模態(tài)疊加法

模態(tài)疊加法無阻尼體系

下面首先通過簡(jiǎn)支梁的彎曲振動(dòng)，說明用振型疊加法求解無阻尼分布參數(shù)體系動(dòng)力反應(yīng)的原理和做法。

分布參數(shù)梁的運(yùn)動(dòng)方程為：

將上式的每一項(xiàng)都乘上

由正交條件

將

記

模態(tài)疊加法有阻尼體系

對(duì)于分布參數(shù)的有阻尼體系，其運(yùn)動(dòng)方程為：

將

將上式的每一項(xiàng)都乘上

顯然，在一般情況下，上式中的阻尼項(xiàng)相互耦聯(lián)，因此需要聯(lián)立方程組求解。但是，如果假定為經(jīng)典阻尼，則運(yùn)動(dòng)方程中的阻尼項(xiàng)解耦，可以直接將運(yùn)動(dòng)方程改寫為：

可見，體系的總反應(yīng)等于各個(gè)振型貢獻(xiàn)的疊加。與離散多自由度體系相同，對(duì)于大多數(shù)類型的荷載，分布參數(shù)體系各個(gè)振型所起的作用一般是頻率最低的振型最大，高振型則趨向減小。因而在疊加過程中通常不需要包含所有的高振型，當(dāng)動(dòng)力反應(yīng)達(dá)到精度要求時(shí)，即可舍棄級(jí)數(shù)的其余各項(xiàng)，從而大大減少了計(jì)算工作量。此外，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其高階振型的數(shù)學(xué)建模的可靠性相對(duì)較小，在動(dòng)力反應(yīng)分析時(shí)限定要考慮的振型數(shù)也是很必要的。 2100433B

模態(tài)疊加法又稱“振型疊加法”，它是 以系統(tǒng)無阻尼的振型（模態(tài)）為空間基底，通過坐標(biāo)變換，使原動(dòng)力方程解耦，求解n個(gè)相互獨(dú)立的方程獲得模態(tài)位移，進(jìn)而通過疊加各階模態(tài)的貢獻(xiàn)求得系統(tǒng)的響應(yīng)。

實(shí)用中，這種方法一般是保留少數(shù)振型疊加的截?cái)嘈问匠霈F(xiàn)，因此就產(chǎn)生了兩種不同的方法：模態(tài)位移法和模態(tài)加速度法。

歸一化主要是為了簡(jiǎn)化計(jì)算，常用的方式就是將每個(gè)自由度的主振型第一個(gè)元素變?yōu)?。模態(tài)質(zhì)量應(yīng)該是前乘振型矩陣的轉(zhuǎn)置，后乘振型矩陣得到的對(duì)角質(zhì)量矩陣，還有一種歸一化方法就是將這個(gè)對(duì)角質(zhì)量陣變成單位陣。

模態(tài)質(zhì)量有意義，反映了體系中有多少質(zhì)量對(duì)這階模態(tài)振型有大的影響，每一階是不同的。歸一化振型就是計(jì)算的振型（計(jì)算位移值）除以最大的值，變成最大值為1，反映體系各處相對(duì)變形。廣義質(zhì)量矩陣不是模態(tài)質(zhì)量。模態(tài)質(zhì)量計(jì)算還涉及到振型和振型參與系數(shù)。

從計(jì)算模態(tài)的角度來講，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分別對(duì)應(yīng)一階模態(tài)頻率和模態(tài)向量（當(dāng)然也可能存在重根）。模態(tài)振型，也稱為模態(tài)向量，模態(tài)振型向量，模態(tài)位移向量。模態(tài)振型是結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)或測(cè)點(diǎn)的函數(shù)，如有限元模型節(jié)點(diǎn)數(shù)（注意不是模態(tài)中的節(jié)點(diǎn)）上萬(wàn)，甚至上百萬(wàn)，那么，模態(tài)振型就是這些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)。而在試驗(yàn)?zāi)B(tài)中，由于測(cè)點(diǎn)數(shù)量遠(yuǎn)小于有限元模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)，通常測(cè)點(diǎn)數(shù)從數(shù)個(gè)到數(shù)百個(gè)，因此，試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型就是這些測(cè)點(diǎn)的位置函數(shù)。由于結(jié)構(gòu)有無限多階模態(tài)，因此，每一階模態(tài)振型都不相同，也就是模態(tài)振型除了是結(jié)構(gòu)位置的函數(shù)之外，還是模態(tài)階數(shù)的函數(shù)。對(duì)計(jì)算模態(tài)而言，由于節(jié)點(diǎn)數(shù)成千上萬(wàn)，因此，對(duì)于描述每一階模態(tài)振型來說，這些節(jié)點(diǎn)數(shù)量總是足夠的。但對(duì)于試驗(yàn)?zāi)B(tài)而言，為了合理地描述模態(tài)振型，要求測(cè)量自由度必須足夠，不然不能唯一地描述所關(guān)心的模態(tài)振型，還可能存在空間上的混疊。

模態(tài)振型，通俗地講是每階模態(tài)振動(dòng)的形態(tài)。但從數(shù)學(xué)上講，模態(tài)振型是模態(tài)空間的“基”向量。在線性代數(shù)中，基向量是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間中任意一個(gè)元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。在模態(tài)空間，這個(gè)基向量的個(gè)數(shù)就是模態(tài)的階數(shù)。

模態(tài)陣的列向量是剛度陣的逆陣乘以質(zhì)量陣這個(gè)矩陣的特征向量，在沒有阻尼的情況下剛度陣的逆陣乘以質(zhì)量陣這個(gè)矩陣的特征值是系統(tǒng)的圖有頻率，從小到大分別是一階固有頻率，二階固有頻率，以此類推，其對(duì)應(yīng)的特征向量就是系統(tǒng)的一階模態(tài)，二階模態(tài)。如果用模態(tài)陣的轉(zhuǎn)置乘以剛度陣在乘以模態(tài)陣可以得到一個(gè)對(duì)角陣。