角平分線定理

已知，如圖4，AM為△ABC的角平分線，求證:

角平分線定理面積法

由三角形面積公式，得

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

∴sin∠BAM=sin∠CAM

∴S△ABM:S△ACM=AB:AC

根據(jù)：等高底共線，面積比=底長比

可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，則AB:AC=MB:MC

角平分線定理相似法

過C作CN∥AB，交AM的延長線于N

∵CN∥AB

∴∠ABC=∠BCN

又 ∠AMB=∠CMN

∴△ABM∽△NCM

∴AB:NC=BM:CM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAN=∠CAN

又 ∠BAN=∠ANC

∴∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB:AC=MB:MC

（過M作MN∥AB交AC于N也可證明）

角平分線定理正弦定理法

作△ABC的外接圓，AM交圓于D

由正弦定理，得

AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,

AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

又∠AMB ∠AMC=180°

∴sin∠BAM=sin∠CAM

sin∠AMB=sin∠AMC

∴AB:AC=MB:MC

三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)外角平分線內(nèi)、外分對邊與其延長線所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。 2100433B

從一個角的頂點引出的把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的角平分線。

三角形的一個角（內(nèi)角）的角平分線交其對邊的點所連成的線段，叫做這個三角形的一條角平分線。

角平分線定理定理1

角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

證明：如圖1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又 AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

逆定理：在角的內(nèi)部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

證明：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC

∵DB⊥AB，

∴∠DBA=90

同理∴∠DCA=90

在RT△DBA和RT△DCA中，

{DB=DC(已知）

AD=AD（公共邊）

∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對應(yīng)角相等）

角平分線定理定理2

三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例。

證明：如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線

過點D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF(定理1)

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

過點A作AG⊥BC，垂足為G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應(yīng)成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。

證明略。

角平分線定理角平分線長

由定理2和斯特瓦爾特定理可以推導(dǎo)出三角形內(nèi)的角平分線長公式。

如右圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC

可設(shè)AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，則BC=u v

由定理2我們知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯臺沃特定理，有w2=(x2v y2u)/(u v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v

即得AD2=xy-uv=AB×AC-BD×DC

角平分線長公式公式

三角形ABC的角平分線為AD，D在CB上。則

角平分線長公式推導(dǎo)過程

證明。如圖3，延長AC到E，使CE=CD，連接DE，則AE=AC CD，

即

又

則

于是

又

由角平分線定理得

即

代入①中得

證畢。

角平分線長公式公式

在△ABC中，∠A的角平分線記為

其中p是半周長。

角平分線長公式推導(dǎo)過程

證明。法一。如圖1，我們先證明

由角平分線定理可得

由余弦定理，

把

即

設(shè)

于是

其他角平分線長度同理可證。

證畢。

提要。法二。運用斯特瓦爾特定理，可得證明。