牛頓迭代法

設(shè)

用牛頓迭代法解非線性方程，是把非線性方程

已經(jīng)證明，如果是連續(xù)的，并且待求的零點(diǎn)是孤立的，那么在零點(diǎn)周圍存在一個(gè)區(qū)域，只要初始值位于這個(gè)鄰近區(qū)域內(nèi)，那么牛頓法必定收斂。 并且，如果不為0, 那么牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結(jié)果的有效數(shù)字將增加一倍。

迭代法也稱輾轉(zhuǎn)法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對(duì)應(yīng)的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代算法是用計(jì)算機(jī)解決問題的一種基本方法。它利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，讓計(jì)算機(jī)對(duì)一組指令（或一定步驟）重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令（或這些步驟）時(shí)，都從變量的原值推出它的一個(gè)新值。

利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：

一、確定迭代變量

在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個(gè)可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。

二、建立迭代關(guān)系式

所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的關(guān)鍵，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來完成。

三、對(duì)迭代過程進(jìn)行控制

在什么時(shí)候結(jié)束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執(zhí)行下去。迭代過程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來；另一種是所需的迭代次數(shù)無法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析得出可用來結(jié)束迭代過程的條件。

#include
 
  
#include
  
    doublefunc(doublex)//舉例函數(shù) { returnx*x*x*x-3*x*x*x 1.5*x*x-4.0; } doublefunc1(doublex)//導(dǎo)函數(shù) { return4*x*x*x-9*x*x 3*x; } intNewton(double*x,doubleprecision,intmaxcyc)//maxcyc迭代次數(shù) { doublex1,x0; intk; x0=*x; for(k=0;k
    
    
牛頓迭代法C 代碼
    
//此函數(shù)是用來求一元3次方程ax^3 bx^2 cx d=0的解
//比如x^3-27=0，我們就可以輸入100-27，這樣我們就可以得到一個(gè)解
#include
     
      
#include
      
        usingnamespacestd; intmain() { doublediedai(doublea,doubleb,doublec,doubled,doublex); doublea,b,c,d; doublex=10000.0; cout<<"請(qǐng)依次輸入方程四個(gè)系數(shù)："; cin>>a>>b>>c>>d; x=diedai(a,b,c,d,x); cout<
       
        0.000001) { x=x-(a*x*x*x b*x*x c*x d)/(3*a*x*x 2*b*x c); } returnx; } 
       
      
     
 
    
求一元3次方程3個(gè)解的程序：
    
#include
     
      
#include
      
        usingnamespacestd;vector
       
        v;//stlvector鏈型數(shù)組 vector
        
         ::iteratorit;//vector迭代器intx0=5;doublea,b,c,d;doubleabs(doubley){while(y<0)y=-y;returny;}doublef(doublex){returna*x*x*x b*x*x c*x d;}doublefd(doublex){return3*a*x*x 2*b*x c;}boolu;//用來判斷是否重復(fù)voidnewton(inta1,intb1,intc1,intd1) { for(x0=-5000;x0<=5000;x0 )//在一個(gè)大區(qū)域中逐個(gè)點(diǎn)用牛頓法，可找出大多數(shù)3次方程所有根 { doublex1=x0; while(abs(f(x1))>0.001) { doublex=x1; x1=x-f(x)/fd(x); } for(it=v.begin();it!=v.end();it ) { if(abs((*it-x1))<0.01){u=1;break;} } if(u!=1&&x1<1000000000) { cout<
         
          >a>>b>>c>>d; newton(a,b,c,d); }
         
        
       
      
     
 
    
牛頓迭代法Python代碼
 
    
Python代碼以實(shí)例展示求解方程
    

      
    
 的根。
    
deff(x):
return(x-3)**3'''定義f(x)=(x-3)^3'''deffd(x):
return3*((x-3)**2)'''定義f'(x)=3*((x-3)^2）'''defnewtonMethod(n,assum):
time=n
x=assum
Next=0
A=f(x)
B=fd(x)
print('A=' str(A) ',B=' str(B) ',time=' str(time))
iff(x)==0.0:
returntime,x
else:
Next=x-A/B
print('Nextx=' str(Next))
ifabs(A-f(Next))<1e-6:
print('Meetf(x)=0,x=' str(Next))'''設(shè)置迭代跳出條件，同時(shí)輸出滿足f(x)=0的x值'''
else:
returnnewtonMethod(n 1,Next)newtonMethod(0,4.0)'''設(shè)置從0開始計(jì)數(shù)，x0=4.0'''
 
    
牛頓迭代法Java代碼
 
    
Java實(shí)現(xiàn)開平方的牛頓迭代法. 求
    

      
    
的算術(shù)平方根就是求
    

      
    
 的正根, 得迭代公式:
    

      
    
 . 代碼中取初始值
    

      
    
 , 誤差控制在
    

      
    
 .
    
publicstaticdoublesqrt(doublec){if(c<0){returnDouble.NaN;
}

doublee=1e-15;
doublex=c;
doubley=(x c/x)/2;
while(Math.abs(x-y)>e){
x=y;
y=(x c/x)/2;
}
returnx;
}
 
    
牛頓迭代法JavaScript代碼
    
/**
*@functionnewtonMethod該函數(shù)是牛頓迭代法的js實(shí)現(xiàn)他可以用于求任意一元高次方程的解。（簡單版）
*@paramfn要求根的函數(shù)
*@paramdfn要求根的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
*@paramx0在函數(shù)x定義域上任意取的一個(gè)x值x0
*@paramn期望迭代的次數(shù)
*@return該方程的近似解
**/functionnewtonMethod(fn,dfn,x0,n){
consty=fn(x0)//在函數(shù)有效區(qū)間內(nèi)選取任意x0求出點(diǎn)(x0,y)其中y=fn(x0)
constk=dfn(x0)//使用導(dǎo)函數(shù)求出過點(diǎn)(x0,y)的切線斜率k
constb=y-k*x0//將點(diǎn)(x0,y)代入直線方程y=kx b求出常數(shù)b。
constx=(0-b)/k//將y=0代入直線方程y=kx b求出該方程的一次近似解x
if(--n>0){
returnnewtonMethod(fn,dfn,x,n)//當(dāng)n趨于無窮大時(shí)得到該方程的精確解
}
returnx
}//化簡函數(shù)(simplify)functionNTMethod(fn=_=>_,dfn=_=>1,x0=0,n=1){
constx=x0-fn(x0)/dfn(x0)
if(n===1){
returnx//返回一個(gè)關(guān)于函數(shù)fn(x)的近似解
}
returnNTMethod(fn,dfn,x,--n)
}// 優(yōu)化函數(shù)表達(dá)方式 用戶差參數(shù)代替迭代次數(shù)function NTMethod(fn = _ => _, dfn = _ => 1, x0 = 0, instrumentalError) {
    const x = x0 - fn(x0) / dfn(x0)
    if (fn(x) < instrumentalError && fn(x) > -instrumentalError) {
        return x
    }
    return NTMethod(fn, dfn, x, instrumentalError)
}
 
    
牛頓迭代法Fortran代碼
 
    
program newton
    
implicit none
real::a
real::b
real::fb
real::counter
integer::n
!real,parameter::zero=0.00001
real::fx,fx1
real::df
write(*,*)"enter a number:"
read(*,*)a
do counter=1,a-1
fx=sin(counter)
fx1=sin(counter 1)
if (fx*fx1
df=cos(counter)
fx=sin(counter)
write(*,*)"初始值?。?
write(*,*)counter
do n=1,25,1
b=counter-fx/df
fb=sin(b)
end do
write(*,*)"數(shù)值解："
write(*,*)b
end if
end do
stop
end program
 
    

      
    
牛頓迭代法其他迭代算法
    
牛頓迭代法歐幾里德算法
 
    
最經(jīng)典的迭代算法是歐幾里德算法，用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。其計(jì)算原理依賴于下面的定理： 
    
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 
    
證明：a可以表示成a = kb r，則r = a mod b。假設(shè)d是a,b的一個(gè)公約數(shù)，則有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公約數(shù) 
    
同理，假設(shè)d 是(b,a mod b)的公約數(shù)，則 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb r ，因此d也是(a,b)的公約數(shù)。 
    
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數(shù)是一樣的，其最大公約數(shù)也必然相等，得證。 
    
歐幾里德算法就是根據(jù)這個(gè)原理來做的，歐幾里德算法又叫輾轉(zhuǎn)相除法，它是一個(gè)反復(fù)迭代執(zhí)行，直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實(shí)際上是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)。其算法用C語言描述為：
    
intGcd_2(inta,intb)/*歐幾里德算法求a,b的最大公約數(shù)*/
{
if(a<=0||b<=0)/*預(yù)防錯(cuò)誤*/
return0;
inttemp;
while(b>0)/*b總是表示較小的那個(gè)數(shù)，若不是則交換a，b的值*/
{
temp=a%b;/*迭代關(guān)系式*/
a=b;
b=temp;
}
returna;
}
 
    
從上面的程序我們可以看到a，b是迭代變量，迭代關(guān)系是temp = a % b；根據(jù)迭代關(guān)系我們可以由舊值推出新值，然后循環(huán)執(zhí)a = b; b = temp；直到迭代過程結(jié)束（余數(shù)為0）。在這里a好比那個(gè)膽小鬼，總是從b手中接過位置，而b則是那個(gè)努力向前沖的先鋒。
    
牛頓迭代法斐波那契數(shù)列
 
    
還有一個(gè)很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）數(shù)列。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1) fib(n-2) （當(dāng)n>2時(shí)）。 
    
在n>2時(shí)，fib(n)總可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由舊值遞推出新值，這是一個(gè)典型的迭代關(guān)系，所以我們可以考慮迭代算法。
    
intFib(intn)//斐波那契（Fibonacci）數(shù)列
{
if(n<1）/*預(yù)防錯(cuò)誤*/
return0;
if(n==1||n==2)/*特殊值，無需迭代*/
return1;
intf1=1,f2=1,fn;/*迭代變量*/
inti;
for(i=3;i<=n;  i)/*用i的值來限制迭代的次數(shù)*/
{
fn=f1 f2;/*迭代關(guān)系式*/
f1=f2;//f1和f2迭代前進(jìn)，其中f2在f1的前面
f2=fn;
}
returnfn;
}

   
  
 

多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可解，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數(shù)

牛頓迭代法定義函數(shù)

function y=f(x)

y=f(x）；%函數(shù)f(x）的表達(dá)式

end

function z=h(x)

z=h(x）；%函數(shù)h(x）的表達(dá)式，函數(shù)h(x)是函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)

end

牛頓迭代法主程序

x=X;%迭代初值

i=0;%迭代次數(shù)計(jì)算

while i

x0=X-f(X)/h(X);%牛頓迭代格式

if abs(x0-X)>0.01；%收斂判斷

X=x0;

else break

end

i=i 1;

end

fprintf(' %s%.4f %s%d'，'X='，X，'i='，i) %輸出結(jié)果

在自然界中的食品，不符合牛頓流體定律的流體占大多數(shù)。大量的食品，包括濃果汁、果醬、全雞蛋、菜泥、濃牛奶以及巧克力漿等固液懸浮體都是非牛頓流體，下面的經(jīng)驗(yàn)公式往往用來表示這些流體的剪切應(yīng)力與剪切速率之間的關(guān)系：

τ=k(γ)n(1

n為流態(tài)特性指數(shù)，k為稠度系數(shù)。若為牛頓流體公式，則n=1，此時(shí)k為粘度。上式中，設(shè)ηa=k（γ）n-1，則與牛頓流體相似的非牛頓流體的狀態(tài)方程可寫為：

τ=ηaγ（2）

此式可以得到：η與ηa表示同樣物理特性，有相同的量綱，即ηa為表觀粘度(apparentviscosity)。表觀粘度ηa是流體內(nèi)部阻力的總和。然而與η不同的是，ηa是γ的函數(shù)，與k和n有關(guān)。換句話說ηa是指非牛頓流體在某一流速的粘度。

對(duì)于很多非牛頓流體，Τ只有在大于一定值Τ0時(shí)（也就是說，流體在獲得能量克服一個(gè)屈服應(yīng)力值以后），流動(dòng)才能發(fā)生。Bulkey與Hershel提出的表示公式如下：

Τ=Τ0 k(γ)n（3）

Τ0表示屈服應(yīng)力(yieldstress)。由于公式中的Τ0和n范圍不同，將非牛頓流動(dòng)分為以下五類 ：

膠變性流體假塑性流動(dòng)

當(dāng)粘度隨著剪切速率或剪切應(yīng)力的增大而減少，對(duì)應(yīng)于公式（1）中的0膠變性流體脹塑性流動(dòng)

粘度隨著剪切速率的增大而增大的流動(dòng)，也稱為剪切增稠流動(dòng)(shear thickening flow)。在公式τ=k(γ)n(1 膠變性流體塑性流動(dòng)

液體只有在應(yīng)力超過τ0時(shí)才開始流動(dòng)。塑性流動(dòng)的流動(dòng)特性曲線不通過原點(diǎn)。賓漢流動(dòng)(Binghamflow)是指當(dāng)應(yīng)力超過τ0時(shí)，流動(dòng)特性符合牛頓流體規(guī)律的流動(dòng)。而非賓漢流動(dòng)是指不符合牛頓流動(dòng)規(guī)律流動(dòng)。把具有這兩種流動(dòng)特性的液體分別稱為賓漢流體或非賓漢流體。食品中的濃縮肉汁就是一種典型的賓漢流體。卡松在研究了油漆流動(dòng)的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)與剪切速率的關(guān)系后發(fā)現(xiàn)剪切應(yīng)力和剪切速率有如下關(guān)系：

σ1/2=σ01/2 ηaε1/2

一部分非賓漢流體液態(tài)食品的流動(dòng)規(guī)律符合卡松公式，如番茄醬、巧克力等。

膠變性流體觸變性流動(dòng)

觸變性是指在振動(dòng)、攪拌、搖動(dòng)時(shí)，液體的流動(dòng)性增加，粘性減少，靜置后，過段時(shí)間發(fā)現(xiàn)流動(dòng)又變困難的現(xiàn)象。也叫搖溶性流動(dòng)。例如，番茄調(diào)味醬、蛋黃醬等，在容器中放置時(shí)間一長，傾倒時(shí)，就變得很難流動(dòng)。但只要將容器猛烈搖動(dòng)，或用力攪拌一會(huì)，它們就變得很容易流動(dòng)。再長時(shí)間放置時(shí)，它們又會(huì)變得流動(dòng)困難。觸變性流動(dòng)的發(fā)生是由于粒子之間形成的結(jié)合構(gòu)造，隨著剪切應(yīng)力的增加而受到破壞，導(dǎo)致的粘性減少。但這些粒子間結(jié)合構(gòu)造在停止應(yīng)力作用時(shí)，恢復(fù)需要一段時(shí)間，逐漸形成。因此，剪切速率減慢時(shí)的曲線在前次增加時(shí)的曲線的下方，形成了與流動(dòng)時(shí)間有關(guān)的滯變回環(huán)。材料的構(gòu)造破壞的越大，體現(xiàn)為滯變回路包圍面積越大。觸變性對(duì)口感的影響體現(xiàn)為爽口柔和的感覺。

膠變性流體膠變性流動(dòng)

液體隨著流動(dòng)時(shí)間延長，與觸變性流動(dòng)相反，變得越來越粘稠的現(xiàn)象。膠變性流動(dòng)的食品給人以粘稠的口感。當(dāng)流速加大時(shí)，達(dá)到最大值后，再減低流速，減低流速時(shí)的流動(dòng)曲線反而在加大流速曲線的上方。這種現(xiàn)象也被稱為逆觸變現(xiàn)象。這是因?yàn)榱鲃?dòng)促進(jìn)了液體粒子間構(gòu)造的形成。

膠變性流體膠變性流體

膠變性流體是時(shí)間相關(guān)性流體，也可被當(dāng)作觸變型流體，但二者還是有明顯的不同點(diǎn),就是膠變流體靜止時(shí)不會(huì)重建它的結(jié)構(gòu)。由膠變性流體的流動(dòng)特性曲線可見,隨著剪切速率的增大(上行線)和減小(下行線)這樣一個(gè)循環(huán)，形成了一個(gè)滯回環(huán)，表明了流體的粘度會(huì)隨著時(shí)間的變化而發(fā)生改變，并且剪切速率減慢時(shí)的曲線在剪切速率增加時(shí)的曲線的上方，這些現(xiàn)象表明流體是一種膠變性流體 。

膠變性流體膠變性流體的性質(zhì)

1.流體在攪拌過程中其表觀粘度逐漸變大;

2.在時(shí)間為零時(shí)剪切力最小，隨時(shí)間延長而逐漸延長而逐增加，并穩(wěn)定在某一定值;

3.剪切速率愈大(即攪拌俞劇烈)，剪切力變化愈大;

4.一旦在某個(gè)時(shí)間停止攪拌，剪切應(yīng)力就又到攪拌開始時(shí)的初始值。2100433B