化屈服條件求得。此法的理論依據(jù)是：在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，都不會降低結(jié)構(gòu)的承載能力；而在結(jié)構(gòu)的任何部分降低材料的屈服極限,都不會提高結(jié)構(gòu)的承載能力。在廣義應(yīng)力空間中,屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是非線性的，聯(lián)合求解這種非線性的方程和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的平衡微分方程在數(shù)學(xué)上往往有困難，因此，用線性的屈服條件代替非線性的屈服條件并找出復(fù)雜結(jié)構(gòu)的近似解，是求解極限載荷上、下限的有效方法。例如，在圖中所示的廣義應(yīng)力Q1、Q2的二維平面中，曲線A代表實際的屈服條件，多邊形B和多邊形C 分別代表線性化了的內(nèi)接和外切的近似屈服條件。按多邊形B計算得到的極限載荷是實際極限載荷的下限,而按多邊形C計算得到的極限載荷是實際極限載荷的上限。

梁和剛架是極限分析定理應(yīng)用得最有成效的結(jié)構(gòu)。計算梁和剛架的極限載荷須用到塑性鉸的概念。當(dāng)梁的某截面上的彎矩達(dá)到塑性極限值Μp時,塑性變形只能在Μ=Μp點處發(fā)生,該處曲率變化率可以任意增大，這時曲率的變化率不連續(xù)，就好象鉸一樣，這樣的鉸稱為塑性鉸。塑性鉸和普通鉸的區(qū)別在于：普通鉸不能傳遞彎矩,而塑性鉸能傳遞塑性極限彎矩；普通鉸是雙向鉸,而塑性鉸是單向鉸，即當(dāng)轉(zhuǎn)角方向和彎矩方向一致時，可以發(fā)生自由塑性變形。塑性鉸一般出現(xiàn)在集中力作用處、支承處或當(dāng)均布載荷作用時剪力為零處。塑性鉸的位置可用實驗方法確定。在結(jié)構(gòu)中形成足夠數(shù)目的塑性鉸后，結(jié)構(gòu)就變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。

在極限狀態(tài)下，板中會出現(xiàn)塑性鉸線，它是塑性鉸的連線，其性質(zhì)和塑性鉸一樣，也可以用實驗方法確定。圓板受軸對稱載荷作用時，在極限狀態(tài)下，所有徑向塑性鉸線將連成一片，從而形成塑性區(qū)。在殼體結(jié)構(gòu)中有一個或幾個區(qū)域處于塑性狀態(tài)后，殼體才會處于極限平衡狀態(tài)。

對于連續(xù)梁、桁架、剛架和受軸對稱載荷作用的圓板、環(huán)板、柱殼、球殼、錐殼已找到了不少極限分析的完全解。但對于靜不定次數(shù)比較高的靜不定結(jié)構(gòu)，計算相當(dāng)復(fù)雜。對于多邊形板、受非軸對稱載荷作用的圓板、柱殼、錐殼以及球殼徑向接管、圓柱殼徑向接管極限分析的完全解，還需要作進(jìn)一步的研究。

反過來，根據(jù)極限分析原理，可以按照載荷的要求尋求最輕結(jié)構(gòu)，這就是極限設(shè)計。

研究簡史 　早在1914年，G.V.卡金契便對梁結(jié)構(gòu)提出了下限定理的萌芽看法。1934年，蘇聯(lián)的A.A.格沃茲杰夫?qū)Υ_定桿系結(jié)構(gòu)承載能力的問題，給出了上、下限定理。1948年蘇聯(lián)的C.M.法因貝格用邏輯推理方法進(jìn)一步考證了上、下限定理。1961年美國的W.普拉格等對二維和三維問題作了論述。此后，美國的P.G.霍奇應(yīng)用簡化屈服條件的方法，找到許多板殼極限分析的完全解。