可對(duì)角化矩陣性質(zhì)定理

可對(duì)角化矩陣定理1

m級(jí)矩陣

或n維線性空間V的線性變換

可對(duì)角化的充要條件是

或

有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。當(dāng)

可對(duì)角化時(shí)，與它相似的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素就是

的全部特征值。

由上面的分析還知道，如果求出了矩陣

的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么用這些向量作列向量的矩陣T就使

成對(duì)角形，其主對(duì)角線上的元素就是

的全部特征值(按對(duì)應(yīng)的特征向量排序)。

可對(duì)角化矩陣定理2

屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。

證明: 設(shè)

是線性變換

的m個(gè)不同的特征值，

的屬于它們的特征向量分別是

，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

線性無關(guān)。

(1)當(dāng)

時(shí)，因?yàn)樘卣飨蛄?section class="formula-container formula-container__inline"> ，它一定線性無關(guān)。

(2)假定

時(shí)，

線性無關(guān)。

當(dāng)

時(shí)，令

①

用

對(duì)兩邊作用得

②

①式兩邊乘以

得

③

從②減去③得

由歸納假設(shè)得

因?yàn)?section class="formula-container formula-container__inline"> ，所以

，將它們代入①得

，于是

也線性無關(guān)。

用

取代

的位置上述推理過程一樣正確，故定理得證。

在特征值和特征向量方面，矩陣與線性變換的理論是平行的，下面只就矩陣進(jìn)行討論，所得的結(jié)果對(duì)線性變換也成立。

可對(duì)角化矩陣推論1

若

有n個(gè)不同的特征值，則

可對(duì)角化。

因?yàn)閺?fù)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根，所以我們還有下面的推論。

可對(duì)角化矩陣推論2

如果

的特征多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的根互不相等，那么

作為復(fù)數(shù)域上的矩陣一定可以對(duì)角化。

可對(duì)角化矩陣推論3

如果

是

的所有互不相同的特征值，各特征子空間

的基排列如下：

那么上述特征向量組線性無關(guān)，從而特征子空間的和是直和。

可對(duì)角化矩陣定理3

矩陣

可對(duì)角化的充要條件是

可以表為A的特征子空間的直和。

證明: 若

可對(duì)角化，根據(jù)定理1，它有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，將它們按所屬的特征值進(jìn)行分組得到特征向量組

其中子組

中各向量同屬特征值

，它們一定是A的特征子空間

的基(否則將不構(gòu)成所在特征子空間的基的各子組擴(kuò)充成所在特征子空間的基，由推論3知，A的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)大于n，這與

矛盾)，于是

反過來，設(shè)

，從各個(gè)特征子空間取出一組基就得到

的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故

可對(duì)角化。

可對(duì)角化矩陣定理4

矩陣

可對(duì)角化的充要條件是A的特征多項(xiàng)式在

上可以分解為

的形式，并且特征子空間

的維數(shù)

。

如果一個(gè)矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，我們就稱這個(gè)矩陣可經(jīng)相似變換對(duì)角化，簡(jiǎn)稱可對(duì)角化；與之對(duì)應(yīng)的線性變換就稱為可對(duì)角化的線性變換。

任取

，則

可作為

上n維線性空間V的某個(gè)線性變換

在一組基

下的矩陣。

若

可對(duì)角化，即

使

成對(duì)角形，則B是

在另一組基

下的矩陣，且

，記B的主對(duì)角線元素為

，這是

的全部特征值，也是

的全部特征值(因?yàn)閮删仃囅嗨?，由線性變換的矩陣的定義知

所以，

是

的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，它們?cè)诨蛄拷M

下的坐標(biāo)

，即T的列向量組，就是

的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

反過來，如果

有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

，與它們對(duì)應(yīng)的特征值是

，以

為列向量組作成一個(gè)可逆矩陣T，令

，就得到

的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

，用

作為V的基，則上述方程組成立，從而

在這組基下的矩陣是對(duì)角矩陣

，并且

。