螺線簡(jiǎn)介

螺線(Spiral)，也稱(chēng)定傾曲線，是一類(lèi)特殊曲線。它是切向量與一個(gè)固定的方向成定角的曲線。曲線為一般螺線的充分必要條件是它的撓率與曲率之比為常數(shù)，這類(lèi)特殊曲線在力學(xué)工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用 。螺線可分為螺旋線(非平面曲線)及平面螺線。

在空間，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M沿直線L作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又以等角速度繞同平面的軸線Oz旋轉(zhuǎn)，M的軌跡是一條空間(非平面)曲線，稱(chēng)為螺旋線。它分為左旋與右旋兩種。螺旋線是繞在圓柱面或圓錐面上的曲線，而它的切線與定直線(曲面的母線)的交角，是固定不變的 。

對(duì)于平面螺線，是指在平面極坐標(biāo)系中，如果極徑ρ隨極角θ的增加而成比例增加（或減少），這樣的動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡。典型的平面螺線有阿基米德螺線、對(duì)數(shù)螺線、雙曲螺線等。

螺線阿基米德螺線

阿基米德螺線是實(shí)踐中常用的一種曲線。動(dòng)點(diǎn)在一直線上做勻速運(yùn)動(dòng)，而這條直線又圍繞著自己上面的一個(gè)定點(diǎn)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為阿基米德螺線，也叫等速螺線或平面螺線。它的極坐標(biāo)方程為：

阿基米德在其《螺線》(On Spirals) 一書(shū)中引進(jìn)了在極坐標(biāo)ρ與θ之下的平面螺線ρ=aθ（如圖1所示），其繞線不在同一平面上。據(jù)說(shuō)，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的?？罗r(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，它發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚(yáng)水器，后人稱(chēng)它為“阿基米德螺旋”。除了杠桿系統(tǒng)外，值得一提的還有舉重滑輪、灌地機(jī)、揚(yáng)水機(jī)以及軍事上用的拋石機(jī)等。被稱(chēng)作“阿基米德螺旋”的揚(yáng)水機(jī)至今仍在埃及等地使用。一些噴淋冷卻塔所用的螺旋噴嘴噴出噴淋液的運(yùn)動(dòng)軌跡也為阿基米德螺線。

螺線對(duì)數(shù)螺線

對(duì)數(shù)螺線是一種特殊曲線。指在極坐標(biāo)系中，極半徑ρ的對(duì)數(shù)與極角θ的比為常數(shù)的點(diǎn)M(ρ，θ)的軌跡。它的極坐標(biāo)方程為

從植物嫩枝的頂端往下，葉子大致上是按對(duì)數(shù)螺線排列的，這樣能使采光面積達(dá)到最大；在古生物的研究中，也應(yīng)用了這種曲線。對(duì)數(shù)螺線上任一點(diǎn)的切線，與切點(diǎn)的矢徑相交成固定的角。這一性質(zhì)在機(jī)械上有廣泛的應(yīng)用。如果旋轉(zhuǎn)的切削刀沿此曲線的弧運(yùn)動(dòng)，就可保持固定的切削角，這種刀已在鋤草機(jī)中使用。為了制造的方便，對(duì)數(shù)螺線的短弧，可以用阿基米德螺線的短弧近似代替。

螺線雙曲螺線

雙曲螺線，也稱(chēng)反螺線，是一種特殊曲線，是阿基米德螺線關(guān)于極點(diǎn)的反演圖形。它是極徑和極角成反比例的動(dòng)點(diǎn)軌跡。雙曲螺線的方程是：

雙曲螺線

在空間，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M沿直線L作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又以等角速度繞同平面的軸線Oz旋轉(zhuǎn)，M的軌跡是一條空間(非平面)曲線，稱(chēng)為螺旋線。它分為左旋與右旋兩種。螺旋線是繞在圓柱面或圓錐面上的曲線，而它的切線與定直線(曲面的母線)的交角，是固定不變的。

當(dāng)動(dòng)直線L平行于軸線Oz時(shí)，稱(chēng)為圓柱螺線。它是工程上應(yīng)用最廣泛的一種空間曲線，它的參數(shù)方程是：

它在軸線Oz方向的投影是圓;在與軸線垂直方向的投影，是正弦曲線。

自然界和日常生活中處處出現(xiàn)螺旋線，例如蝙蝠出洞時(shí)的飛行軌跡；植物的莖與葉；人的耳蝸等等。螺旋線還是生物學(xué)與核物理的一種重要結(jié)構(gòu)，以光速運(yùn)動(dòng)的中微子和反中微子的軌跡，是某種具有相反(左與右)旋轉(zhuǎn)性的螺旋線，而通常的螺釘或螺母具有右旋性。自行車(chē)左、右腳蹬軸的螺紋分別具有左、右旋性 。

螺線，是一類(lèi)特殊曲線。它是切向量與一個(gè)固定的方向成定角的曲線。曲線為一般螺線的充分必要條件是它的撓率與曲率之比為常數(shù)，這類(lèi)特殊曲線在力學(xué)工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。螺線可分為螺旋線(非平面曲線)及平面螺線。

在空間，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M沿直線L作勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又以等角速度繞同平面的軸線Oz旋轉(zhuǎn)，M的軌跡是一條空間(非平面)曲線，稱(chēng)為螺旋線。它分為左旋與右旋兩種。螺旋線是繞在圓柱面或圓錐面上的曲線，而它的切線與定直線(曲面的母線)的交角，是固定不變的。

對(duì)于平面螺線，是指在平面極坐標(biāo)系中，如果極徑ρ隨極角θ的增加而成比例增加（或減少），這樣的動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡。典型的平面螺線有正弦螺線、阿基米德螺線、對(duì)數(shù)螺線、雙曲螺線等 。

正弦螺線定義

正弦螺線是一種特殊曲線，指極坐標(biāo)方程為

正弦螺線特例

正弦螺線

（1）當(dāng)n=-2時(shí)為等邊雙曲線；

（2）當(dāng)n=-1時(shí)為直線；

（3）當(dāng)n=-1/2時(shí)為拋物線；

（4）當(dāng)n=-1/3時(shí)為契爾恩豪森三次曲線；

（5）當(dāng)n=1/2時(shí)為心臟線；

（6）當(dāng)n=1時(shí)為圓；

（7）當(dāng)n=2時(shí)為伯努利雙紐線。

圖2上畫(huà)出n=3，4，3/5時(shí)的正弦螺線 。

正弦螺線阿基米德螺線

阿基米德螺線是實(shí)踐中常用的一種曲線。動(dòng)點(diǎn)在一直線上做勻速運(yùn)動(dòng)，而這條直線又圍繞著自己上面的一個(gè)定點(diǎn)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為阿基米德螺線，也叫等速螺線或平面螺線。它的極坐標(biāo)方程為：

阿基米德在其《螺線》(On Spirals) 一書(shū)中引進(jìn)了在極坐標(biāo)ρ與θ之下的平面螺線ρ=aθ（如圖3所示），其繞線不在同一平面上。據(jù)說(shuō)，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的。柯農(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，它發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚(yáng)水器，后人稱(chēng)它為“阿基米德螺旋”。除了杠桿系統(tǒng)外，值得一提的還有舉重滑輪、灌地機(jī)、揚(yáng)水機(jī)以及軍事上用的拋石機(jī)等。被稱(chēng)作“阿基米德螺旋”的揚(yáng)水機(jī)至今仍在埃及等地使用。一些噴淋冷卻塔所用的螺旋噴嘴噴出噴淋液的運(yùn)動(dòng)軌跡也為阿基米德螺線。

正弦螺線對(duì)數(shù)螺線

對(duì)數(shù)螺線是一種特殊曲線。指在極坐標(biāo)系中，極半徑ρ的對(duì)數(shù)與極角θ的比為常數(shù)的點(diǎn)M(ρ，θ)的軌跡。它的極坐標(biāo)方程為

從植物嫩枝的頂端往下，葉子大致上是按對(duì)數(shù)螺線排列的，這樣能使采光面積達(dá)到最大；在古生物的研究中，也應(yīng)用了這種曲線。對(duì)數(shù)螺線上任一點(diǎn)的切線，與切點(diǎn)的矢徑相交成固定的角。這一性質(zhì)在機(jī)械上有廣泛的應(yīng)用。如果旋轉(zhuǎn)的切削刀沿此曲線的弧運(yùn)動(dòng)，就可保持固定的切削角，這種刀已在鋤草機(jī)中使用。為了制造的方便，對(duì)數(shù)螺線的短弧，可以用阿基米德螺線的短弧近似代替。

正弦螺線雙曲螺線

雙曲螺線，也稱(chēng)反螺線，是一種特殊曲線，是阿基米德螺線關(guān)于極點(diǎn)的反演圖形。它是極徑和極角成反比例的動(dòng)點(diǎn)軌跡。雙曲螺線的方程是：

雙曲螺線